四年級下冊數學奧數試題-培優(yōu)拓展訓練：第11講 整除-全國通用sc5

第〃耕卷除

456

國力①

[23?

IDT)IDED韋宙6年

56785678

IE)E)ZE)?S)K)E)

作業(yè)完成情況

知識梳理

1.整除的性質。

性質1：如果數a、b都能被c整除，那么它們的和（a+b）或差（a-b）也能被c整除。

性質2：如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a.

性質3：如果b、c都能整除a,且b和c互質，那么b與c的積能整除a。

性質4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

2.2、3、5倍數的特征。

能被2整除的數，個位上的數能被2整除（偶數都能被2整除），那么這個數能被2整

除；

能被5整除的數，個位上的數都能被5整除（即個位為0或5）那么這個數能被5整除：

能被3整除的數，各個數位上的數字和能被3整除，那么這個數能被3整除。

能被3（或9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被3（或9）整除。

能被4（或25）整除的數的特征：末兩位數能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的數的特征：末三位數能被8（或125）整除。

能被11整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差

（大減?。┦?1的倍數。

能被7（11或13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成

的數之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。

3,因數與倍數。

如果一個數能被另一個數整除，那么這個數是另一個數的倍數，另一個數是這個數的因

數。1只有1個因數。

兩個或多個數公有的倍數中，最小的一個叫作最小公倍數;兩個或多個數公有的因數中，

最大的一個叫作最大公因數。兩個數除了1以外沒有其他的公因數，那么這兩個數互質（互

為質數）。

4.質數和合數。

如果一個數除了1和它本身沒有其他的因數，那么這個數叫作質數（素數）。2是最小

的質數。

如果一個數除了1和它本身還有別的因數，那么這個數叫作合數。1既不是質數也不是

合數。

5.奇數和偶數。

如果一個數能夠被2整除，那么這個數叫作偶數；如果不能被2整除，那么這個數叫作奇數。

教學重-難點

第一，整除的意義；第二，奇數、偶數、質數（素數）、合數的理解；第三，倍數和因數的

認識，以及2、3、5倍數的特征;

趣味引人

兔媽媽和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔蘿卜，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，

小灰兔拔了5根，兔媽媽拔的蘿卜分別是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍數，兔媽媽至少拔

了多少根？

特色講解

例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能夠被2整除的有,

能夠被3整除的有,能夠被5整除的有一。

考點：2、3、5的倍數特征

分析：此題在于考察對整除定義的理解，只需要用2、3、5分別去除這些數，看它們的商是

否有余數，如果哪個數被除后，得到的商沒有余數，則這個數能被相應的數整除。

解答：能夠被2整除的數：8、14、30、62、68、70；能夠被3整除的數：3、24、27、30、

51；能夠被5整除的數：30、70o

點評：熟練掌握2、3、5的倍數特征

例2.50以內，2和3的公倍數有,2和5的公倍數有,3和5的公倍

數有,2、3、5的公倍數有?

考點：2、3、5的倍數特征和綜合倍數的特征

分析：此題考查的是公倍數，2和3的公倍數就是既是2的倍數，又是3的倍數，2和3的

最小公倍數是6,因此只要是6的倍數就是2和3的公倍數；同理可求出2和5、3和5、2

和3和5的公倍數。

解答：2和3的公倍數有：6、12、18、24、30、36、42、48：2和5的公倍數有10、20、

30、40、50；3和5的公倍數有15、30、45；2、3、5的公倍數有：30。

點評：掌握2、3,5的倍數特征

例3.30以內的奇數有；

30以內的偶數有；

30以內的質數有；30以內的合數有。

考點：奇數、偶數、質數、合數

分析：此題考查對奇數、偶數、質數、合數的掌握情況。

解答：30以內的奇數有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,、29；30

以內的偶數有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30；30以內的質

數有2、5、7、11、13、17、19、23、29；30以為的合數有4、6、8、9、10、12,14、15、

16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30?

