2024屆廣東省梅縣東山中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆廣東省梅縣東山中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．2．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知α，β是相異兩個(gè)平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的恒成立，則下列不等式均成立的是（）A． B．C． D．5．（）A． B． C．2 D．16．若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q（0,3），則|PQ|的最小值是（）A． B． C． D．7．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是()。A． B． C．5 D．49．將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種10．a(chǎn)，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號(hào)）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④11．在的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)12．下列有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的四個(gè)命題正確的是（）A．衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近，說(shuō)明兩變量間線性關(guān)系越密切B．在回歸分析中，可以用卡方來(lái)刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差C．線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D．線性回歸方程中，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則____14．校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r(shí)，車頭必須同向；當(dāng)車沒(méi)有相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學(xué)作答）15．學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)時(shí)，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圖象是線段BC，其中．根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳．要使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，則教師安排核心內(nèi)容的時(shí)間段為_(kāi)___________.（寫成區(qū)間形式）16．觀察下列等式：，，，……可以推測(cè)____（，用含有的代數(shù)式表示）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．18．（12分）盒中裝有7個(gè)零件，其中2個(gè)是使用過(guò)的，另外5個(gè)未經(jīng)使用.（1）從盒中每次隨機(jī)抽取1個(gè)零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過(guò)的零件的概率；（2）從盒中隨機(jī)抽取2個(gè)零件，使用后放回盒中，記此時(shí)盒中使用過(guò)的零件個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．21．（12分）已知函數(shù)，.（I）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在上是減函數(shù)，即在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（I）解不等式：；（II）若函數(shù)的最大值為，正實(shí)數(shù)滿足，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)而求解.【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問(wèn)題；解函數(shù)不等式問(wèn)題，可以直接通過(guò)函數(shù)的表達(dá)式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)等問(wèn)題，將函數(shù)值大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自變量問(wèn)題.2、D【解題分析】

在上為增函數(shù)，可以得到是為增函數(shù)，時(shí)是增函數(shù)，并且時(shí)，，利用關(guān)于的三個(gè)不等式求解出的取值范圍.【題目詳解】由題意，在上為增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的理解分析能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

在A中，根據(jù)線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據(jù)線面平行的判定判斷正誤；【題目詳解】對(duì)于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對(duì)于C，不妨令α∥β，m在β內(nèi)的射影為m′，則當(dāng)m′⊥n時(shí)，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯(cuò)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．4、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出結(jié)果.【題目詳解】令，則.，，是減函數(shù)，則有，，即，所以.選.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.其中構(gòu)造函數(shù)是解題的難點(diǎn).一般可通過(guò)題設(shè)已知條件結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行構(gòu)造.對(duì)考生綜合能力要求較高.5、A【解題分析】

根據(jù)定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槎ǚe分表示直線與曲線圍成的圖像面積，又表示圓的一半，其中；因此定積分表示圓的，其中，故.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解題分析】試題分析：如圖所示，設(shè)，其中，則，故選B.考點(diǎn)：拋物線.7、C【解題分析】分析：求導(dǎo)，代值即可.詳解：，則.故選：C.點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．8、D【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的極小值等于，即可求出的值，得到答案．【題目詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，∵函數(shù)在處取得極小值，∴，即，解得，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，著重考查了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ).9、A【解題分析】試題分析：第一步，為甲地選一名老師，有種選法；第二步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有種選法；第三步，為乙地選名教師和名學(xué)生，有種選法，故不同的安排方案共有種，故選A．考點(diǎn)：排列組合的應(yīng)用．10、C【解題分析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【題目詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與夾角為時(shí)，即，，，，，，，此時(shí)與的夾角為，②正確，①錯(cuò)誤．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11、C【解題分析】

先判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，再根據(jù)正負(fù)號(hào)區(qū)別得到答案.【題目詳解】的展開(kāi)式中共有8項(xiàng).由二項(xiàng)式系數(shù)特點(diǎn)可知第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，但第4項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，所以的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng).故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了展開(kāi)式系數(shù)的最大值，先判斷二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵.12、A【解題分析】分析：利用“卡方”的意義、相關(guān)指數(shù)的意義及回歸分析的適用范圍，逐一分析四個(gè)答案的真假，可得答案．詳解：A.衡量?jī)勺兞恐g線性相關(guān)關(guān)系的相關(guān)系數(shù)越接近，說(shuō)明兩變量間線性關(guān)系越密切，正確；B.在回歸分析中，可以用卡方來(lái)刻畫回歸的效果，越大，模型的擬合效果越差，錯(cuò)誤對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越大，“與有關(guān)系”可信程度越大;故B錯(cuò)誤；C.線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤，回歸直線可能不經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)；D.線性回歸方程中，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位，錯(cuò)誤，由回歸方程可知變量每增加一個(gè)單位時(shí)，變量平均增加個(gè)單位.故選A.點(diǎn)睛：本題考查回歸分析的意義以及注意的問(wèn)題．是對(duì)回歸分析的思想、方法小結(jié)．要結(jié)合實(shí)例進(jìn)行掌握.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

