小學(xué)奧數(shù)幾何模型-之-蝴蝶模型+沙漏模型-非常講義-例題+作業(yè)-帶答案

小學(xué)幾何模型之蝴蝶模型

準(zhǔn)備練習(xí)

梯形中的蝴蝶模型

SAABC=SABQD

SA做—SRBOC=SABCD-SABOC

SAAOB=SAC0D

梯形的兩個(gè)翅膀相等。左=右

例題1

如圖：在梯形ABCD中，AD平行于BC,對角線AC和BD相交于點(diǎn)0。已知三角形AOD

與三角形DOC的面積分別是16平方厘米與24平方厘米，求梯形ABCD的面積。

△AOB的面積為24cm2

△BOC的面積：24X24+16=36(cm2)

梯形ABCD的面積：

16+24+24+36=100(cm2)

練習(xí)1

如圖：在梯形ABCD中，AD平行于BC,對角線AC和BD相交于點(diǎn)0。已知三角形DOC

與三角形BOC的面積分別是35平方厘米與49平方厘米，求三角形AOD的面積。

△AOB的面積為35平方厘米

△AOD的面積：35X35+49=25(cm2)

例題2

如圖：長方形ABCD被一些直線分成了若干部分。已知三角形ADG的面積是7平方厘米,

三角形BCH的面積是9平方厘米，求四邊形EGFH的面積。

連接EF

四邊形EGFH的面積：7+9=16(cm2)

練習(xí)2

如圖：長方形ABCD被一些直線分成了若干部分。已知三角形ADG的面積是24平方厘米,

三角形BHC的面積是17平方厘米，求四邊形GEHF的面積。

連接EF

四邊形EGFH的面積：24+17=41(cm2)

風(fēng)箏模型

S2：S1=BO:OD

S3：S4=BO:OD

S2：S]=S3:S4

SqXSg=S2XS4

上X下=左工右

例題3

如圖：一個(gè)不規(guī)則四邊形被兩條對角線分成四個(gè)小三角形。已知其中三個(gè)小三角形的面積,

求三角形CDG的面積。

△CDG的面積：3X84-4=6(cm2)

練習(xí)3

如圖：一個(gè)不規(guī)則四邊形被兩條對角線分成四個(gè)小三角形。已知其中三個(gè)小三角形的面積,

求三角形ABG的面積。

D

A

△ABG的面積：8X6+12=4(cm2)

例題4

如圖：四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)0。已知三角形ABD的面積是30平方

厘米，三角形ABC的面積是48平方厘米，三角形BCD的面積是50平方厘米，求三角形

BOC的面積。

△BOC和^AOB是等高模型

面積比為5:3

△BOC的面積為：

484-(5+3)X5=30(cm2)

練習(xí)4

如圖：一個(gè)園林形狀如四邊形ABCD,現(xiàn)測得三角形BCD的面積是25公頃，三角形ABC

的面積是24公頃，三角形ABD的面積是15公頃。其中在三角形BOC中有一個(gè)面積是5

公頃的湖，求三角形BOC除去湖的部分的面積。

OC:OA=25:15=5:3

B

△BOC和aAOB是等高模型

面積比為5:3

△BOC的面積為：

24+（5+3）X5=15（公頃）

△BOC除去湖的部分的面積:

15-5=10（公頃）

例題5

如圖：四邊形ABCD是邊長為4厘米的正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，CD=4DF,求陰影

部分的面積。

連接AF、EF

△ABF的面積：4X44-2=8(cm2)

△BEF的面積：2X3+2=3(cm2)

OA:OE=8:3

△ABE的面積：4X24-2=4(cm2)

△AOB和ABOE的面積比為8:3

△AOB的面積為:4+(8+3)X8=32/11(cm2)

練習(xí)5

如圖：四邊形ABCD是邊長為8厘米的正方形，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，求陰

影部分的面積。

AB

連接AF、EF

△ABF的面積：8X8+2=32(cm2)

△BEF的面積：4X44-2=8(cm2)

OA:OE=4:1

△ABE的面積：8X4-r2=16(cm2)

