應用隨機過程-綜述

HarbinInstituteofTechnology課程設計〔論文〕課程名稱：應用隨機過程設計題目：綜述院系：電子與信息工程學院班級：09碩通信一班設計者：學號：指導教師：田波平設計時間：2023-11至2023-12哈爾濱工業(yè)大學哈爾濱工業(yè)大學課程設計任務書姓名：院〔系〕：電子與信息工程學院專業(yè)：信息與通信工程班號：09碩通信一班任務起至日期：2009年11月12日至2009課程設計題目：綜述——特征函數(shù)在隨機過程研究中的作用與意義技術參數(shù)和設計要求：特征函數(shù)的根本定義?？偨Y特征函數(shù)在隨機過程研究中的作用和意義。工作量：查找相關的資料，對特征函數(shù)的根本定義進行一定的了解。查閱相關的文獻，理解特征函數(shù)的應用。對相關的文獻進行總結，歸納出特征函數(shù)在隨機過程研究中的作用和意義。工作方案安排：2009-11-122009-12-1~同組設計者及分工：無指導教師簽字___________________年月日教研室主任意見：教研室主任簽字___________________年月日特征函數(shù)在隨機過程研究中的作用與意義1.特征函數(shù)的定義在介紹特征函數(shù)在隨機過程研究中的作用和意義之前，首先介紹一下特征函數(shù)的定義。特征函數(shù)是一個統(tǒng)計平均值，它是由隨機變量組成的新的隨機變量的數(shù)學期望，記為：〔1〕當為連續(xù)隨機變量時，那么的特征函數(shù)可表示成〔2〕其中為的概率密度函數(shù)。對于隨機過程的特征函數(shù)的定義與隨機變量的特征函數(shù)的定義一致。對任意時刻t,隨機過程的一維特征函數(shù)為： 〔3〕2.特征函數(shù)的性質以下本文不加證明的給出特征函數(shù)的幾個性質：；共軛對稱性；特征函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)；設隨機變量，其中是常數(shù)，那么；其中分別表示隨機變量的特征函數(shù)。上式對于隨機過程同樣適用。設隨機變量相互獨立，又，那么；此式表示兩個相互獨立隨機變量之和的特征函數(shù)等于各自特征函數(shù)的乘積。3.特征函數(shù)在隨機過程研究中的作用與意義由于特征函數(shù)在隨機過程中和隨機變量中的定義是一致的，僅是將X變?yōu)閄(t),將概率密度函數(shù)也做相應的變化即可。故本文為方便起見，將隨機過程和隨機變量的特征函數(shù)的作用與意義做統(tǒng)一的討論。3.1利用特征函數(shù)求隨機過程的概率密度根據(jù)特征函數(shù)的定義，特征函數(shù)與概率密度有類似傅里葉變換的關系，即〔4〕〔5〕這里需要注意的是，特征函數(shù)與概率密度的之間的關系與傅里葉變換略有不同，指數(shù)項差一負號。 在隨機過程的研究過程中，經(jīng)常會利用的隨機過程的概率密度函數(shù)，求解它們某種特定組合的概率密度函數(shù)。通常我們的做法是由的概率密度函數(shù)，通過函數(shù)變換的形式求解，求解的過程很復雜。但是，如果利用特征函數(shù)的性質以及它與概率密度之間的關系就很容易求解上述問題了。以下用一個例子來說明這個過程。 隨機過程為相互獨立的高斯隨機過程，數(shù)學期望為0，方差為1，求的概率密度。 數(shù)學期望為0，方差為1的高斯過程的概率密度為〔6〕利用特征函數(shù)與概率密度之間類傅里葉變換的關系，可以很容易的求得的特征函數(shù)，〔7〕利用特征函數(shù)的性質〔5〕再次利用特征函數(shù)與概率密度之間類傅里葉變換的關系，可得的概率密度〔8〕由上面的求解過程可見，利用特征函數(shù)求解比起直接求兩個隨機過程之和的概率密度要簡單的多。以上就簡要介紹了特征函數(shù)在求解隨機過程的概率密度時的作用。利用特征函數(shù)可以很方便的對某些隨機過程的特定組合的概率進行求解。3.2離散狀況下的特征函數(shù)在求解分布函數(shù)中的應用受傅立葉變換物理意義的啟發(fā),得到基于坐標分解的特征函數(shù)的新解釋。離散情況下,特征函數(shù)的新解釋:可以看作是以()為基的可列無窮維空間下的坐標分解,第k維的坐標值為。那么〔9〕〔10〕其中可以看作是以()為基的實數(shù)勢無窮維空間下的坐標分解，是在基下的坐標值。上述新解釋在求解離散隨機過程的概率分布時有非常重要的應用。下面以一個例子來說明：例如求以下各隨機變量ζ的概率分布,其特征函數(shù)分別為:(1)(2)由反演公式可解決此問題,即利用公式，但計算過程比擬繁雜。如果利用本文提出的新解釋去求這個問題就非常簡單，現(xiàn)用此法求解。分析:只要將特征函數(shù)進行坐標分解即可,可以看作是以()為基的可列無窮維空間下的坐標分解,第k維的坐標值為,惟一性定理可知即為概率分布。解：(1)由惟一性定理可知,它的概率分布惟一,P(ζ=1)=0.5,P(ζ=-1)=0.5,即ζ所求的概率分布。(2)由惟一性定理可知,它的概率分布惟一，P(ζ=0)=0.5,P(ζ=2)=0.125,P(ζ=-2)=0.25，即為ζ所求的概率分布。可見，基于坐標分解的特征函數(shù)的新解釋能加深我們對特征函數(shù)的理解,而且能使特征函數(shù)相關的求解問題化繁為簡。3.3利用特征函數(shù)求解隨機過程的矩函數(shù)特征函數(shù)與矩函數(shù)是一一對應的，因此特征函數(shù)也稱為矩生成函數(shù)。設隨機變量的階原點矩存在，那么它的特征函數(shù)可以微分次，且有〔11〕這是因為，當對特征函數(shù)求n階導數(shù)時可得〔12〕在隨機過程的研究過程中，更多的時候我們需要研究的是隨機過程的統(tǒng)計特性，如隨機過程的各階矩。如果利用矩函數(shù)的定義直接求解，那么需要進行大量的積分過程，求解過程將相當復雜，。但是如果利用上述特征函數(shù)與矩函數(shù)之間的關系來求解，問題就可以得到很大的簡化。以下通過一個例子來簡要說明這種求解過程。例如，求解數(shù)學期望為0的高斯隨機過程的各階矩。易得數(shù)學期望為0，方差為的高斯過程的概率密度函數(shù)為由的概率密度求特征函數(shù)再利用上面介紹的特征函數(shù)與矩函數(shù)的關系可得繼續(xù)可求出各階矩由上述的例子可以看出，利用特征函數(shù)求解隨機過程的矩函數(shù)確實比擬方便，它省去了大量的積分過程。4.結論上面簡要介紹了特征