靜電場-習題課

一、內容小結1、靜電場與靜電勢當電荷分布于有限區(qū)域時，通常以無窮遠為勢能零點。泊松方程泊松方程在無界空間中的解為其中無窮遠處為電勢零點，積分普及電荷分布區(qū)域V。2、電勢多極展開任何一個電荷系統(tǒng)在其外部的電場，原那么上均可表示成一系列多極矩場的疊加。對于電荷系統(tǒng)在遠處的場單極項

(0)有球對稱性，相當于系統(tǒng)的凈電荷量q集中于坐標原點產生的電勢。偶極項對稱張量電荷分布偏離球對稱的系統(tǒng)必定出現(xiàn)多極矩，而各級矩的電勢按距離R的負冪次衰減，高級矩的電勢比低級矩的電勢衰減更迅速。因此任何電荷系統(tǒng)在其外部的場，均以其最低級的場為主。3、靜電場邊值問題唯一性定理

定解條件〔1〕滿足各求解區(qū)域內電勢〔或電場〕的微分方程〔2〕滿足相鄰區(qū)域的邊值關系及給定的邊界條件靜電勢方程和邊值關系(線性均勻介質界面)有導體存在時，必須給定每個導體的電勢，或給定每個導體所帶的凈電量。維持恒定電流的電場也是靜電場，在此情況下：4、靜電場邊值問題的求解方法〔1〕別離變量法①自由電荷全聚集在邊界上，方程是齊次的。②邊界應該是簡單的幾何面。(a)在直角坐標系中(b)在柱坐標系中Jm為m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm為m階第二類貝塞爾函數(shù)。如果考慮與z軸無關〔k=0〕情況，并討論的區(qū)域是02，故通解為(c)在球坐標系中為締合勒讓德（Legendre)函數(shù)①場區(qū)域的電荷是點電荷，無限長帶電直線。②導體或介質的邊界面必是簡單的規(guī)那么的幾何面〔球面、柱面、平面〕?！?〕鏡像法對于具有軸對稱的問題，m=0(取此軸為極軸〕，那么為勒讓德函數(shù)對于球對稱的問題，m=0,n=0，那么5、靜電能、外電場對電荷系的作用能〔1〕電荷體系的靜電能兩個體積分的積分區(qū)域不同！〔2〕外電場對電荷體系的作用能當電荷分布在小區(qū)域電偶極子二、典型例題例1一無限長，半徑為b的薄導體圓管，被分成兩半，且相互絕緣，上半圓柱面的電位

=V0，下半圓柱面的電位

=V0。試求管內外的電位分布。解：由于假設圓管無限長，故電位

為

和

的函數(shù)，與z無關。邊界條件為是

的奇函數(shù)，通解式中不應該有余弦項。b

x

=V0

=V0y又電位分布的周期性在圓管內部(

<b)，為使

=0點的電位保持有限值，通解中不能有

-n因子和ln

因子，即B0D0和AnDn可以由邊界條件確定。在=b處有圓管內部的電位為在圓管外部(>b)，為使時，電位保持有限值，通解中不能有n因子和ln因子，即B0D0和BnDn可以由邊界條件確定。在=b處有圓管外部的電位為例2圓錐形導體電極尖端無限接近一導體平面〔兩者相互絕緣〕，錐軸線與平面垂直，輪廓線與軸線夾角為。忽略邊緣效應及錐底電容，求圓錐與平面間的電容。

r0解從導體的形狀可推知，給出導體上的總電荷后，不可能由此求導體間的電位差及電容。以錐軸線為z軸，那么令錐面(=)上的電位為V0，平面(=/2)上的電位為零。當忽略邊緣效應時，電位與坐標r和無關，僅與有關。先指定導體上的電位，解

2

=0，求出導體間的電位分布，再確定導體上的總電荷，從而求得電容。由邊界條件錐面上的電荷面密度錐面上的總電荷例3均勻介質球（電容率為

1）中心置一自由電偶極子，球外充滿了另一種電容率為

2的介質，求空間各點的電勢和極化電荷分布。zR

1

2O

解：的電場強度使兩種介質均被極化，以介質球心為坐標原點，球半徑為R0。問題具有z軸對稱。介質球內外兩區(qū)域電勢的定解條件為：的電勢

P是泊松方程（1）的一個特解。

是極化電荷的電勢，滿足拉普拉斯方程。由〔3〕、〔4〕及軸對稱性，得〔6〕、〔7〕代入條件〔5〕，得球心處pf外表介質中，出現(xiàn)一個與其方向相反的極化電偶極子：因介質球面自由電荷面密度

f=0，故得

1的第二項為

p產生的均勻場。

1的第一項為與共同產生的偶極場，總電矩為

2為、與p形成的電偶極矩共同產生的偶極場，總電矩為例4設有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內充滿電導率為的液體。取該兩平面為xz和yz平面，在(x0,y0,z0)和(x0,y0,z0)兩點分別置正負電極并通以電流I，求導電液體中的電勢。(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)yxz解：導電液體中電流密度連接電極的導線中電流密度設，分別作包圍正負電極的閉合曲面，由高斯定理求出兩電極的電荷量為平面xz、yz之外是絕緣體，故求解區(qū)域為x>0，y>0。定解條件為對位于(x0,y0,z0)的正電極+q，分別在(

x0,y0,z0)，(x0,

y0,z0)，(

x0,

y0,z0)設置像電荷+q；對位于(x0,y0,

z0)的負電極

q，分別在(

x0,y0,

z0)，(x0,

y0,

z0)，(

x0,

y0,

z0)設置像電荷

q；在(x>0,y>0)區(qū)域中任一點電勢為例5證明下述結果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側電勢和電場的變化。（1）在面電荷兩側，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的；（2）在面偶極層兩側，電勢有躍變，而電勢的法向微商是連續(xù)的。（帶等量正負面電荷

而靠近的兩個面，形成面偶極層，面偶極矩密度）P2P1+

證明（1）設電荷面密度為，其兩側無限接近的P1、P2點場強分別為和。法向單位矢：應用于包含面電荷的扁平閉合面〔底面積S與界面平行，高度h0〕,以及跨越界面的矩形小回路〔其長邊l與界面平行，短邊h0，那么（2）令面偶極層的法向單位矢量，無限靠近

層外側P1點的場強，無限靠近+層外側P2點場強為，內部P0點場強為。將環(huán)路定理應用于跨越+和的兩個矩形小回路，那么將高斯定理分別應用到包含+和的扁平閉合面，那么設想電場將單位正電荷從P1經過P0移至P2，P1P0與P2P0距離均為l。那么P2P1+

P0例6一半徑為R0的球面，在球坐標0<

</2的半球面上的電勢為

0，在/2

<<的半球面上電勢為

0，求空間各點電勢。

z

0

0OR解：以球心為坐標原點，對稱軸為z軸，球內電勢為

1，球外電勢為

2，具