△AOB和ABOE的面積比為4:1

△AOB的面積為:16+(4+1)X1=16/5(cm2)

例題6

如圖：在三角形ABC中，/ACB是直角。已知AC=CD=8厘米，BC=12厘米，點(diǎn)M是

邊AB的中點(diǎn)，求三角形AMN的面積。

連接MD,SAABC=8X124-2=48(cm2)

SAACM=SABCM=484-2=24(cm2)

CD:BD=2:1SACDM=244-(2+1)X2=16(cm2)

AN:ND=3:2

SAABD=484-(2+1)Xl=16(cm2)

SAAMD=164-2=8(cm2)

SAAMN=84-(3+2)X3=24/5(cm2)

練習(xí)6

如圖：在直角三角形ABC中，點(diǎn)M、D分別是邊AB、BC的中點(diǎn)。己知AC和DC等長,

且都是6厘米，求陰影部分的面積。

連接MD,SAABC=6X6X24-2=36(cm2)

SAACM=SABCM=364-2=18(cm2)

SACDM=184-2=9(cm2)

AN:ND=2:1

SAACD=6X6-i-2=18(cm2)

SACDN=184-(2+1)Xl=6(cm2)

例題7

如圖：平行四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD相交于點(diǎn)0。已知三角形CEF、三角形

0EF、三角形ODF和三角形B0E的面積分別是3平方厘米、5平方厘米、5平方厘米和7

平方厘米，求三角形GCE的面積。

SABCD=7+5+3+5=20(cm2)

SAOBC=SAOCD=204-2=10(cm2)

SAOEC=10-7=3(cm2)

SAOCF=10-5=5(cm2)

EG:GF=3:5

SAGCE=34-(3+5)X3=9/8(cm2)

課后作業(yè)

1、如圖：在梯形ABCD中，已知三個(gè)小三角形的面積，那么三角形COD的面積為（)

平方厘米。

2、求下面長方形中不規(guī)則四邊形GEHF的面積，可以連接點(diǎn)（）和點(diǎn)（）

將其分割成兩個(gè)三角形，這樣可以構(gòu)成（）組蝴蝶模型，它們分別在梯形（）

中和梯形（）中。

答案：EF2ABEFCDFE

3、如圖：四邊形ABCD被分割成四個(gè)已知面積的小三角形。根據(jù)圖中所標(biāo)出的面積可知I：

SAAOD:SAAOB=（）:（）,SACOD:SABOC=（）:（）,

由此可得出關(guān)于不規(guī)則四邊形的一個(gè)結(jié)論：SAAOD:SAAOB=SACOD:SABOC?

4、如圖：已知在四邊形ABCD中，三角形ACD的面積是24平方厘米，三角形ABD的面

積是27平方厘米，三角形ABC的面積是30平方厘米，那么OB:OD=（）:（

（括號(hào)中填具體的數(shù)。）

C

答案：5:4

5、在下面的圖形中，我們（）（填“可以”或“不可以”）構(gòu)造蝴蝶模型。如果可

以，那么我們要怎么樣添加輔助線呢，請?jiān)趫D中畫出來。

答案：可以

6、在下圖的三角形ABC中可以構(gòu)造出蝴蝶模型嗎？如果可以，請作出輔助線；如果不可

以，請說明理由。

7、如圖：在一塊梯形花圃中，梅花的種植面積是15平方米，君子蘭的種植面積是25平方

米。這塊梯形花圃的面積是多少平方米？

△COD的面積為15平方米

△AOD的面積：15X15+25=9(m2)

梯形ABCD的面積：

15+15+9+25=64(m2)

8、如圖：在長方形中，甲、乙兩個(gè)小三角形的面積分別是8平方厘米和13平方厘米。不

規(guī)則四邊形丙的面積是多少平方厘米？

四邊形丙的面積：8+13=21(cm2)

