大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)專(zhuān)題一第講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(課堂講義)

大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)專(zhuān)題一第講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(課堂講義)匯報(bào)人：AA2024-01-25CATALOGUE目錄導(dǎo)數(shù)的基本概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用微分及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用典型例題解析與課堂互動(dòng)課程總結(jié)與預(yù)習(xí)提示導(dǎo)數(shù)的基本概念與性質(zhì)01CATALOGUEVS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點(diǎn)$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)極限存在，則稱(chēng)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線(xiàn)$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處的切線(xiàn)的斜率。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義可導(dǎo)必連續(xù)如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必定連續(xù)。連續(xù)不一定可導(dǎo)即使函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，也不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如，函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導(dǎo)?？蓪?dǎo)與連續(xù)的關(guān)系03除法法則$(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$（其中$vneq0$）01加減法則$(upmv)'=u'pmv'$02乘法法則$(uv)'=u'v+uv'$導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用02CATALOGUE隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)是由一個(gè)方程所確定的函數(shù)關(guān)系，其自變量和因變量不直接顯式表示。隱函數(shù)具有連續(xù)性和可微性。隱函數(shù)求導(dǎo)法則通過(guò)對(duì)隱函數(shù)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，利用鏈?zhǔn)椒▌t和乘法法則，得到包含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程，進(jìn)而解出未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。示例與解析例如，對(duì)于隱函數(shù)方程x^2+y^2=1，通過(guò)對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得到2x+2yy'=0，進(jìn)而解得y'=-x/y。隱函數(shù)定義及性質(zhì)參數(shù)方程是由一組包含參數(shù)的方程所確定的函數(shù)關(guān)系。參數(shù)方程具有連續(xù)性和可微性。參數(shù)方程定義及性質(zhì)參數(shù)方程求導(dǎo)法則示例與解析通過(guò)對(duì)參數(shù)方程中的每一個(gè)方程分別求導(dǎo)，得到包含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程組，進(jìn)而解出未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例如，對(duì)于參數(shù)方程x=t^2,y=t^3，通過(guò)對(duì)每一個(gè)方程分別求導(dǎo)，得到dx/dt=2t,dy/dt=3t^2，進(jìn)而求得dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3t/2。參數(shù)方程求導(dǎo)法反函數(shù)定義及性質(zhì)反函數(shù)求導(dǎo)法則示例與解析反函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)是指一個(gè)函數(shù)與其反函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)。反函數(shù)具有連續(xù)性和可微性。如果一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)且可導(dǎo)，則其反函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù)y=sin(x)，其反函數(shù)為x=arcsin(y)。通過(guò)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得到dy/dx=cos(x)，進(jìn)而求得反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dx/dy=1/cos(x)=1/sqrt(1-y^2)。復(fù)合函數(shù)定義及性質(zhì)復(fù)合函數(shù)是指由兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)通過(guò)復(fù)合運(yùn)算而得到的函數(shù)。復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)性和可微性。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以?xún)?nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。示例與解析例如，對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=sin(u),u=x^2，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t得到dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=cos(u)*2x=2x*cos(x^2)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法微分及其應(yīng)用03CATALOGUE微分的定義及幾何意義微分的定義微分是函數(shù)改變量的線(xiàn)性部分，即在一個(gè)數(shù)集中，當(dāng)一個(gè)數(shù)靠近時(shí)，函數(shù)在該數(shù)處的極限被稱(chēng)為函數(shù)在該數(shù)處的微分。