人教版八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期平行四邊形單元 期末復(fù)習(xí)強化試卷檢測試卷

人教版八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期平行四邊形單元期末復(fù)習(xí)專題強化試卷檢測

試卷

一、選擇題

1.如圖，在邊長為5的正方形4BCD中，以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD

的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.如圖，菱形ABCD中，/BAD=60。，AC與BD交于點。，E為CD延長線上的一點，且

CD=DE,連結(jié)8E分別交AC,AD于點F、G,連結(jié)0G,則下列結(jié)論：①。G=gAB；②與

△EG。全等的三角形共有5個；③$四崛0（^>5”步；④由點A、B、。、E構(gòu)成的四邊形是菱

形.其中正確的是（）

BA

CDE

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④

3.如圖，在正方形ABC。中，E,R分別為BC,。。的中點，P為對角線AC上的一

個動點，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是（）

B￡E

A.ABB.CEC.ACD.AF

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、尸是對角線AC上的兩點且AE=CF,下列說

法中正確的是（）

①BE=DF；②BEHDF；③④四邊形E5F。為平行四邊形；

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

5.如圖，在矩形ABC。中，把矩形ABC。繞點。旋轉(zhuǎn)，得到矩形FECG,且點E落在

AO上，連接BE，BG,BG交CE于點、H,連接若FH平分DEFG,則下列結(jié)

論：

@AE+CH=EH；

②NDEC=2NABE；

③BH=HG；

④Ca=2A8,其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，P為ABCO內(nèi)一點，過點P分別作A8,的平行線，交ABCD的四邊

于E、F、G、H四點，若BHPE面積為6,GPEO面積為4,則△APC的面積為

（）

C.1D.2

7.如圖，正方形ABCD中，對角線4：、8。交于點。，折疊正方形紙片，使落在BC

上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕。E分別交AB,4:于點E、G,連結(jié)GF,

給出下列結(jié)論①NAGD=110.5。；@SAAGO=SAOGO;③四邊形AEFG是菱形；④8F=0OF；

⑤如果SAOGF=1，那么正方形ABCD的面積是12+8J5，其中正確的有（）個.

A.2個B.3個C.4個D.5個

8.如圖，矩形ABC。中，AD=5,4B=7,點E為。C上一個動點，把A4DE沿AE

折疊，點D的對應(yīng)點為康，若。0落在NABC的平分線上時，DE的長為（）

5_5_55_33-

A.一或2B.一或一C.一或一D.一或2

323255

9.如圖，的對角線4?,8。交于點0,。上平分/4。。交8。于點

E,N8C0=6O。，A0=2AB,連接。E.下列結(jié)論：=AB-BD；②DB平分

NADE；@AB=DE；@5VCD￡=SVBOC,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點，將BCE沿BE翻折至BFE,連接

r375D.半

5

二、填空題

11.如圖，R3ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點D是BC邊上一點且CD=1,點P是線段

DB上一動點，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰RMAOP.當(dāng)P從點D出發(fā)運動

至點B停止時，點0的運動路徑長為.

12.如圖，以RtABC的斜邊AB為一邊，在AB的右側(cè)作正方形ABED,正方形對角線交

于點。，連接8,如果AC=4,8=6播，那么BC=.

13.如圖，在矩形ABCD中，AD=y/2AB,NBA。的平分線交BC于點E,DHJLAE于點

H,連接8H并延長交CD于點F,連接。E交BF于點。，下列結(jié)論：①/AED=/CED；

②0E=0D；（3）BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=NF,其中正確的有.

14.如圖，R/AABE中，/8=90°,43=3￡,將入486繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到

AA”。,過。作OCL8E交3E的延長線于點C，連接B”并延長交0c于點尸，連接

DE交BF于點、0.下列結(jié)論：①DE平分N”O(jiān)C；②D0=0E；③CD=HF；

④BC—CF=2CE；⑤”是8尸的中點，其中正確的是

15.如圖，在平行四邊形A8CD,AD=2AB,F是AD的中點，作CE_LAB,垂足E在線段A8

上，連接EF、CF,則下列結(jié)論：①N8CD=2/DCF；②EF=CF；③SACDF=S△宙；④NDFE=

3NAEF,一定成立的是.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

16.在A5c中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC邊上的高.將ABC按如圖所示的方

式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF,則OEF的周長為.

17.如圖，已知在AABC中，AB=AC=13,BC=10,點M是AC邊上任意一點，連接MB,以

MB,MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

18.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點P在BC邊上，將4CDP沿DP折疊，點C落

在點E處，PE,DE分別交AB于點0,F,且OP=OF,貝UAF的值為.