9、如圖：不規(guī)則四邊形ABCD被分成了四個(gè)小三角形。已知三個(gè)小三角形的面積，求三角

形BOC的面積。

△BOC的面積：6X84-3=16

10、如圖：在四邊形ABCD中，三角形ACD的面積是16平方厘米，三角形BCD的面積是

20平方厘米，三角形ABC的面積是24平方厘米，求三角形BOC的面積。

OB:OD=24:16=3:2

△BOC和△COD是等高模型

面積比為3:2

△BOC的面積為：

204-(3+2)X3=12(cm2)

11、如圖：四邊形ABCD是邊長為6厘米的正方形，點(diǎn)E是邊BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),

點(diǎn)F為邊CD的中點(diǎn)。求三角形AOD的面積。

連接AF、EF

AD

3

F

3

B42C

△ADE的面積：6X6-？2=18(cm2)

△DEF的面積：3X24-2=3(cm2)

OA:OF=6:1

△ADF的面積：6X34-2=9(cm2)

△AOD和aDOF的面積比為6:1

△AOD的面積為:9+(6+1)X6=54/7(cm2)

12、如圖：在直角三角形ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC邊上靠近點(diǎn)A的三等

分點(diǎn)。已知AB和BD的長分別是12厘米和10厘米，求三角形AOE的面積。

連接DE,SAABC=12X10X24-2=120(cm2)

SAABD=SAACD=1204-2=60(cm2)

E為AC上三等分點(diǎn)

SAABE=1204-3=40(cm2)

SAADE=604-3=20(cm2)

BO:OE=60:20=3:1

SAAOE=404-(3+1)Xl=10(cm2)

13、如圖：平行四邊形ABCD的面積是3平方厘米，點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)。求陰影部分的

面積。

△ABM的面積:/XBCM的面積=1:2

AG:GC=1:2

△ABG的面積:△ABC的面積=1:3

陰影部分面積：平行四邊形的面積=1:3

陰影部分面積：34-3X1=1(cm2)

小學(xué)幾何模型之沙漏模型

課前引入：相似三角形

（1）認(rèn)識(shí)相似三角形

形狀相同，大小相似（三個(gè)角對應(yīng)相等）

ZA=ZD

ZB=ZE△ABC和4DEF相似

ZC=ZF

（2）相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)高，對應(yīng)邊）的比等于相似比

aR

相似比=會(huì)AC=BCAM

DE~DF~~EF~DN

沙漏模型

如圖：三角形AOB和三角形COD組成沙漏模型。

判定方法：①一組平行線，②一組交叉線。

AOBOABOF如果AO:OD=1:3,那么BO:OC=(1:3),

DO~CO~CD~OE

（其中。尸和OE分別是兩個(gè)三角形的高）AB:CD=(1：3),OE:OF=(3:1)□

例題1

如圖：在平行四邊形ABCD中，AB=16厘米，AD=10厘米，BE=4厘米，求FC的長。

BC=AD=10厘米

CD=AB=16厘米

CF:BF=CD:BE=4:1

FC的長：104-(4+1)X4=8(厘米)

練習(xí)1

如圖：在平行四邊形ABCD中，CD=14厘米，BE=2厘米，AE和DE的長度相同，求DF

的長。

AB=CD=14厘米

DE=AE=14+2=16（厘米）

DF:FE=CD:BE=7:1

DF的長：164-（7+1）X7=14（厘米）

沙漏模型

三角形AOB和三角形COD的面積之間有什么關(guān)系？

如果AB:CD=1:3,那么三角形AOB和三角形COD的面積比是多少?

OB:OC=OF:OE=AB:CD=1:3

SAAOB：SACOD=1：9

例題2

如圖：在正方形ABCD中，CE=2DE。已知正方形ABCD的面積是96平方厘米，求陰影

部分的面積。

△ABD的面積為96+2=48(cm2)

假設(shè)SZXDEF為1份，那么SZ\ABF為9份，S/kADF為3份

陰影部分面積：484-(9+3)Xl=4(cm2)

練習(xí)2

如圖：在長方形ABCD中，點(diǎn)E是邊DC的三等分點(diǎn)。已知三角形DQE的面積是1平方

厘米，求長方形ABCD的面積。

DE:AB=1:3

△ABQ的面積為9cm2

△ADQ的面積為3cm2

△ABD的面積為9+3=12(cm2)

