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吉林省公主嶺市第五高級(jí)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.2.若函數(shù)是奇函數(shù),則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.3.等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為A.1 B.2 C.3 D.44.在一個(gè)6×6的表格中放3顆完全相同的白棋和3顆完全相同的黑棋,若這6顆棋子不在同一行也不在同一列上,則不同的放法有A.14400種 B.518400種 C.720種 D.20種5.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是A.第10項(xiàng) B.第9項(xiàng) C.第8項(xiàng) D.第7項(xiàng)6.下列命題中,正確的命題是()A.若,則B.若,則不成立C.,則或D.,則且7.根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料,某地四月份吹東風(fēng)的概率為,下雨的概率為,既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù),則“”是“有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9.已知是拋物線上一點(diǎn),則到拋物線焦點(diǎn)的距離是()A.2 B.3 C.4 D.610.已知,且,.若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,,,且,其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則的值為()A. B. C.1 D.11.已知函數(shù)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)集合A={x|x2-3x<0},B={x|-2≤x≤2},則A∩B=()A.{x|2≤x<3}B.{x|-2≤x<0}C.{x|0<x≤2}D.{x|-2≤x<3}二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知方程有兩個(gè)根、,且,則的值為_(kāi)_____.14.若""是""的必要不充分條件,則的取值范圍是____.15.中醫(yī)藥是反映中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí),具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系,是中華文明的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn),某品種中成藥的藥物成份的含量(單位:)與藥物功效(單位:藥物單位)之間具有關(guān)系:.檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的5個(gè)樣本,得到成份的平均值為,標(biāo)準(zhǔn)差為,估計(jì)這批中成藥的藥物功效的平均值為_(kāi)_________藥物單位.16.不等式的解為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)證明:若a>0,則.18.(12分)如圖所示,在三棱柱中,是邊長(zhǎng)為4的正方形,,.(l)求證:;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的普通方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求.20.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,短軸長(zhǎng)為(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)直線l的斜率為3時(shí),求ΔPOQ的面積;(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M(m,0),滿足|PM|=|QM|?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,證明:;(2)若只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為;(1)計(jì)算;(2)猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】
首先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,之后應(yīng)用余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式,即可得到所求單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】因?yàn)?,根?jù)余弦函數(shù)的性質(zhì),令,可得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,故選C.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)余弦型函數(shù)的單調(diào)怎區(qū)間的求解問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式,余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,余弦型函數(shù)的性質(zhì),注意整體角思維的運(yùn)用.2、C【解題分析】的定義域?yàn)椋鼞?yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,又時(shí),,,為奇函數(shù).又原不等式可以化為,所以,所以,選C.點(diǎn)睛:如果一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù),那么它的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,我們可以利用這個(gè)性質(zhì)去求奇函數(shù)或偶函數(shù)中的參數(shù)的值.3、B【解題分析】∵a1+a5=10,a4=7,∴2a1+4、A【解題分析】根據(jù)題意,在6×6的棋盤(pán)中,第一顆棋子有6×6種放法,由于任意兩顆棋子不在同一行且不在同一列,則第二顆棋子有5×5種放法,第三顆棋子有4×4種放法,第四顆棋子有3×3種放法,第五顆棋子有2×2種放法,第六顆棋子有1種放法,又由于3顆黑子是相同的,3顆白子之間也是相同的,故6顆棋子不同的排列方法種數(shù)為種;故選A.點(diǎn)睛:在排列組合問(wèn)題中,遇見(jiàn)元素相同的排列時(shí),一般可以將兩個(gè)元素看作不同元素,排列結(jié)束后除以相同元素的全排列即可,比如有兩個(gè)元素相同即除以,如三個(gè)元素相同即除以.5、B【解題分析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=,令=0,得r=8.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng).選B.點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).6、C【解題分析】