19.如圖，長方形ABC。中，AD=26,45=12,點。是8c的中點，點尸在AO邊

上運動，當(dāng)VBPQ是以QP為腰的等腰三角形時，AP的長為,

20.在菱形A8CD中，M是AD的中點，AB=4,N是對角線AC上一動點，△DMN的周長

最小是2+2g，則8。的長為.

三、解答題

21.在四邊形ABCD中，NA=NB=NC=ND=90，AB=CD10,

BC=AO=8.

(l)P為邊BC上一點，將ABP沿直線AP翻折至AEP的位置(點B落在點E處)

①如圖1,當(dāng)點E落在CD邊上時，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形(不寫

作法，保留作圖痕跡，用2B鉛筆加粗加黑).并直接寫出此時OE=；

②如圖2,若點P為BC邊的中點，連接CE,則CE與AP有何位置關(guān)系？請說明理由；

(2)點Q為射線DC上的一個動點，將AOQ沿AQ翻折，點D恰好落在直線BQ上的點

D'處，則;

22.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有很多典型的基本圖形.

(1)如圖①，ABC中，=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點A,80,直線/,

CE上直線/,垂足分別為。、E.試說明ABD^CAE；

(2)如圖②，A3C中，ZBAC=90°,A8=AC,點。、A、E在同一條直線

上，BD1DF,A￡)=3,BD=4.則菱形AEFC面積為.

(3)如圖③，分別以ArABC的直角邊AC、AB向外作正方形ACOE和正方形

ABFG,連接EG,A"是A8C的高，延長“A交EG于點/,若AB=6,

AC=8,求A/的長度.

23.在ABC。中，以AD為邊在A8CO內(nèi)作等邊AADE,連接3E.

(1)如圖1,若點E在對角線3。上，過點A作A"_L8。于點〃，S.ZDAB=75°,

AB=R，求的長度；

(2)如圖2,若點尸是3E的中點，且過點E作MNCF,分別交AB,

CD于點、M,N,在￡)C上取。G=CN,連接CE,EG.求證：

①ACEN/M)EG；

②AENG是等邊三角形.

DG

H

24.如圖1,在正方形ABC。和正方形8EFG中，點A,8,E在同一條直線上，P是線段

。廠的中點，連接PG,PC.

(1)求證：PGLPC,PG=PC.

簡析：由P是線段的中點，DC//CF,不妨延長GP交。C于點M,從而構(gòu)造出一

對全等的三角形，即三.由全等三角形的性質(zhì)，易證VCMG是

三角形，進而得出結(jié)論；

(2)如圖2,將原問題中的正方形A8CO和正方形BEFG換成菱形ABC。和菱形

PC

BEFG,且NABC=NBEE=60。，探究PG與PC的位置關(guān)系及一的值，寫出你的猜

PC

想并加以證明：

(3)當(dāng)AB=6,8E=2時，菱形ABC。和菱形BEFG的頂點都按逆時針排列，且

ZABC=Z.BEF=60°.若點A、B、E在一條直線上，如圖2,則CP=；若點

A、B、G在一條直線上，如圖3,則CP=.

D

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知口0ABe的頂點A(10,0)、C(2,4),點。是

OA的中點，點P在BC上由點B向點C運動.

(1)求點B的坐標(biāo)；

(2)若點P運動速度為每秒2個單位長度，點P運動的時間為t秒，當(dāng)四邊形PCDA是平

行四邊形時，求t的值；

(3)當(dāng)aODP是等腰三角形時，直接寫出點P的坐標(biāo).

C<-PB

ODAx

26.已知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)。(0°<a<90°),得到

線段CE,聯(lián)結(jié)BE、CE、DE.過點B作BF_LDE交線段DE的延長線于F.

(1)如圖，當(dāng)BE=CE時，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的大小發(fā)生變化時，NBE尸的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果變化，請用含。的

代數(shù)式表示；如果不變，請求出的度數(shù)；

(3)聯(lián)結(jié)AF,求證：DE=42AF-

27.已知：如下圖，A5c和BCD中，ZBAC=ZBDC=90''^E為8C的中點，連

接。E、AE.若。CAE,在。C上取一點尸，使得。尸=?！?連接EF交AO于。.

(1)求證：EFIDA.

(2)若BC=4,AD=2瓜求EF的長.

