2024屆黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．2．三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6，若將三張卡片并列，可得到不同的三位數(shù)(6不能作9用)的個數(shù)為()A．8B．6C．14D．483．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．20 B．10 C．30 D．604．用反證法證明命題“設(shè)為實數(shù)，則方程至多有一個實根”時，要做的假設(shè)是A．方程沒有實根 B．方程至多有一個實根C．方程至多有兩個實根 D．方程恰好有兩個實根5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A． B． C． D．6．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（）A．若的觀測值為=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病；B．從獨立性檢驗可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??；C．若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤；D．以上三種說法都不正確.7．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．8．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數(shù)大于3”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于7”，則P（B/A）的值等于（）A． B． C． D．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應(yīng)取的項是()A．1 B． C． D．10．已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．11．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．12．給出以下命題：（1）若，則；（2）；（3）的原函數(shù)為，且是以為周期的函數(shù)，則：其中正確命題的個數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，在函數(shù)與的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則值為__________．14．若角滿足，則＝_____；15．36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為，所以36的所有正約數(shù)之和為，參照上述方法，可得100的所有正約數(shù)之和為__________．16．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，這對對角線所成的角為的概率為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,，是中點。(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求與平面所成角的大小。18．（12分）已知雙曲線和橢圓有公共的焦點，且離心率為．（Ⅰ）求雙曲線的方程．（Ⅱ）經(jīng)過點作直線交雙曲線于，兩點，且為的中點，求直線的方程．19．（12分）《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo)．為加強(qiáng)心理健康教育工作的開展，不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì)，九江市某校高二年級開設(shè)了《心理健康》選修課，學(xué)分為2分．學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評價，獲得“合格”評價的學(xué)生給予41分的平時分，獲得“不合格”評價的學(xué)生給予31分的平時分，另外還將進(jìn)行一次測驗．學(xué)生將以“平時分×41%+測驗分×81%”作為“最終得分”，“最終得分”不少于51分者獲得學(xué)分．該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時分及測驗分結(jié)果如下：測驗分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平時分41分人數(shù)1113442平時分31分人數(shù)1111111（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并分析是否有94%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測驗分是否達(dá)到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)？選修人數(shù)測驗分達(dá)到51分測驗分未達(dá)到51分合計平時分41分平時分31分合計（2）用樣本估計總體，若從所有選修《心理健康》課的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)獲得學(xué)分人數(shù)為，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82820．（12分）設(shè)向量，，，記函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，求面積的最大值.21．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與軸相交于點，與曲線相交于點，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，求證點的縱坐標(biāo)為定值.22．（10分）（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：三個數(shù)中，至少有一個大于或等于.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應(yīng)概率.【題目詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【題目點撥】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.2、D【解題分析】方法一:第一步,選數(shù)字.每張卡片有兩個數(shù)字供選擇,故選出3個數(shù)字,共有23=8(種)選法.第二步,排數(shù)字.要排好一個三位數(shù),又要分三步,首先排百位,有3種選擇,由于排出的三位數(shù)各位上的數(shù)字不可能相同,因而排十位時有2種選擇,排個位只有一種選擇.故能排出3×2×1=6(個)不同的三位數(shù).由分步乘法計數(shù)原理知共可得到8×6=48(個)不同的三位數(shù).方法二:第一步,排百位有6種選擇,第二步,排十位有4種選擇,第三步,排個位有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可得到6×4×2=48(個)不同的三位數(shù).3、B【解題分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，根據(jù)棱錐體積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可得幾何體直觀圖如下圖所示：可知三棱錐高：；底面面積：三棱錐體積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，從而準(zhǔn)確求解出三棱錐的高和底面面積.4、D【解題分析】

反證法證明命題時，首先需要反設(shè)，即是假設(shè)原命題的否定成立.【題目詳解】命題“設(shè)為實數(shù)，則方程至多有一個實根”的否定為“設(shè)為實數(shù)，則方程恰好有兩個實根”；因此，用反證法證明原命題時，只需假設(shè)方程恰好有兩個實根.故選D【題目點撥】本題主要考查反證法，熟記反設(shè)的思想，找原命題的否定即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解題分析】

分析程序中兩個變量和流程圖可知，該算法為先計算后判斷的直到型循環(huán)，模擬執(zhí)行程序，即可得到答案.【題目詳解】程序執(zhí)行如下終止條件判斷否否否否否否是故當(dāng)時，程序終止，所以判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件應(yīng)為.故選：B.【題目點撥】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷循環(huán)的類型和終止循環(huán)的條件是解題關(guān)鍵6、C【解題分析】試題分析：要正確認(rèn)識觀測值的意義，觀測值同臨界值進(jìn)行比較得到一個概率，這個概率是推斷出錯誤的概率，若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤，故選C．考點：獨立性檢驗．7、B【解題分析】

根據(jù)所給關(guān)系可證明，即可將三棱錐可補(bǔ)形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【題目詳解】因為平面BCD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補(bǔ)形成長方體如下圖所示：設(shè)長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補(bǔ)全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.8、C【解題分析】

利用古典概型的概率公式計算出和，然后利用條件概率公式可計算出結(jié)果?！绢}目詳解】事件甲的骰子的點數(shù)大于，且甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于，則事件包含的基本事件為、、，由古典概型的概率公式可得，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式得，故選：C.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，解題時需弄清楚各事件的基本關(guān)系，并計算出相應(yīng)事件的概率，解題的關(guān)鍵在于條件概率公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題。9、D【解題分析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時，等式的左邊是，應(yīng)選答案D．10、A【解題分析】試題分析：設(shè)是橢圓的左焦點，由于直線過原點，因此兩點關(guān)于原點對稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設(shè)，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點：橢圓的幾何性質(zhì)．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關(guān)系或范圍，解題的關(guān)鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結(jié)論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯(lián)想到橢圓的定義．11、A【解題分析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【題目點撥】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.12、B【解題分析】

(1)根據(jù)微積分基本定理,得出,可以看到與正負(fù)無關(guān).