點評：考查對奇數、偶數、質數、合數的掌握

例4.既不是質數也不是合數,最小的合數是,最小的質數是,

最小的奇數是,最小的偶數是

考點：特殊數的考察

分析：此題考查對一些較為特殊的數的掌握。

解答：1,,4,2,1,0。

點評：熟練記憶特殊數

例5.3和一個數的最小公倍數是18,這個數是,12和一個不大于20的數的最

大公因數是4,這個數是o

考點：最大公因數和最小公倍數

分析：此題考查最小公倍數和最大公因數。3和一個數的最小公倍數是18,那么這個數一定

也是18的因數，18的因數有1、3、6、9、18,,而這些數只有18和3的最小公倍數是18；

12和一個不大于20的數的最大公因數是4,求這個數是多少，由最大公因數的定義可知,

這個數一定是4的倍數，20以內4的倍數有4、8、12、16、20,這些數中只有4,8,16,

20與12的最大公因數是4.

解答：18,4、8、16、20o

點評：會求最大公因數和最小公倍數

當堂練習

A

1.10以內的合數有（），20以內的質數有（）。

2.把36分解質因數是（），把63分解質因數是（）。

4：自然數中，最小/質數是（"i最小的合數是（）,最小的奇數是（），最小的

偶數是（）。

5.如果A=2X3X3,B=3X3X5,則A、B的最大公因數是（），最小公倍數是（）。

6.18的所有因數分別是（），12的所有因數分別是（）。

7.三個質數相乘的積是12,這三個質數分別是（）、（）、（）。

8.如果A+B=C，那么A與B的最大公因數是（），最小公倍數是（）。

9.一個奇數如果（），結果一定是偶數。

10.一個三位數6口3能被3整除，口中最小填（）。

11.在自然數1?20中，最大的質數是（），兩位數中最小的質數是（）。

12.有一個數，它是2的倍數，又含有因數3,能被5整除。這個數可能是（）o

B

1.求下列每組數的最大公因數。

30和4218和2715和45

2.求下面每組數的最小公倍數。

75和4526和3912、18和245、4用I10

3.求下面每組數的最大公因數（3個的除外）和最小公倍數。

36和5415和1814、3和216、15和30

4.五個相鄰自然數的乘積是55440,求這五個自然數。

5.甲數是乙數的三分之一，甲數和乙數的最小公倍數是54,甲數是多少？乙數是多少？

C

1.有一批零件，設計了三種不同的方法裝箱，第一種每箱裝18個，第二種每

箱裝24個，第三種每箱裝42個，結果都沒有多余。這批零件至少有多少

個？

2.把一塊長48米,寬32米的長方形土地劃成若干相同的正方形而沒有剩余,至少能劃幾塊?

3.三根鐵絲分別長24厘米、30厘米和42厘米,現(xiàn)把它們截成同樣長的小段,不能有剩余,每

段鐵絲最長是多少厘米？一共可截成幾段？

4.已知兩個自然數的積是5766,它們的最大公約數是31.求這兩個自然數。

5.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三

人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？

當堂檢測

1.一個數比100以內最大的質數多1,它和另一個數的最大公因數是7,求這個數是多少？

2.一筐蘋果500多個，每次拿3個，每次拿4個，每次拿5個都恰好多1個，這筐蘋果

共有多少個？

3.一個400米的環(huán)形跑道，原來每隔5米插有一面彩旗，現(xiàn)在需要改成每隔8米插一面彩旗,

不需要撥掉的彩旗有幾面？

4、1+2+3+-+1993的和是奇數？還是偶數？

5、一個數分別與另外兩個相鄰奇數相乘，所得的兩個積相差150,這個數是多少？

當堂總結

Ad

家庭作業(yè)

1.四名學生恰好一個比一個大一歲，年齡的積為5040,這四名同學的年齡從小到大的順序

是(),(),(),()。

2.把長，寬，高分別是150厘米，90厘米，60厘米的長方體木料，鋸成大小一樣的正方體

木塊沒有剩余，最少可以鋸成()塊。

3.在30和40之間找出兩個自然數，使它們的積與21X60相等，那么這兩個自然數是

()和()。

4.兩個數的乘積是432,最小公倍數是144,這兩個數是（）和（）

或（）和（）。

5.一個數分別被2,4,5除都余1,這個數在100到130之間，這個數是（）或

（

課程顧問簽字：教學主管簽李:

卷除

]234

456

。造?5A7g

456

]234

ID[E2)ID3ID?