長方形ABCD的面積為12X2=24(cm2)

金字塔模型

如圖：三角形ADE和三角形ABC組成金字塔模型。

判定方法：大三角形內(nèi)有一組平行線。

ADAEDEAM

(z1)x一=一=一=一

ABACBCAN

(其中/IM和/N分別為兩個(gè)三角形的高)

(2)片=

例題3

如圖：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行，并且AD=DF=FB,求三角形ADE、

四邊形DEGF和四邊形FGCB之間的面積比。

AD:AF:AB=1:2:3

SAADE:SAAFG:SAABC=1:4:9

假設(shè)4ADE的面積為1份，那么aAFG的面積為4份，^ABC的面積為9份

四邊形DEGF的面積為4-1=3（份）

四邊形FGCB的面積為9-4=5（份）

SAADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGCB=1:3:5

練習(xí)3

如圖：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。已知AD=3厘米，DF=2厘米，F(xiàn)B=1

厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之間的面積比。

A

AD:AF:AB=3:(3+2):(3+2+1)=3:5:6

SAADE:SAAFG:SAABC=9:2S:36

例題4

如圖：四邊形MBNF是一個(gè)邊長為2厘米的正方形，將邊BM延長1厘米至點(diǎn)A,將邊BN

延長3厘米至點(diǎn)C,連接點(diǎn)A、C,割出如圖所示的陰影部分，AC與MF、NF分別交于點(diǎn)

E、Q。求陰影部分的面積。

ME:BC=AM:AB=1:(1+2)=1:3

ME的長度：(2+3)4-3Xl=5/3(cm)

EF的長度；2-5/3=1/3(cm)

QN:AB=NC:BC=3:(3+2)=3:5

QN的長度：(1+2)4-5X3=9/5(cm)

FQ的長度：2-9/5=1/5(cm)

陰影部分的面積：1/3X1/5+2=1/30(cm2)

練習(xí)4

如圖：正方形BDEF和直角三角形ABC重疊在一起，已知AF:FB=1:3,BD:DC=3:4,AC

與EF、ED分別交于點(diǎn)G、Ho求三角形EGH與正方形BDEF的面積比。

假設(shè)BF和BD的長度均為3,那么AF的長度為1,CD的長度為4

FG:BC=AF:AB=1:(1+3)=1:4

FG的長度：(3+4)+4X1=7/4

GE的長度：3-7/4=5/4

HD:AB=DC:BC=4:(4+3)=4:7

HD的長度：(1+3)4-7X4=16/7

HE的長度：3—16/7=5/7

△EGH的面積：5/4X5/74-2=25/56

正方形BDEF的面積為3X3=9

△EGH與正方形BDEF的面積比為25/56:9=25:504

例題5

如圖：在三角形ABC中，MN平行于BC。己知三角形MNP的面積是8平方厘米，三角形

BPC的面積是18平方厘米，并且AM的長是4厘米，求BM的長。

SAMNP:SABPC=8:18=4:9

MN:BC=2:3

AM:AB=2:3

AB的長度：44-2X3=6(厘米)

BM的長度：6-4=2(厘米)

練習(xí)5

如圖：在三角形ABC中，MN平行于BC,AM=2厘米，BM=3厘米，三角形MNP的面

積是4平方厘米，求三角形BPC的面積。

MN:BC=AM:AB=2:(2+3)=2:5

SAMNP:SABPC=4:25

△BPC的面積：4+4X25=25(平方厘米)

例題6

如圖：一張鐵皮形如銳角三角形ABC,邊BC長120厘米，高AD長80厘米。現(xiàn)將這張鐵

皮加工成一個(gè)正方形零件，使正方形的一邊在邊BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC

上，求這個(gè)正方形零件的邊長。

PN和AD的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)O,設(shè)正方形邊長為x厘米，那么AO為（80—x）厘米。

