雙曲線的幾何性質(zhì)

2.2雙曲線2.2.1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)由橢圓的第一個(gè)性質(zhì)出發(fā)，首先來學(xué)習(xí)雙曲線的第一個(gè)性質(zhì)—范圍.

1.范圍：觀察雙曲線，可以看出它在不等式

x≤-a，x≥a的區(qū)域里下面利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：求出它的范圍：將方程①化為即x≤-a，x≥a.①M(fèi)OF1F2xy(-c,0)(c,0)MOF1F2xy(-c,0)(c,0)

2.對稱性：類比研究橢圓對稱性的方法，容易得到，雙曲線關(guān)于x，y軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫雙曲線的中心.（a>b>0）3.頂點(diǎn)：在方程①里，令y=0，得x=±a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0).因?yàn)閤軸是雙曲線的對稱軸，所以雙曲線和它的對稱軸有令x=0，得y2=-b2，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根說明雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)，但我們也把B1(0,-b),B2(0,b)畫在y軸上.（圖2.3-6）兩個(gè)交點(diǎn)，它們叫做雙曲線的頂點(diǎn).A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a，a叫做雙曲線的半長實(shí)軸；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b，b叫做雙曲線的半虛軸長.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-64.漸近線可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM越來越大，d=MQ越來越小，但永遠(yuǎn)不等于0.A1A2F1F2B1B2ObaMQ若將雙曲線的各支向外延伸，與這兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線.如圖作虛線輔助線，圍成一個(gè)虛線矩形，矩形的對角線所在的直線的方程：.A1A2F1F2B1B2ObaMQ在方程中，如果a=b，那么雙曲線的方程為x2-y2=a2，它的實(shí)軸和虛軸的長都等于2a.這時(shí)，四條直線x=±a，y=±b圍成正方形，漸近線方程為y=±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角.實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6

5.離心率與橢圓類似，雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率.因?yàn)閏>a>0,所以雙曲線的離心率e=>1.離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？例1：已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2且∠PF1F2=則雙曲線的離心率為多少？30°解：由題設(shè)|F1F2|=2c，|PF2|=2c，|PF1|=，根據(jù)雙曲線的定義|PF2|-|PF1|=2a，即所以，離心率等于例2：點(diǎn)M(x，y)到定點(diǎn)F(5，0)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合由此得將上式兩邊平方，并簡化，得9x2-16y2=144即所以，點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸、虛軸長分別為8，6的雙曲線（如圖2.3-9）2.3-9xFOHyM本例與書上2.2的例6比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經(jīng)過右焦點(diǎn)F,垂直于l1的直線分別交l1，l2于A,B兩點(diǎn).成等差數(shù)列,且與同向(Ⅰ)求雙曲線的離心率；(Ⅱ)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.例3：，，

解：（1）設(shè)OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2得：,由倍角公式，解得,則離心率.（2）過F的直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立，將a=2b，代入，化簡有將數(shù)值代入，有,解得，b=3最后求得雙曲線方程為：課堂小結(jié)

1.范圍：x≤-a，x≥aMOF1F2xy(-c,0)(c,0)

2.對稱性：雙曲線關(guān)于x，y軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫雙曲線的中心.3.頂點(diǎn)：雙曲線和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0)叫做雙曲線的頂點(diǎn).A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于2a，a叫做雙曲線的半長實(shí)軸；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b，b叫做雙曲線的半虛軸長.4.漸近線A1A2F1F2B1B2ObaMQ若將雙曲線的各支向外延伸，與這兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線.如圖作虛線輔助線，圍成一個(gè)虛線矩形，矩形的對角線所在的直線的方程：.A1A2F1F2OB1B2ba2.3-6

5.離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率.因?yàn)閏>a>0,所以雙曲線的離心率e=>1.實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線.橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及它們之間的區(qū)別橢圓雙曲線|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2a

a>c>0a2-c2=b2(b>0)c>a>0c2-a2=b2(b>0)（a>b>0）（a>0,b>0）高考鏈接(2008重慶文)如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)d為點(diǎn)P到直線l：的距離,若,求的值M(-2,0)N(2,0)PxyOM(-2,0)N(2,0)PxyO解：（I）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a=2的雙曲線.因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=，所以雙曲線的方程為(II)設(shè)P（x,y），因|PN|≥1知|PM|=2|PN|2≥2|PN|>|PN|,故P在雙曲線右支上，所以x≥1又雙曲線方程有y2=3x2-3.因此，從而由|PM|=2|PN|2得2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.所以x=（舍去x=).有|PM|=2x+1=

d=x-=故(2008天津文、理)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(-3,0)，一條漸近線的方程是（Ⅰ）求雙曲線C的方程.（Ⅱ）若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍.（Ⅰ）解：設(shè)雙曲線C的方程為

由題設(shè)得解得所以雙曲線C的方程為（Ⅱ）解：設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0)，點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程組,將①式代入②式，得整理,得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是5-4k2≠0，且△=(-8km)2+4(5-4k2)整理得m2+5-4k2>0③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)滿足從而線段MN的垂直平分線的方程為此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．，．

由題設(shè)可得整理得將上式代入③式得整理得解得或所以k的取值范圍是一、選擇題1.設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則（）課堂練習(xí)A．B．C．D．B2.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（）A．B．C．D．A二、填空題1.已知雙曲線（a>0,b>0），以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是________b2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是____三、解答題.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為d1和d2，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程.PABd1d2O點(diǎn)P的軌跡C是以A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．方程為：.解：在△PAB中,|AB|=2即22=d12+d22-2d1d2cos2θ，4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，即

PABd1d2O教材習(xí)題答案1（1）實(shí)軸長2a=，虛軸長2b=4；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)，(,0)；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(-6,0)；離心率（2）實(shí)軸長2a=6，虛軸長2b=18；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(-3,0)；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)，(,0)；離心率（3）實(shí)