湖南省市衡陽第八中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

湖南省市衡陽第八中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)有()A．最大值為1 B．最小值為1C．最大值為 D．最小值為2．函數(shù)的圖像恒過定點，若定點在直線上，則的最小值為（）A．13 B．14 C．16 D．123．從A，B，C，D，E5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、外語競賽，其中A不參加物理、化學競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．1204．從1，2，3，4這4個數(shù)中，不放回地任意取兩個數(shù)，兩個數(shù)都是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)的實部與虛部之差為（）A．-1 B．1C． D．6．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學家，他采用了以直代曲、無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，即從半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內(nèi)接正六邊形，若向圓內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．8．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含9．已知隨機變量，，若，，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.3610．某班制定了數(shù)學學習方案：星期一和星期日分別解決個數(shù)學問題，且從星期二開始，每天所解決問題的個數(shù)與前一天相比，要么“多一個”要么“持平”要么“少一個”，則在一周中每天所解決問題個數(shù)的不同方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．已知為兩個不同平面，為直線且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則__________________．14．的二項展開式中含的項的系數(shù)是________.15．正三棱錐底面邊長為1，側(cè)面與底面所成二面角為45°，則它的全面積為________16．某班有名學生,其中人選修課程,另外人選修課程,從該班中任選兩名學生,他們選修不同課程的概率是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù))．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點．（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，求的值．18．（12分）已知函數(shù).（1）當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的最小值；（3）證明：當時，.19．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個等式;(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.20．（12分）已知是拋物線上一點，為的焦點．（1）若，是上的兩點，證明：，，依次成等比數(shù)列．（2）若直線與交于，兩點，且，求線段的垂直平分線在軸上的截距．21．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

對函數(shù)進行求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷出函數(shù)的最值情況.【題目詳解】解:，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值為，故選A.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題，對函數(shù)的導函數(shù)的正負性的判斷是解題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

分析：利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)可求得定點，將點的坐標代入，結(jié)合題意，利用基本不等式可得結(jié)果.詳解：時，函數(shù)值恒為，函數(shù)的圖象恒過定點，又點在直線上，，又，（當且僅當時取“=”），所以，的最小值為，故選D.點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.3、C【解題分析】

根據(jù)題意,分2種情況討論:①不參加任何競賽,此時只需要將四個人全排列，對應(yīng)參加四科競賽即可；②參加競賽,依次分析與其他四人的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理可得此時參加方案的種數(shù)，進而由分類計數(shù)原理計算可得結(jié)論.【題目詳解】參加時參賽方案有(種)，不參加時參賽方案有(種)，所以不同的參賽方案共72種，故選C.【題目點撥】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.4、A【解題分析】試題分析：從4個數(shù)中任取2個數(shù)包含的基本事件有:共6個，其中兩個都是偶數(shù)的基本事件有共1個，所以所求概率為．故A正確．考點：古典概型概率．5、B【解題分析】試題分析：,故選B.考點：復(fù)數(shù)的運算.6、A【解題分析】

根據(jù)三視圖得出幾何體為一個圓柱和一個長方體組合而成，由此求得幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體由圓柱和長方體組合而成，故體積為，故選A.【題目點撥】本小題主要考查三視圖還原原圖，考查圓柱、長方體體積計算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案【題目詳解】由圖可知：，故選D.【題目點撥】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解題分析】

將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對值和兩半徑之和進行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系.【題目詳解】在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，，，，因此，曲線與相交，故選：B.【題目點撥】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標方程與普通方程的互化，對于這類問題，通常將圓的方程化為標準方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、A【解題分析】

由求出，進而，由此求出.【題目詳解】解：因為，，，所以，解得或（舍），由，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】分析：因為星期一和星期日分別解決4個數(shù)學問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同，都是0、1、2、3天，共四種情況，利用組合知識可得結(jié)論．詳解：因為星期一和星期日分別解決4個數(shù)學問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同，所以后面六天中解決問題個數(shù)“多一個”或“少一個”的天數(shù)可能是0、1、2、3天，共四種情況，所以共有=141種．故選：A．點睛：本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定中間“多一個”或“少一個”的天數(shù)必須相同是關(guān)鍵．11、B【解題分析】

