2024屆上海市虹口中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆上海市虹口中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若,則()A． B． C． D．2．直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是（）A． B． C． D．3．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．5．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作圓的切線（切點(diǎn)為），交軸于點(diǎn).若為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．6．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．-1152 B．48 C．1200 D．23527．已知隨機(jī)變量,且,則與的值分別為A．16與0.8 B．20與0.4C．12與0.6 D．15與0.88．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于()A． B． C． D．9．隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列，且，246則（）A． B． C． D．10．在正四面體中，點(diǎn)，分別在棱，上，若且，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．11．如果的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和是()A．0 B．256 C．64 D．12．函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．7個(gè)人站成一排，其中甲一定站在最左邊，乙和丙必須相鄰，一共有______種不同排法14．對(duì)于，，規(guī)定，集合，則中的元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．15．若，，則的最小值為_(kāi)_________．16．已知橢圓（a>b>0）的離心率為e，，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠是鈍角，則滿足條件的一個(gè)e的值為_(kāi)___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點(diǎn)陣表示，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱(chēng)為正方形數(shù)，記第個(gè)數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并加以證明.18．（12分）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．19．（12分）思南縣第九屆中小學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年6月13日在思南中學(xué)舉行，組委會(huì)在思南中學(xué)招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高如圖所示的莖葉圖（單位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.男女9157789998161245898650172345674211801119（1）如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共抽取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）某手機(jī)代工廠對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造評(píng)估，隨機(jī)抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個(gè)生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進(jìn)行對(duì)比，改造前、后手機(jī)產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01）.參考公式：隨機(jī)變量的觀測(cè)值計(jì)算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值．22．（10分）某儀器配件質(zhì)量采用值進(jìn)行衡量，某研究所采用不同工藝，開(kāi)發(fā)甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)該配件，為調(diào)查兩條生產(chǎn)線的生產(chǎn)質(zhì)量，檢驗(yàn)員每隔分別從兩條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)配件，測(cè)量并記錄其值，下面是甲、乙兩條生產(chǎn)線各抽取的30個(gè)配件值莖葉圖.經(jīng)計(jì)算得，，，，其中分別為甲，乙兩生產(chǎn)線抽取的第個(gè)配件的值.（1）若規(guī)定的產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)為合格，否則為不合格.已知產(chǎn)品不合格率需低于，生產(chǎn)線才能通過(guò)驗(yàn)收，利用樣本估計(jì)總體，分析甲，乙兩條生產(chǎn)線是否可以通過(guò)驗(yàn)收；（2）若規(guī)定時(shí)，配件質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)等，否則為不優(yōu)等，試完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為“配件質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)線有關(guān)”？產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)優(yōu)等產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)不優(yōu)等合計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由于兩個(gè)對(duì)數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對(duì)數(shù)換底公式，將不等式等價(jià)變形為以10為底的對(duì)數(shù)不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法2、A【解題分析】

由已知條件計(jì)算圓心到直線的距離和半徑進(jìn)行比較，即可求出結(jié)果【題目詳解】圓，圓心到直線的距離小于半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式：，，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，然后和半徑進(jìn)行比較，較為基礎(chǔ)．3、C【解題分析】

試題分析：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C．考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系．4、D【解題分析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解?！绢}目詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)?，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問(wèn)題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于偏難題．5、B【解題分析】

在中，為線段的中點(diǎn)，又，得到等腰三角形，利用邊的關(guān)系得到離心率.【題目詳解】在中，為線段的中點(diǎn)，又，則為等腰直角三角形.故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，屬于?？碱}型.6、B【解題分析】

先把多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的通項(xiàng)求出特定項(xiàng)的系數(shù)，求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)即可.【題目詳解】解：，的二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，的二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.7、D【解題分析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，且，解得，故選D.8、D【解題分析】分析：直接計(jì)算f(n+1)-f(n).詳解：f(n+1)-f(n)故答案為D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.（2）不能等于，因?yàn)榍懊孢€有項(xiàng)沒(méi)有減掉.9、A【解題分析】

根據(jù)a,b,c成等差數(shù)列，a+b+c=1，可解得a,b,c，進(jìn)而求出.【題目詳解】由，得.則，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列求概率，分析題目條件易求出．10、C【解題分析】