H

28.已知正方形ABC。與正方形(點C、E、F、G按順時針排列)，是的中點，連接，.

(1)如圖1,點E在上，點在的延長線上，

求證：DM=ME,DMl.ME

簡析：由是的中點，AD〃EF,不妨延長EM交AD于點N,從而構(gòu)造出一對全等的三角

形，即嶺.由全等三角形性質(zhì)，易證ADNE是三角形，進而得出結(jié)論.

(2)如圖2,在0c的延長線上，點在上，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請證明你的結(jié)

論；若不成立，請說明理由.

(3)當(dāng)AB=5,CE=3時，正方形的頂點C、E、F、G按順時針排列.若點E在直線CD上,

則DM=;若點E在直線BC上，貝DM=.

29.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,AD//BC,連接AC,點P、E分別在AB、CD

上，連接PE,PE與AC交于點F,連接PC,ND=NBAC,ZDAE=ZAEP.

(1)判斷四邊形PBCE的形狀，并說明理由；

(2)求證：CP=AE；

(3)當(dāng)P為A8的中點時，四邊形APCE是什么特殊四邊形？請說明理由.

30.如圖，ABC。的對角線4。,3￡)相交于點0,/181.406=6?！?8。=10(7〃,

點P從點A出發(fā)，沿AD方向以每秒1cm的速度向終點O運動，連接P。，并延長交BC

于點。.設(shè)點P的運動時間為/秒.

（1）求BQ的長（用含/的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)四邊形A5QP是平行四邊形時，求f的值；

32

（3）當(dāng)f=g時，點。是否在線段AP的垂直平分線上？請說明理由.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.C

解析：C

【分析】

分別以3為底和以3為腰構(gòu)造等腰三角形即可.注意等腰三角形的大小不同.

【詳解】

①以A為圓心，以3為半徑作弧，交AD、AB兩點，連接即可，此時三角形為腰為3的等

腰三角形：

②連接AC,在AC上，以A為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交AD、

AB兩點，連接即可

理由如下：；四邊形ABCD為正方形，

AZBAC=ZDAC=45°,

VEF±AC

/.△AEII與△AHF為等腰直角三角形

；.EF=EH+FH=AH+AH=3.且AE=AF=J^4”

故4AEF為底為3的等腰三角形；

③以A為端點在AB上截取3個單位，以截取的點為圓心，以3個單位為半徑畫弧，交BC

一個點，連接即可，此時三角形為腰為3的等腰三角形；

④連接AC,在AC上，以C為端點，截取1.5個單位，過這個點作AC的垂線，交BC、

DC兩點，然后連接A與這兩個點即可；

理由如下：與②同理可證EF=3,且EC=FC,

在aDEC和4DFC中，

VAC=AC,ZACE=ZACF,EC=FC

AADEC^ADFC

，AE=AF,

故4AEF為底為3的等腰三角形.

⑤以A為端點在AB上截取3個單位，再作著個線段的垂直平分線交CD一點，連接即可

根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，三角形為底為3的等腰三角形.

故滿足條件的所有圖形如圖所示：

故選C.

【點睛】

本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計作圖,等腰三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理,正方形的性質(zhì).明

確等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.A

解析：A

【分析】

由AAS證明aABG且Z\DEG,得出AG=DG,證出0G是4ACD的中位線，得出

OG=-CD=-AB,①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出aABD、ZiBCD是等邊

22

三角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四邊形ABDE是菱形，④正確；由菱形的性

質(zhì)得得出△ABG^ZXBDG名ZXDEG,由SAS證明△ABGgz^DCO,得出

△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,得出②不正確；證出0G是

△ABD的中位線，得出OG〃AB,OG=-AB,得出△GODSAABD,AABF^AOGF,由相

2

似二角形的性質(zhì)和面積關(guān)系得出S㈣迪彩ODGF=SAABF;③不正確；即可得出結(jié)果.

