吉林省長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

吉林省長春實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧螧，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）2．若函數(shù)f(x)=x-2+A．-3≤a<32 B．-3≤a<1 C．a(chǎn)≥3．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某班級有6名同學(xué)去報名參加校學(xué)生會的4項(xiàng)社團(tuán)活動。若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團(tuán)，每個社團(tuán)都有人參加，每個人只參加一個社團(tuán)，則不同的報名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．43205．、、、、、六名同學(xué)站成一排照相，其中、兩人相鄰的不同排法數(shù)是（）A．720種 B．360種 C．240種 D．120種6．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．47．已知滿足約束條件，若的最大值為（）A．6 B． C．5 D．8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．10 B．12 C．16 D．209．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A．1 B．-1 C．2 D．-210．若隨機(jī)變量X的分布列：X01P0.2m已知隨機(jī)變量且，，則a與b的值為(

)A． B． C． D．11．有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：1、2、6號選手中的一位獲得第一名；觀眾乙猜測：4、5、6號選手都不可能獲得第一名；觀眾丙猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾丁猜測：3號選手不可能得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若,則的面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則________．14．雙曲線H的漸近線為x+2y＝1與x﹣2y＝1．若H經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），則雙曲線H的方程為_____．15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為______.16．已知命題p：?x∈R，ex－mx＝0，q：?x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(q)為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.18．（12分）證明下列不等式.（1）當(dāng)時，求證：；（2）設(shè)，，若，求證：.19．（12分）設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且的面積為，求的值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.21．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得與的單調(diào)區(qū)間相同，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若，求證：在上恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：，，所以?？键c(diǎn)：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運(yùn)算。2、A【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為曲線gx=x-2+2x-1與直線y=ax沒有交點(diǎn)，并將函數(shù)y=gx表示為分段函數(shù)的形式，并作出該函數(shù)的圖象，分析直線【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-所以方程x-2即函數(shù)g(x)=x-2+如圖所示，則h(x)的斜率a應(yīng)滿足-3≤a<32，故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對值函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，解本題需注意：（1）零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的公共點(diǎn)的個數(shù)問題；（2）含絕對值的函數(shù)一般利用零點(diǎn)分段法表示為分段函數(shù)。3、C【解題分析】

根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，從而得到答案．【題目詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充要條件.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【題目詳解】依題意，6名同學(xué)可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計數(shù)原理，可得種，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列、組合及簡單的計數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運(yùn)算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.5、C【解題分析】

先把、兩人捆綁在一起，然后再與其余四人全排列即可求出、兩人相鄰的不同排法數(shù).【題目詳解】首先把把、兩人捆綁在一起，有種不同的排法，最后與其余四人全排列有種不同的排法，根據(jù)分步計算原理，、兩人相鄰的不同排法數(shù)是，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了全排列和分步計算原理，運(yùn)用捆綁法是解題的關(guān)鍵.6、D【解題分析】

由橢圓方程得出即可【題目詳解】由可得，即所以長軸長為故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是由橢圓的方程得長軸長，較簡單7、A【解題分析】分析：首先繪制不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划?dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.8、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式即可求出.【題目詳解】，，，，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的計算，屬于較易題.9、A【解題分析】由題設(shè)可得，則復(fù)數(shù)的虛部等于，應(yīng)選答案A。10、C【解題分析】

先根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可求m的值，結(jié)合，，可求a與b的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所?；因?yàn)?，，所以解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差，注意兩個變量之間的線性關(guān)系對期望方差的影響.11、B【解題分析】

分別假設(shè)甲、乙、丙、丁猜對比賽結(jié)果，逐一判斷得到答案.【題目詳解】假設(shè)甲猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設(shè)乙猜對比賽：3號得第一名，正確假設(shè)丙猜對比賽：則觀眾丁猜測也正確，矛盾假設(shè)丁猜對比賽：則觀眾甲和丙中有一人正確，矛盾故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.12、C【解題分析】

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合（），求得，的值，利用可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為所以，設(shè)直線的方程為，將代入，可得，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，即，所以，所以的面積，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的方程與幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.解答有關(guān)直線與拋物線位置關(guān)系問題，常規(guī)思路是先把直線方程與-拋物線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

根據(jù)題意，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)合函數(shù)的解析式可得，進(jìn)而計算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，則又由則故答案為：3【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算和分段函數(shù)求值，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

設(shè)共漸近線的雙曲線系方程后，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案.【題目詳解】依題意可設(shè)所求雙曲線方程為，因?yàn)镠經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），所以，即，所以雙曲線的方程為，即.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了用共漸近線的雙曲線系方程求雙曲線方程，設(shè)出共共漸近線的雙曲線系方程是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

令，由導(dǎo)函數(shù)得最小值為，且端點(diǎn)處函數(shù)值.再由時，；時，，可得表達(dá)式，問題可得解.【題目詳解】則，由得當(dāng)時，當(dāng)時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.最小值為，又，，且當(dāng)時，即，解得，；當(dāng)時，即由，得，.綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取最小值為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了絕對值函數(shù)，還考查了分類討論思想，屬于難題.16、.【解題分析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的真假關(guān)系，確定命題p，q的真假，利用函數(shù)的性質(zhì)分別求出對應(yīng)的取值范圍即可得到結(jié)論．【題目詳解】若p∨（?q）為假命題，則p，?q都為假命題，即p是假命題，q是真命題，由ex﹣mx=0得m=，設(shè)f（x）=，則f′（x）==，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞遞減，當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞遞減，∴當(dāng)x=1時，f（x）=取得極小值f（1）=e，∴函數(shù)f（x）=的值域?yàn)椋ī仭蓿?）∪[e，+∞），∴若p是假命題，則0≤m＜e；命題q為真命題時，有Δ＝4m2－4≤0，則－1≤m≤1.所以當(dāng)p∨(q)為假命題時，m的取值范圍是[0，1].故答案為：【題目點(diǎn)撥】“”，“”“”等形式命題真假的判斷步驟：（1）確定命題的構(gòu)成形式；（2）判斷其中命題的真假；（3）確定“”，“”“”等形式命題的真假.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問題得解.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】分析：（1）利用分析法進(jìn)行證明；（2）利用常數(shù)代換法應(yīng)用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以；（2）因?yàn)?，，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.點(diǎn)睛：利用分析法證明時應(yīng)注意的問題(1)分析法采用逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時，?？紤]用分析法．(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達(dá)形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時，一定要嚴(yán)格按照格式書寫．19、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由經(jīng)過點(diǎn)P，得，由離心率為得=，再根據(jù)a2=b2+c2聯(lián)立解方程組即可；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y，得，易知判別式△＞1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，令其為，即可解出m值，驗(yàn)證是否滿足△＞1．詳解：（1）解：由已知解得，，∴橢圓的方程為.（2）解：由得：由得：設(shè)，，則，∴又到的距離為，∴即，解得：.符合，故.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．20、(1);(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過的點(diǎn)得到關(guān)于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得直線的斜率，再根據(jù)題意可得，根據(jù)此式可求得，為定值．試題解析：（1）由題意可得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，消去整理得，∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，∴．∵直線的斜率成等比數(shù)列，∴，整理得，∴，又，所以，結(jié)合圖象可知，故直線的斜率為定值．點(diǎn)睛：（1）圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是?？碱}型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起，注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的考查．（2）解決定值問題時，可直接根據(jù)題意進(jìn)行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21、(1).(2).【解題分析】

分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，求出，D，M四點(diǎn)的坐標(biāo)寫出對于的向量坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的夾角公式求解即