(2)注意到在的取值符號不同,根據(jù)微積分基本運算性質(zhì),化為求解判斷即可.

(3)根據(jù)微積分基本定理,兩邊分別求解,再結(jié)合,判定.【題目詳解】(1)由,得,未必.(1)錯誤.(2),(2)正確.(3),；故；(3)正確.所以正確命題的個數(shù)為2,故選：B.【題目點撥】本題主要考查了命題真假的判定與定積分的計算,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意，令，，則，所以，，即，當(dāng)，；當(dāng)，，如圖所示，由勾股定理得，解得.14、【解題分析】

由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化簡后，把tanα的值代入即可．【題目詳解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案為【題目點撥】本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解題分析】

根據(jù)題意，類比36的所有正約數(shù)之和的方法，分析100的所有正約數(shù)之和為（1+2+221+5+52），計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，由36的所有正約數(shù)之和的方法：100的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因為100=22×52，所以100的所有正約數(shù)之和為（1+2+221+5+52）=1．可求得100的所有正約數(shù)之和為1；故答案為：1.【題目點撥】本題考查簡單的合情推理應(yīng)用，關(guān)鍵是認(rèn)真分析36的所有正約數(shù)之和的求法，并應(yīng)用到100的正約數(shù)之和的計算．16、【解題分析】

正方體的面對角線共有12條，能夠數(shù)出每一條對角線和另外的8條構(gòu)成8對直線所成角為60°，得共有12×8對對角線所成角為60°，并且容易看出有一半是重復(fù)的，得正方體的所有對角線中，所成角是60°的有48對，根據(jù)古典概型概率公式求解即可．【題目詳解】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與上平面A1B1C1D1中一條對角線A1C1成60°的直線有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八對直線，總共12條對角線；∴共有12×8＝96對面對角線所成角為60°，而有一半是重復(fù)的；∴從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有48對．而正方體的面對角線共有12條，所以概率為：故答案為【題目點撥】本題考查正方體面對角線的關(guān)系，考查了古典概型的概率問題，而對于本題知道96對直線中有一半是重復(fù)的是求解本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】

（1）推導(dǎo)出PA⊥AB，PA⊥AD．以A為原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出異面直線DP與CQ所成角的余弦值．(2)設(shè)平面法向量，與平面所成角,由得出，代入即可得解.【題目詳解】（1）以A為原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，，設(shè)與所成角是所以與所成角是.（2）設(shè)平面法向量，與平面所成角令,所以與平面所成角.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的余弦值、線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解題分析】試題分析：（I）設(shè)雙曲線方程為，由題意得，結(jié)合，可得，故可得，，從而可得雙曲線方程．（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消元后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得可得直線方程．試題解析：（I）由題意得橢圓的焦點為，，設(shè)雙曲線方程為，則，∵∴，∴，解得，∴，∴雙曲線方程為．（II）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即．由消去x整理得，∵直線與雙曲線交于，兩點，∴，解得．設(shè)，,則，又為的中點∴，解得．滿足條件．∴直線，即.點睛：解決直線與雙曲線位置關(guān)系的問題的常用方法是設(shè)出直線方程，把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．當(dāng)直線與雙曲線有兩個交點的時候，不要忽視消元后轉(zhuǎn)化成的關(guān)于x(或y)的方程的（或）項的系數(shù)不為0，同時不要忘了考慮判別式，要通過判別式對求得的參數(shù)進(jìn)行選擇．19、（1）有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測驗分是否達(dá)到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)；（2）4【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填表，然后計算，可得結(jié)果.（2）根據(jù)計算，可得未獲得分?jǐn)?shù)的人數(shù)，然后可知獲得分?jǐn)?shù)的概率，依據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望的計算方法，可得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)統(tǒng)計，可得2x2列聯(lián)表選修人數(shù)測驗分合計達(dá)到51分未達(dá)到51分平時分41分13214平時分31分234合計14421，∴有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測驗分是否達(dá)到51分”與“平時分”有關(guān)聯(lián)（2）分析學(xué)生得分，，，平時分41分的學(xué)生中測驗分只需達(dá)到41分，而平時分31分的學(xué)生中測驗分必須達(dá)到51分，才能獲得學(xué)分平時分41分的學(xué)生測驗分未達(dá)到41分的只有1人，平時分31分的學(xué)生測驗分未達(dá)到51分的有3人∴從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該生獲得學(xué)分的概率為，．【題目點撥】本題考查統(tǒng)計量的計算以及二項分布，第（2）問中在于理解，理解題意，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.20、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）函數(shù)，根據(jù)向量坐標(biāo)的運算，求出的解析式，化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)，求出A，由，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值.詳解：（1）由題意知：，令，，則可得：，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）∵，∴，結(jié)合為銳角三角形，可得，∴.在中，利用余弦定理，即（當(dāng)且僅時等號成立），即，又，∴.點睛：本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運用、余弦定理和基本不等式靈活應(yīng)用.21、(1)；(2)證明見解析【解