A.根據(jù)復(fù)數(shù)虛部相同,實(shí)部不同時(shí),舉例可判斷結(jié)論是否正確;B.根據(jù)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是其本身判斷是否成立;C.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知是否正確;D.考慮特殊情況:,由此判斷是否正確.【題目詳解】A.當(dāng)時(shí),,此時(shí)無(wú)法比較大小,故錯(cuò)誤;B.當(dāng)時(shí),,所以,所以此時(shí)成立,故錯(cuò)誤;C.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知:或,故正確;D.當(dāng)時(shí),,此時(shí)且,故錯(cuò)誤.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合,難度一般.(1)注意實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集,因此實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù);(2)若,則有.7、C【解題分析】
在下雨條件下吹東風(fēng)的概率=既吹東風(fēng)又下雨的概率下雨的概率【題目詳解】在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為,選C【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算,屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解題分析】分析:利用函數(shù)的奇偶性將有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,轉(zhuǎn)化為時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象可得,從而可得結(jié)果.詳解:是偶函數(shù),有四個(gè)不同根,等價(jià)于時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),時(shí),,,時(shí),恒成立,遞增,只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意,時(shí),令,得在上遞增;令,得在上遞減,時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),,,得,等價(jià)于有四個(gè)零點(diǎn),“”是“有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”的必要不充分條件,故選B.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,所以中檔題.函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn),考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉;另外,函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式:函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).9、B【解題分析】分析:直接利用拋物線的定義可得:點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離.詳解:由拋物線方程可得拋物線中,則利用拋物線的定義可得點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離.故選B.點(diǎn)睛:本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】
求出,可得,若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,,,令,即,易知此方程最多有兩根,所以,,必有兩個(gè)相等,畫(huà)出的圖像,可得,根據(jù)圖像必有,可得,,可得答案.【題目詳解】解:由,可得,設(shè),可得:,可得,由,可得,,可得,若關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,,,令,且,,則有,易知此方程最多有兩根,所以,,必有兩個(gè)相等,由,易得在上單調(diào)遞增,此時(shí);在,此時(shí),其大致圖像如圖所示,可得,根據(jù)圖像必有,又為的兩根,即為的兩根即又,故,,故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查微分方程,函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等,綜合性大,屬于難題.11、D【解題分析】
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根,根據(jù)存在零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合得到不等式,解得即可.【題目詳解】函數(shù)存在零點(diǎn),等價(jià)于方程有解,即有解,令,則,方程等價(jià)于與有交點(diǎn),函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)(0,0),當(dāng)時(shí),與圖象恒有交點(diǎn),排除A,B,C選項(xiàng);又當(dāng)時(shí),恰好滿足時(shí),,此時(shí)與圖象恒有交點(diǎn),符合題意;故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,此類(lèi)問(wèn)題通常將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想,求參數(shù)的范圍,屬于較難題.12、C【解題分析】
求出集合A中不等式的解集,結(jié)合集合B,得到兩個(gè)集合的交集.【題目詳解】A={x|x2﹣3x<0}={x|0<x<3},∵B={x|﹣2≤x≤2},∴A∩B={x|0<x≤2},故選:C.【題目點(diǎn)撥】求集合的交、并、補(bǔ)時(shí),一般先化簡(jiǎn)集合,再由交、并、補(bǔ)的定義求解;在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化.一般地,集合元素離散時(shí)用Venn圖表示;集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示,用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、或1【解題分析】