微分的幾何意義微分描述了函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。通過(guò)微分，我們可以了解函數(shù)在局部范圍內(nèi)的變化趨勢(shì)。微分的基本公式包括常數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的微分公式。這些公式是進(jìn)行微分運(yùn)算的基礎(chǔ)?；竟轿⒎值倪\(yùn)算法則包括加法、減法、乘法、除法以及復(fù)合函數(shù)的微分法則。這些法則可以幫助我們簡(jiǎn)化復(fù)雜的微分運(yùn)算過(guò)程。運(yùn)算法則微分的基本公式與運(yùn)算法則近似計(jì)算在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要求解一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的值，但由于計(jì)算量較大或精度要求不高，可以使用微分進(jìn)行近似計(jì)算。通過(guò)微分，我們可以找到函數(shù)在某一點(diǎn)附近的近似值。誤差估計(jì)在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，微分還可以幫助我們估計(jì)誤差的大小。通過(guò)比較函數(shù)在某一點(diǎn)處的微分值與真實(shí)值之間的差異，我們可以了解近似計(jì)算的精度和可靠性。數(shù)值方法微分在數(shù)值方法中也有廣泛應(yīng)用，如牛頓迭代法、二分法等。這些方法利用微分思想來(lái)逼近函數(shù)的零點(diǎn)或極值點(diǎn)，從而求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用04CATALOGUE生產(chǎn)或購(gòu)買(mǎi)一個(gè)額外單位的產(chǎn)品或服務(wù)所引起的總成本的增量。邊際成本邊際收益邊際利潤(rùn)銷(xiāo)售一個(gè)額外單位的產(chǎn)品或服務(wù)所帶來(lái)的總收益的增量。邊際收益與邊際成本之差，用于判斷企業(yè)是否應(yīng)該增加或減少生產(chǎn)量。030201邊際分析需求量對(duì)價(jià)格變動(dòng)的敏感程度，分為點(diǎn)彈性和弧彈性。需求彈性供給量對(duì)價(jià)格變動(dòng)的敏感程度，同樣分為點(diǎn)彈性和弧彈性。供給彈性一種商品的需求量對(duì)另一種商品價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。交叉彈性彈性分析無(wú)約束最優(yōu)化尋找使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的自變量值，常用方法包括求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零、利用二階導(dǎo)數(shù)判斷等。有約束最優(yōu)化在滿(mǎn)足一定約束條件下，尋找使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值的自變量值，常用方法包括拉格朗日乘數(shù)法、KKT條件等。多目標(biāo)最優(yōu)化同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，常用方法包括線(xiàn)性加權(quán)法、目標(biāo)規(guī)劃法等。010203最優(yōu)化問(wèn)題典型例題解析與課堂互動(dòng)05CATALOGUE例1求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。解析首先對(duì)$y$的每一項(xiàng)分別求導(dǎo)，得到$y'=2cos(2x)+e^x$，然后將$x=0$代入$y'$，得到$y'(0)=2cos(0)+e^0=3$。解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)法則，對(duì)$f(x)$的每一項(xiàng)分別求導(dǎo)，得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。例3利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)$f(x)=x^2-2x$的單調(diào)性。例2求函數(shù)$y=sin(2x)+e^x$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)$y'$。解析首先求出$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=2x-2$，然后解不等式$f'(x)>0$和$f'(x)<0$，得到$f(x)$在$(-infty,1)$上單調(diào)遞減，在$(1,+infty)$上單調(diào)遞增。典型例題解析請(qǐng)同學(xué)們思考并回答，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？互動(dòng)1請(qǐng)同學(xué)們分組討論，如何利用導(dǎo)數(shù)解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問(wèn)題？互動(dòng)2請(qǐng)同學(xué)們思考并回答，如何判斷一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性？互動(dòng)4課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)課程總結(jié)與預(yù)習(xí)提示06CATALOGUE課程總結(jié)回顧導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義通過(guò)極限的思想引入導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則學(xué)習(xí)并掌握了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，能夠熟練計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)了解高階導(dǎo)數(shù)的概念及其物理意義，掌握常見(jiàn)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)求法。微分及其應(yīng)用理解微分的概念及其與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則，了解微分在近似計(jì)算和誤差估計(jì)中的應(yīng)用。預(yù)習(xí)下一講內(nèi)容了解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，包括洛必達(dá)法則、函數(shù)的單調(diào)性與極值、曲線(xiàn)的凹