由題意畫(huà)出圖形，設(shè)，，，由余弦定理得到關(guān)于，，的方程組，求解可得，的值，然后分別求出三角形的面積及A到平面的高，代入棱錐體積公式得答案．【題目詳解】如圖，設(shè)，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，則，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距離．∴，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計(jì)算能力，是中檔題．11、D【解題分析】分析：先確定n值，再根據(jù)賦值法求所有項(xiàng)的系數(shù)和.詳解：因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是,選D.點(diǎn)睛：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法①如果是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②如果是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.12、A【解題分析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.詳解：因?yàn)?，所以所以切線方程為選A.點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240.【解題分析】分析：本題是一個(gè)排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，甲要站在最左邊，剩下6個(gè)位置，6個(gè)人排列，乙和丙必須相鄰，把乙和丙看成一個(gè)元素，同另外4個(gè)人排列，乙和丙之間也有一個(gè)排列，相乘得到結(jié)果．詳解：由題意知本題是一個(gè)排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，甲要站在最左邊，剩下6個(gè)位置，6個(gè)人排列，∵乙和丙必須相鄰，∴把乙和丙看成一個(gè)元素，同另外4個(gè)人排列，乙和丙之間也有一個(gè)排列，根據(jù)乘法原理知共有A55A22=240種結(jié)果，故答案為240點(diǎn)睛：站隊(duì)問(wèn)題是排列組合中的典型問(wèn)題，解題時(shí)要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒(méi)有限制條件的元素，最后要用計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果，本題的甲不影響排列．14、2【解題分析】分析：由⊕的定義，ab=1分兩類(lèi)進(jìn)行考慮：a和b一奇一偶，則ab=1；a和b同奇偶，則a+b=1．由a、b∈N*列出滿足條件的所有可能情況，再考慮點(diǎn)（a，b）的個(gè)數(shù)即可詳解：ab=1，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，則ab=1，滿足此條件的有1×1=3×12=4×9，故點(diǎn)（a，b）有6個(gè)；若a和b同奇偶，則a+b=1，滿足此條件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18組，故點(diǎn)（a，b）有35個(gè)，所以滿足條件的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故答案為2．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：列舉法在排列組合中的應(yīng)用，正確理解新定義的含義是解決本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

由題可得，，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為:4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用“整體乘1”的方法和基本不等式的性質(zhì)來(lái)求最值，注意基本不等式的前提是正數(shù).16、（答案不唯一，<e<1）【解題分析】

當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，因此滿足題意時(shí)，此角必為鈍角．【題目詳解】由題意當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，為鈍角，∴，∴，，，∴．答案可為．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)．解題中注意性質(zhì)：是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ），證明見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點(diǎn)知，由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個(gè)數(shù)的和，由此能求出和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由時(shí)，，時(shí)，，證明：時(shí)，時(shí)，可以逐個(gè)驗(yàn)證；證明時(shí)，時(shí)，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．【題目詳解】（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點(diǎn)可知；由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個(gè)數(shù)的和為，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.證明如下：證法1：當(dāng)時(shí)，已證.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，已證：②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，所以；那么，，所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立．根據(jù)①②，可知當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及數(shù)學(xué)歸納法不等式的證明，其中解答中要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)式定理和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．18、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類(lèi)討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時(shí)f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f′(x)<2；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(2，2)時(shí)，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.19、（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

(1)由題意及莖葉圖,有“高個(gè)子”12人,“非高個(gè)子”18人,利用用分層抽樣的方法,每個(gè)人被抽中的概率是,利用對(duì)立事件即可（2）由于從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者,用表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù),利用離散型隨機(jī)變量的定義及題意可知的取值為0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)事件的概率,有期望的公式求出即可【題目詳解】（1）根據(jù)莖葉圖,有“高個(gè)子”12人,“非高個(gè)子”18人,用分層抽樣的方法,每個(gè)人被抽中的概率是,所以選中的“高個(gè)子”有人,“非高個(gè)子”有人.用事件A表示“至少有一名“高個(gè)子”被選中”,則它的對(duì)立事件表示“沒(méi)有一名“高個(gè)子”被選中”,則因此,至少有一人是“高個(gè)子”的概率是.（2）依題意,的取值為0,1,2,3.

的分布列為:0123P所以【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題.解題時(shí)要注意莖葉圖的合理運(yùn)用.20、（1）0.1（2）有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)，詳見(jiàn)解析（3）（百部）【解題分析】

（1）由改造前的頻率分布直方圖計(jì)算前五個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即可得到答案．（2）由頻率分布直方圖補(bǔ)充表格，計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值與臨界值表中的數(shù)據(jù)比較即可得結(jié)論．（3）先估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間，然后利用中位數(shù)左右兩側(cè)長(zhǎng)方形面積相等列式計(jì)算即可．【題目詳解】解：（1）改造前手機(jī)產(chǎn)量低于5000部的頻率為，因此，事件的概率估計(jì)值為0.1．（2）根據(jù)手機(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：手機(jī)產(chǎn)量部手機(jī)產(chǎn)量部改造前138改造后3466由于，故有的把握認(rèn)為手機(jī)產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級(jí)改造有關(guān)．（3）因?yàn)楦脑旌笫謾C(jī)產(chǎn)量的頻率分布直方圖中，手機(jī)產(chǎn)量低于5000部的直方圖面積為，手機(jī)產(chǎn)量低于5500部的直方圖面積為，所以中位數(shù)在之間，設(shè)改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)為，則故改造后手機(jī)產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為（百部）．【題