56785678

作業(yè)完成情況

知識梳理

2.整除的性質。

性質1：如果數a、b都能被c整除,那么它們的和(a+b)或差(a—b)也能被c整除。

性質

2：如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a.

性質

3：如果b、c都能整除a,且b和c互質，那么b與c的積能整除a。

性質

4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

2.2、3、5倍數的特征。

能被2整除的數，個位上的數能被2整除(偶數都能被2整除)，那么這個數能被2整

除;

能被5整除的數,個位上的數都能被5整除（即個位為0或5）那么這個數能被5整除；

能被3整除的數，各個數位上的數字和能被3整除，那么這個數能被3整除。

能被3（或9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被3（或9）整除。

能被4（或25）整除的數的特征：末兩位數能被4（或25）整除。

能被8（或125）整除的數的特征：末三位數能被8（或125）整除。

能被11整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差

（大減?。┦?1的倍數。

能被7（11或13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成

的數之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。

6.因數與倍數。

如果一個數能被另一個數整除，那么這個數是另一個數的倍數，另一個數是這個數的因

數。1只有1個因數。

兩個或多個數公有的倍數中，最小的一個叫作最小公倍數；兩個或多個數公有的因數中，

最大的一個叫作最大公因數。兩個數除了1以外沒有其他的公因數，那么這兩個數互質（互

為質數）。

7.質數和合數。

如果一個數除了1和它本身沒有其他的因數，那么這個數叫作質數（素數）。2是最小

的質數。

如果一個數除了1和它本身還有別的因數，那么這個數叫作合數。1既不是質數也不是

合數。

8.奇數和偶數。

如果一個數能夠被2整除，那么這個數叫作偶數；如果不能被2整除，那么這個數叫作奇數。

教學重-難皮

第一，整除的意義；第二，奇數、偶數、質數（素數）、合數的理解；第三，倍數和因數的

認識，以及2、3、5倍數的特征:

趣味引入

兔媽媽和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔蘿卜，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，

小灰兔拔了5根，兔媽媽拔的蘿卜分別是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍數，兔媽媽至少拔

了多少根？

【解析】這是一個典型的求最小公倍數的問題，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔

拔了5根，兔媽媽拔的蘿卜分別是它們的倍數，求兔媽媽至少拔了多少根，就是求2、3、5

的最小公倍數。此題有兩種解法，一是分別列舉2、3、5的倍數，找出它們的最小公倍數；

二是顯然2、3、5除了1以外，沒有其他的公因數，因此可以直接相乘求出它們的最小公倍

數。

【答案】兔媽媽至少拔了30根。

4

特色講解

例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能夠被2整除的有,

能夠被3整除的有,能夠被5整除的有o

考點：2、3、5的倍數特征

分析：此題在于考察對整除定義的理解，只需要用2、3、5分別去除這些數，看它們的商是

否有余數，如果哪個數被除后，得到的商沒有余數，則這個數能被相應的數整除。

解答：能夠被2整除的數：8、14、30、62、68、70；能夠被3整除的數：3、24、27、30、

51；能夠被5整除的數：30、70o

點評：熟練掌握2、3、5的倍數特征

例2.50以內，2和3的公倍數有,2和5的公倍數有,3和5的公倍

數有，2、3、5的公倍數有,

考點：2、3、5的倍數特征和綜合倍數的特征

分析：此題考查的是公倍數，2和3的公倍數就是既是2的倍數，又是3的倍數，2和3的

最小公倍數是6,因此只要是6的倍數就是2和3的公倍數；同理可求出2和5、3和5、2

和3和5的公倍數。

解答：2和3的公倍數有：6、12、18、24、30、36、42、48；2和5的公倍數有10、20、

30、40、50；3和5的公倍數有15、30、45；2、3、5的公倍數有：30。

點評：掌握2、3、5的倍數特征

例3.30以內的奇數有：

30以內的偶數有；

30以內的質數有；30以內的合數有.