求導(dǎo)后根據(jù)是方程的兩根，由韋達(dá)定理，列出兩根的關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求.【題目詳解】因?yàn)椋质呛瘮?shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的根，所以，所以解得或.故答案為-2或2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)的問(wèn)題，考查了韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.14、528【解題分析】(1)當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)有(種)(2)當(dāng)兩輛車相鄰時(shí)有(種)(3)當(dāng)三輛車相鄰時(shí)有(種)則共有(種)點(diǎn)睛：本題考查了排列組合問(wèn)題，由于本題里是三輛車有六個(gè)位置，所以情況較多，需要逐一列舉出來(lái)，注意當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)的情況要考慮周全，容易漏掉一些情況，然后利用排列組合進(jìn)行計(jì)算即可．15、【解題分析】

利用待定系數(shù)法求出分段函數(shù)的解析式，再由y值大于62求解即可得解.【題目詳解】當(dāng)x∈（0，12]時(shí)，設(shè)f（x）＝a（x﹣10）2+80，過(guò)點(diǎn)（12，78）代入得，a則f（x）（x﹣10）2+80，當(dāng)x∈(12，40]時(shí)，設(shè)y＝kx+b，過(guò)點(diǎn)B（12，78）、C（40，50）得，即y＝﹣x+90，由題意得，或得4＜x≤12或12＜x＜28，所以4＜x＜28，則老師就在x∈（4，28）時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，故答案為（4，28）．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分段函數(shù)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.16、或或【解題分析】

觀察找到規(guī)律由等差數(shù)列求和可得.【題目詳解】由觀察找到規(guī)律可得：故可得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查觀察能力和等差數(shù)列求和，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.【題目點(diǎn)撥】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18、（1）3次抽取中恰有1次抽到使用過(guò)的零件的概率p=150（2）隨機(jī)變量X的分布列為:X

2

3

4

P

12110211021EX=24【解題分析】試題分析：（1）這是一個(gè)有放回地抽取的問(wèn)題，可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題.首先求出“從盒中隨機(jī)抽取1個(gè)零件，抽到的是使用過(guò)的零件”的概率，然后用獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式便可求得“3次抽取中恰有1次抽到使用過(guò)的零件”的概率.（2）7個(gè)零件中有2個(gè)是使用過(guò)的，再抽取2個(gè)使用后再放回，則最多有4個(gè)是使用過(guò)的，最少有2個(gè)是使用過(guò)的，所以隨機(jī)變量X的所有取值為2,3,4.“X=2”表示抽取的2個(gè)都是使用過(guò)的，“X=3”表示抽取的2個(gè)中恰有1個(gè)是使用過(guò)的，“X=4”表示抽取的2個(gè)都是未使用過(guò)的，這是一個(gè)超幾何分布問(wèn)題，由超幾何分布的概率公式可求得隨機(jī)變量X的分布列.試題解析：（1）記“從盒中隨機(jī)抽取1個(gè)零件，抽到的是使用過(guò)的零件”為事件A，則P(A)=2所以3次抽取中恰有1次抽到使用過(guò)的零件的概率P=C（2）隨機(jī)變量X的所有取值為2,3,4.P(X=2)=C22P(X=4)=C所以，隨機(jī)變量X的分布列為:X

2

3

4

P

12110211021EX=2×1考點(diǎn)：1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率；2、超幾何分布；3、隨機(jī)變量的分布列.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）去絕對(duì)值，根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求出不等式的解集；（2）由題意得，再根據(jù)基本不等式即可求出.【題目詳解】（1）因?yàn)樗寓佼?dāng)時(shí)，由，解得②當(dāng)時(shí)，由，解得又，所以③當(dāng)時(shí)，不滿足，此時(shí)不等式無(wú)解綜上，不等式的解集為（2）由題意得所以=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用基本不等式的簡(jiǎn)單證明，注意利用基本不等式證明時(shí)要強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件！20、（1）；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）可以通過(guò)取計(jì)算出，再通過(guò)取時(shí)計(jì)算出,得出答案。