當時，若，則推不出；反之可得，根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，判斷即可得到答案．【題目詳解】當時，若且，則推不出，故充分性不成立；當時，可過直線作平面與平面交于，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又，所以，又，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，關(guān)鍵是掌握充分條件和必要條件的定義，判斷是的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件能否推得條件；二是由條件能否推得條件．12、A【解題分析】

由正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【題目詳解】由三棱錐的正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【題目點撥】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-13【解題分析】

由題意可得：.14、60【解題分析】

，令即可.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，得，故的項的系數(shù)是60.故答案為：60【題目點撥】本題考查求二項展開式中的特定項的系數(shù)問題，考查學生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.15、.【解題分析】分析：設(shè)正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為2a,PO為三棱錐的高，做PD垂直于AB，連OD，則PD為側(cè)面的高，OD為底面的高的三分之一，在三角形POD中構(gòu)造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．詳解：設(shè)正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為2a,PO為三棱錐的高，做PD垂直于AB，連OD，則PD為側(cè)面的高，OD為底面的高的三分之一，在三角形POD中故全面積為：故答案為.點睛：這個題目考查了正三棱錐的表面積的求法，其中涉及到體高，斜高和底面的高的三分之一構(gòu)成的常見的模型；正三棱錐還有一特殊性即對棱垂直，這一性質(zhì)在處理相關(guān)小題時經(jīng)常用到.16、【解題分析】

先計算出總的方法數(shù)，然后在每類選科人中各選一人，利用分步計算原理計算得方法數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【題目詳解】∵該班有名學生則從班級中任選兩名學生共有種不同的選法又∵15人選修課程,另外35人選修課程∴他們是選修不同課程的學生的情況有:故從班級中任選兩名學生,他們是選修不同課程的學生的概率.【題目點撥】本小題主要考查古典概型的計算，考查分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用消參，可得橢圓的普通方程，以及利用可得直線的直角坐標方程，然后利用直線過點，可得結(jié)果.（2）寫出直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，以及聯(lián)立橢圓的普通方程，得到關(guān)于的一元二次方程，使用韋達定理，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）將曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，可得曲線的普通方程為，∴橢圓的右焦點直線的極坐標方程為，由，得∵直線過點，∴；（2）設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入，化簡得，則【題目點撥】本題考查極坐標方程，直角坐標方程以及參數(shù)方程的互化，重點在于對直線參數(shù)方程的幾何意義的理解，難點在于計算，屬中檔題.18、(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)的最小值為.(3)證明見解析.【解題分析】分析：函數(shù)的定義域為，（1）函數(shù)，據(jù)此可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由題意可知在上恒成立.據(jù)此討論可得的最小值為.（3）問題等價于.構(gòu)造函數(shù)，則取最小值.設(shè)，則.由于，據(jù)此可知題中的結(jié)論成立.詳解：函數(shù)的定義域為，（1）函數(shù)，當且時，；當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立.所以當時，，又，故當，即時，.所以，于是，故的最小值為.（3）問題等價于.令，則，當時，取最小值.設(shè)，則，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴.∵，∴，∴故當時，.點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19、(1)；(2)(i)當時,等式顯然成立；(ii)見證明；【解題分析】

（1）猜想第個等式為.（2）先驗證時等式成立，再假設(shè)等式成立，并利用這個假設(shè)證明當時命題也成立.【題目詳解】（1）猜想第個等式為.（2）證明：①當時，左邊，右邊，故原等式成立；②設(shè)時，有，則當時，故當時，命題也成立，由數(shù)學歸納法可以原等式成立.【題目點撥】數(shù)學歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般有2個基本的步驟：（1）歸納起點的證明即驗證命題成立；（2）歸納證明：即設(shè)命題成立并證明時命題也成立，此處的證明必須利用假設(shè)，最后給出一般結(jié)論.20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由在拋物線上，求出拋物線方程；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得，，的長度，從而證得依次成等比數(shù)列；（2）將直線代入拋物線方程，消去，根據(jù)韋達定理求解出，從而可得中點坐標和垂直平分線斜率，從而求得垂直平分線所在直線方程，代入求得結(jié)果.【題目詳解】（1）是拋物線上一點根據(jù)題意可得：，，，，依次成等比數(shù)列（2）由，消可得，設(shè)的中點，線段的垂直平分線的斜率為故其直線方程為當時，【題目點撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線綜合問題，關(guān)鍵在于能夠通過直線與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理的形式，從而準確求解出斜率.21、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析