對(duì)方程的兩根分成實(shí)根和虛根兩種情況討論,再利用韋達(dá)定理和求根公式分別求解.【題目詳解】當(dāng)△時(shí),,;當(dāng)△時(shí),,故答案為:或1.【題目點(diǎn)撥】此題考查實(shí)系數(shù)二次方程根的求解,考查分類(lèi)討論思想的運(yùn)用,求解的關(guān)鍵在于對(duì)判別式分大于0和小于0兩種情況.14、【解題分析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行求解,即可求得答案.【題目詳解】若""是""的必要不充分條件則即即的取值范圍是:.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用必要不充分條件求參數(shù)的取值范圍,利用“小范圍能推出大范圍”即可得出參數(shù)的范圍,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.15、92【解題分析】
由題可得,進(jìn)而可得,再計(jì)算出,從而得出答案.【題目詳解】5個(gè)樣本成份的平均值為,標(biāo)準(zhǔn)差為,所以,,即,解得因?yàn)?,所以所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位【題目點(diǎn)撥】本題考查求幾個(gè)數(shù)的平均數(shù),解題的關(guān)鍵是求出,屬于一般題.16、或或或【解題分析】
利用組合數(shù)公式得出關(guān)于的不等式,解出的取值范圍,即可得出正整數(shù)的取值.【題目詳解】,由組合數(shù)公式得,得,整理得,即,解得,由題意可知且,因此,不等式的解為或或或.故答案為:或或或.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合不等式的求解,解題的關(guān)鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析【解題分析】試題分析:用分析法證明不等式成立的充分條件成立,要證原命題,只要證,即只要證,進(jìn)而展開(kāi)化簡(jiǎn),可得只要證明,故得證.試題解析:要證只需證因?yàn)椋圆坏仁絻蛇吘笥诹阋虼酥恍枳C,即證只需證只需證,即證只需證,而顯然成立,所以原不等式成立.點(diǎn)睛:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件,定理,定義,公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義,公理,定理等,經(jīng)過(guò)一系列推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的方法.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解題分析】
(1)利用線面垂直的判定定理,證得平面,即可得到;(2)以為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【題目詳解】(1)證明:因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正方形,所以,又,,由線面垂直的判定定理,可得平面ABC,所以.(2)在中,有,所以,分別以AC,AB,為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則,同理得平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直判定與證明,以及空間角的求解問(wèn)題,考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵,同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用空間向量法,通過(guò)求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.19、(1),;(2).【解題分析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程;根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn),即可得的極坐標(biāo)方程.(2)聯(lián)立直線的極坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程,根據(jù)極徑的關(guān)系代入即可求得的值.【題目詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),得曲線的普通方程為,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,即.因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn),且傾斜角為,所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點(diǎn),對(duì)應(yīng)的極徑分別為,,由,得,所以,,又,,所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,利用極坐標(biāo)求線段和,屬于中檔題.20、(1)x24+y23=1(2)453(3)在【解題分析】
(1)根據(jù)題中條件列有關(guān)a、b、c的方程組,解出這三個(gè)數(shù),可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)先寫(xiě)出直線l的方程,并設(shè)點(diǎn)Px1,y1、Qx2,y2,將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式求出(3)①當(dāng)直線l的斜率為零時(shí),得出m=0;②當(dāng)直線l的斜率不為零時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx-1,設(shè)點(diǎn)Px1,y1、Qx2,y2,將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,并列出韋達(dá)定理,求出線段PQ的中點(diǎn)【題目詳解】(1)由已知得2b=23ca所以橢圓C的方程為x2(2)設(shè)直線l:?y=3(x-1),設(shè)點(diǎn)由y=3(x-1)x24點(diǎn)O到直線l的距離為d=32,則(3)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不符合題意;當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),m=0,當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l:y=k(x-1)(k≠0),設(shè)P由y=k(x-1)x2∴x1+xPQ的中點(diǎn)N4k23+4kkMN?kPQ綜上,在x軸上存在點(diǎn)M(m,0),滿足PM=QM,且m的取值范圍為【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求解,考查橢圓中三角形面積的計(jì)算以及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合問(wèn)題,這種類(lèi)型問(wèn)題常用韋達(dá)定理法求解,解題時(shí)要將題中一些問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化,考查計(jì)算能力,屬于中等題。21、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解題分析】
(1)將代入,可得等價(jià)于,即,令,求出,可
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