考點：奇數、偶數、質數、合數

分析：此題考查對奇數、偶數、質數、合數的掌握情況。

解答：30以內的奇數有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,、29；30

以內的偶數有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30；30以內的質

數有2、5、7、11、13、17、19、23、29；30以為的合數有4、6、8、9、10、12,14、15、

16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30?

點評：考查對奇數、偶數、質數、合數的掌握

例4.既不是質數也不是合數,最小的合數是,最小的質數是,

最小的奇數是,最小的偶數是

考點：特殊數的考察

分析：此題考查對一些較為特殊的數的掌握。

解答：1,,4,2,1,0。

點評：熟練記憶特殊數

例5.3和一個數的最小公倍數是18,這個數是,12和一個不大于20的數的最

大公因數是4,這個數是。

考點：最大公因數和最小公倍數

分析：此題考查最小公倍數和最大公因數。3和一個數的最小公倍數是18,那么這個數一定

也是18的因數，18的因數有1、3、6、9.18,,而這些數只有18和3的最小公倍數是18；

12和一個不大于20的數的最大公因數是4,求這個數是多少，由最大公因數的定義可知，

這個數一定是4的倍數，20以內4的倍數有4、8、12、16、20,這些數中只有4,8,16,

20與12的最大公因數是4.

解答：18,4、8、16、20o

點評：會求最大公因數和最小公倍數

當堂練習

A

1.10以內的合數有（），20以內的質數有（）o

考點：質數和合數的概念

分析：如果一個數除了1和它本身沒有其他的因數，那么這個數叫作質數。如果一個數除了

1和它本身還有別的因數，那么這個數叫作合數。

解答：4、6、8、9、10；2、3、5、7、11、13、17、19

點評：熟練記憶質數和合數的概念

6.把36分解質因數是（），把63分解質因數是（）.