（80-x）:80=x:120

80x=9600-120x

200x=9600

x=48

正方形零件的邊長為48厘米。

練習(xí)6

如圖：在三角形ABC中，AM=2厘米，BM=4厘米，BC=9厘米，求正方形MNQP的面

積。

MN:BC=AM:AB=2:（2+4）=1:3

MN的長度：94-3X1=3（厘米）

正方形MNQP的面積：3X3=9（平方厘米）

例題7

如圖：在長方形ABCD中，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，AD邊的長是AE長的4倍。己知三角形

ADF的面積是44平方厘米，求三角形DEG的面積。

DE:AD=3:4

SADHE:SAADF=9:16

SADHE=444-16X9=99/4（平方厘米）

EH:AF=DE:AD=3:4

EH:CD=3:8

HG:DG=3:8

SAEHG:SADEG=3:8

△DEG的面積：99/44-（3+8）X8=18（平方厘米）

課后作業(yè)

1、如圖：AB平行于CD,三角形AOB和三角形COD構(gòu)成沙漏模型。已知AO:OD=1:2,

那么同樣比為1:2的線段還有哪幾組？

AB

CD

答案：2組：BO:OCAB:CD

2、如圖：在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上的三等分點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)E可知

三角形（）和三角形（）組成沙漏模型。

AD

答案：DEFABF

3、如圖：在三角形ABC中，DE和BC平行，如果DE:BC=2:3,那么SAADE:SAABC=

():()?

4、如圖：MN平行于BC,MP平行于AD,NQ平行于AD。已知圖中所標(biāo)示的線段長度,

那么BM:AB=():(),MN:BC=():()。

5、如圖：在三角形ABC中，MN平行于BC,BN,CM相交于點(diǎn)P,請寫出圖中的沙漏模

型和金字塔模型。

答案：沙漏模型：三角形MNP和三角形BPC

金字塔模型：三角形AMN和三角形ABC

6、如圖：在長方形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上的四等分點(diǎn)，點(diǎn)F為AB邊的中點(diǎn)，圖中

()(填“有”或“沒有”)沙漏模型。若利用三角形CDG來構(gòu)造沙漏模型,

請畫出輔助線。

答案：沒有。

7、如圖：在長方形中，甲、乙兩個(gè)小三角形的面積分別是8平方厘米和13平方厘米。不

規(guī)則四邊形丙的面積是多少平方厘米？

AB=CD=20-6=14(厘米)

DF:FB=DE:AB=20:14=10:7

BF的長：10+(10+7)X7=70/17(厘米)

8、如圖：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，對角線BD與AE相交于點(diǎn)F。已知

三角形DEF的面積是1平方厘米，求陰影部分的面積。

DE:AB=1:2

EF:AF=1:2

△ABF的面積為4cm2

△ADF的面積為2cm2

△ABD的面積為4+2=6(cm2)

正方形ABCD的面積為6X2=12(cm2)

陰影部分面積為12—4—2—1=5(cm2)

9、如圖：在三角形ABC中，DE,FG,BC互相平行，并且AD=4厘米，DF=3厘米，BF

=1厘米，求三角形ADE、四邊形DEGF和四邊形FGCB之間的面積比。

A

AD:AF:AB=4:(4+3):(4+3+1)=4:7:8

SAADE:SAAFG:SAABC=16:49:64

假設(shè)aADE的面積為16份，那么4AFG的面積為49份，△ABC的面積為64份

四邊形DEGF的面積為49-16=33(份)

四邊形FGCB的面積為64—49=15(份)

SAADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGCB=16:33:15

10、如圖：長方形BDEF和直角三角形ABC重疊在一起。已知AF=1厘米，F(xiàn)B=3厘米,

BD=4厘米，CD=3厘米，求三角形EGH的面積。

FG:BC=AF:AB=1:(1+3)=1:4

FG的長度：(4+3)4-4X1=7/4(cm)

GE的長度：4-7/4=9/4(cm)

HD:AB=CD:BC=3:(3+4)=3:7

HD的長度：(1+3)4-7X3=12/7(cm)

HE的長度：3-12/7=9/7(cm)

△EGH的面積：9/4X12/74-2=27/14(cm2)

11、如圖：在三角形ABC中，已知MP,AD,