考點：分解質因數

分析：把一個合數分解成幾個質數相乘的形式

解答：36=2X2X3X3;63=3X3X7

點評：掌握分解質因數的方法

7.（1）既不是質數也不是合數。

考點：質數和合數

分析：如果一個數除了1和它本身沒有其他的因數，那么這個數叫作質數。如果一個數除了

1和它本身還有別的因數，那么這個數叫作合數。1既不是質數，也不是合數。

解答：1

點評：熟練記憶質數和合數的知識點

8.自然數中，最小的質數是（），最小的合數是（）,最小的奇數是（）,最小的偶

數是（）。

考點：質數、合數、奇數、偶數

分析：如果一個數除了1和它本身沒有其他的因數，那么這個數叫作質數。如果一個數除了

1和它本身還有別的因數，那么這個數叫作合數。如果一個數能夠被2整除，那么這個數叫

作偶數；如果不能被2整除，那么這個數叫作奇數。

解答：2,4,1,2

點評：熟練掌握概念

9.如果A=2X3X3,B=3X3X5,則A、B的最大公因數是（），最小公倍數是（）。

考點：分解質因數求最大的公因數和最小公倍數

分析：兩個或多個數公有的倍數中，最小的一個叫作最小公倍數；兩個或多個數公有的因數

中，最大的一個叫作最大公因數。

解答：9；90

點評：最大公因數和最小公倍數的求法

6.18的所有因數分別是（），12的所有因數分別是（）。

考點：求一個數的因數

分析：18=1X1812=1X12

18=2X912=2X6

18=3X612=3X4

解答：1、2、3、6、18；1、2、3、4、6、12

點評：掌握求一個數因數的方法

9.三個質數相乘的積是12,這三個質數分別是（）、（）、（）。

考點：分解質因數

分析：12=2X2X3

解答：2,2,3

點評：把一個合數分解成兒個質數相乘的形式

10.如果A+B=C,那么A與B的最大公因數是（），最小公倍數是（）。

考點：最大公因數和最小公倍數

分析：兩個數是倍數關系時，最大公因數是較小的數，最小公倍數是較大的數

解答：B,A

點評：最大公因數和最小公倍數的求法

11.一個奇數如果（），結果一定是偶數。

考點：奇數，偶數的考察

分析：奇數X奇數=奇數，奇數X偶數=偶數，偶數X偶數=偶數

解答：乘以一個偶數

點評：奇數、偶數的概念

12.一個三位數6口3能被3整除，口中最小填（）o

考點：3的倍數特征

分析：能被3整除的數，各個數位上的數字和能被3整除，那么這個數能被3整除。

6+3+0=9

解答：0

點評：熟練掌握3的倍數特征

11.在自然數1?20中，最大的質數是（），兩位數中最小的質數是（）。

考點：質數

分析：如果一個數除了1和它本身沒有其他的因數，那么這個數叫作質數。

解答：17,11

點評：考察100以內質數的記憶

12.有一個數，它是2的倍數，又含有因數3,能被5整除。這個數可能是（）。

考點：2,3,5倍數的特征

分析：求2,3,5的公倍數

解答：30、60……

點評：熟練求2,3,5的公倍數

B

1.求下列每組數的最大公因數。

30和4218和2715和45

考點：求最大公因數

分析：用短除法求最大公因數

解答：最大公因數6；最大公因數9；最大公因數5

點評：會用短除法求最大公因數

2.求下面每組數的最小公倍數。

75和4526和3912、18和245、4和10

考點：求最小公倍數

分析：用短除法分解質因數求最小公倍數

解答：最小公倍數225；最小公倍數78；最小公倍數72；最小公倍數20

點評：掌握求最小公倍數的方法

3.求下面每組數的最大公因數（3個的除外）和最小公倍數。

36和5415和1814、3和216、15和30

考點：最大公因數和最小公倍數

分析：36=2X2X3X3,54=2X3X3X3；15=3X5,18=2X3X3；14=2X7；21=3X7；6=2X3,

15=3X5；30=2X3X5

解答：最大公因數18,最小公倍數108；最大公因數3,最小公倍數90；最小公倍數42；

最小公倍數60

點評：掌握求兩三個數的最大公因數和最小公倍數

4.五個相鄰自然數的乘積是55440,求這五個自然數。

考點：分解質因數

分析：55440=2X2X2X2X3X3X5X11

解答：7、8、9、10、11

點評：遇見這種題型要去分解質因數

5.甲數是乙數的三分之一，甲數和乙數的最小公倍數是54,甲數是多少？乙數是多少？

考點：分解質因數

分析：甲數是乙數的三分之一，所以甲、乙的最小公倍數是乙數，所以乙數是54,甲數是

18

解答：甲數是18,乙數是54

點評：準確分析題意，抓住關鍵信息“甲數和乙數的最小公倍數是54”

C

1.有一批零件,設計了三種不同的方法裝箱,第一種每箱裝18個，第二種每箱24個,第三種

每箱裝42個，結果都沒有多余。這批零件至少有多少個？

考點：最小公倍數

分析：求這批零件至少有多少個，就是求18、24、42的最小公倍數。

解答：18、24、42的最小公倍數是168。

點評：抓住題中關鍵信息，“至少”提示最小公倍數的信息。

2.把一塊長48米,寬32米的長方形土地劃成若干相同的正方形而沒有剩余,至少能劃幾

塊？

考點：最大公因數

分析：把長48米，寬32米的長方形土地劃成相同的正方形，就是求48和32的最大公因數,

它們的最大公因數是16,長和寬分別包含正方形邊長的個數的乘積，就是能劃成正方形的

塊數。

解答：48、32的最大公因數是16,48+16=3,32+16=2,3X2=6（塊）。

點評：關鍵信息''劃成若干相同的正方形而沒有剩余”

3.三根鐵絲分別長24厘米、30厘米和42厘米，現(xiàn)把它們截成同樣長的小段,不能有剩余，

每段鐵絲最長是多少厘米？一共可截成幾段？

考點：最大公因數

分析：把三根不同長度的鐵絲截成同樣長度的小段沒有剩余，就是求它們的最大公因數。把

每根包含的段數相加，就是可以截成的段數。

解答:24、30、42的最大公因數是6,24+6=4（段），304-6=5（段），42+6=7（段），4+5+7=16

（段）。

點評：關鍵信息”截成同樣長的小段,不能有剩余”

4.已知兩個自然數的積是5766,它們的最大公約數是31.求這兩個自然數。

考點：分解質因數

分析：先分解質因數5766,

解答：設這兩個自然數為A和B。

[A,B]=57664-31=186

7186=2X3X31,

.?.這兩個自然數為31和186或62和93。

點評：根據題意分解質因數分情況解決問題

5.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟

三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？

考點：最小公倍數

分析：找到2,6,8的最小公倍數，十月一日再加24天是十月二十五日

解答：10月25日。

點評：根據題意可知是求最小公倍數

1.一個數比100以內最大的質數多1,它和另一個數的最大公因數是7,求這個數是多少？

考點：質數和最大的公因數

分析：100以內最大的質數是97,加上1就是98,因為98和另一個數的最大公因數是7,

可見另一個數是7的倍數，因此只要找出100以內7的倍數且符合條件的即可。

解答：100以內最大的質數是97,97+1=98,100以內7的倍數有7、14、21、28、35、42、49、

56、63、70、77、84、91、98,在這些數中符合條件的有7、21、35、63、77、91。

點評：熟練記憶100以內的質數，并會求一個數的倍數。

2.一筐蘋果500多個，每次拿3個，每次拿4個，每次拿5個都恰好多1個，這筐蘋果

共有多少個？

考點：最小公倍數

分析：一筐蘋果500多個，每次拿3個，每次拿4個，每次拿5個都恰好多1個，說明這筐

蘋果的個數比3、4、5公倍數多1,因此只要求出500到600之間的3、4、5的公倍數再加

1即可。

解答：3、4、5的最小公倍數是60,500到600之間60的倍數有540,因此這筐蘋果共有

540+1=541（個）。

點評：抓住關鍵信息“恰好”，每次、每次、每次……

3.一個400米的環(huán)形跑道,原來每隔5米插有一面彩旗，現(xiàn)在需要改成每隔8米插一面彩旗,

不需要撥掉的彩旗有幾面？

考點：最小公倍數

分析：求不需要拔掉的彩旗面數，就是求400以內，既是5的倍數又是8的倍數的數有多少

個（因為起點插一面，故不包括400）。

解答：5和8的最小公倍數是40,400以內它們的公倍數有40、80、120、160、200、240、

280、320、360共9個，加上起點那一面共10面。

點評：將植樹問題和求最小公倍數問題結合

4、1+2+3+…+1993的和是奇數？還是偶數?

考點：奇數和偶數

分析：此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數，還是偶數.但是如果從加

數的奇、偶個數考慮，利用奇偶數的性質，同樣可以判斷和的奇偶性.此題可以有兩種解法。

解答：解法1：V1+2+3+-+1993

又.??997和1993是奇數，奇數X奇數=奇數，原式的和是奇數。

解法2：：1993+2=996…1,?1993的自然數中，有996個偶數，有997個奇數。

V996個偶數之和一定是偶數，又?.?奇數個奇數之和是奇數，

??.997個奇數之和