【詳解】

?.?四邊形A8CD是菱形，

：.AB^BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC±BD,

：./BAG=ZEDG,^ABO^ABCO^ACDO^AAOD,

,:CD=DE,

：.AB=DE,

在ZiABG和aEG中，

ZBAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE,

AB=DE

.?.△ABG絲ZWEG(AAS),

；.AG=DG,

，0G是ZiACD的中位線，

1I

AOG=-CD^-AB,

22

.?.①正確；

".,AB//CE,AB=DE,

二四邊形A8DE是平行四邊形，

'：ZBCD=ZBAD=60°,

.?.△ABD、△SCO是等邊三角形，

：.AB=BD=AD,ZODC=60°,

：.OD=AG,四邊形A8DE是菱形，

④正確；

.'.AD1BE,

由菱形的性質(zhì)得：AABG芻叢BDGWADEG,

在AABG和△DC。中，

OD=AG

<ZODC=ZBAG=60°,

AB=DC

.?.△A8G絲△DC。（SAS）,

"8。絲ZXBC。出△CDO0"。。絲"8G絲ZXBDG也△DEG,

②不正確：

VOB=OD,AG=DG,

；.OG是MBD的中位線，

1

AOG//AB,OG=-AB,

2

.?.△GODSAABD,AABFSAOGF,

.?.△GOD的面積=L△AB。的面積，AABF的面積=AOGF的面積的4倍，AF-.OF=2：1,

4

.?.△AFG的面積=4OGF的面積的2倍，

又?..△GOD的面積=AAOG的面積=48。6的面積，

?'.S四邊彩OOGF=5AA8F；

③不正確；

正確的是①④.

故選A.

【點睛】

本題考查菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性

質(zhì)，能通過性質(zhì)推理出圖中線段、角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

連接DP,當(dāng)點D,P,E在同一直線上時，由△PCFgZ\PCB可得DP=BP,BP+EP的最小值

為DE長，依據(jù)AADFgZXDCE,AF=DE,即可得到8P+EP最小值等于線段AF的長.

【詳解】

解：如圖，連接DP,

；PC=PC,ZPCD=ZPCB=45°

.?.△PCF^APCB

/.BP=DP

，BP+PE=DP+PE

當(dāng)點D,P,E在同一直線上時，BP+EP的最小值為DE長，

又：AB=CD,ZADF=ZECD,DF=EC,

.".△ADF^ADCE

，AF=DE,

/.BP+EP最小值等于線段AF的長，

故選：D.

【點睛】

本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對稱點C是解答此題的

關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【分析】

先根據(jù)全等三角形進行證明，即可判斷①和②，然后作輔助線，推出。D=OF,得出四邊形

BEDF是平行四邊形，求出BM=DM即可判斷④和⑤，最后根據(jù)AE=CF,即可判斷⑥.

【詳解】

①；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃DC,AB=DC,

二ZBAC=ZADC,

在aABE和4DFC中

AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

AAABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正確.

②?.?△ABEgZ\DFC,

ZAEB=ZDFC,

ZBEF=ZDFE,

；.BE〃DF,

故②正確.

③根據(jù)已知的條件不能推AB=DE,故③錯誤.

④連接BD交AC于0,過D作DM_LAC于M,過B作BN_LAC于N,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

；.D0=B0,0A=0C,

VAE=CF,

；.0E=0F,

四邊形BEDF是平行四邊形，

故④正確.

⑤,.?BN_LAC,DM±AC,

NBN0=/DM0=90°,

在△BN0和中

ZBN0=ZDM0

,ZB0N=ZD0M

OB=OD

AABNO^ADMO(AAS)

.\BN=DM

VS△AAJD?E=-2xAExDM,S△AJARBE=-2xAExBN

...^sAADE=^sAABE，

故⑤正確.

@VAE=CF,

.?.AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正確.

故答案是D.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

5.C

解析：C

【分析】

如圖，作BM_LEC于M.證明△BEAgZSBEM(AAS),ABMH^AGCH(AAS),利用全等

三角形的性質(zhì)即可一一判斷.

【詳解】

解：如圖，作BM1EC于M.

VCB=CE,

.??ZCBE=ZCEB,

；AD〃BC,

AZAEB=ZCBE,

.".ZAEB=ZMEB,

VZA=ZBME=90°,BE=BE,

.".△BEA^ABEM(AAS),

；.AE=EM,AB=BM.

VZBMH=ZGCH=90°,ZBHM=ZGHC,BM=AB=CG,

.,?△BMH^AGCH(AAS),

，MH=CH,BH=HG,

；.EH=EM+MH=AE+CH,故??正確，

VZAEB+ZABE=90°,

.?.2ZAEB+2ZABE=180°,

,.,ZDEC+ZAEC=180",ZAEC=2ZAEB,

AZDEC+2ZAEB=180°,

AZDEC=2ZABE,故②正確，

VFH平分NEFG,

，NEFH=45°,

：NFEH=90°,

；.AB=EF=EH,

VEH>HM=CH,

ACH<AB,故④錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查性質(zhì)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.C

解析：c

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四個平行四邊形，且SAAEP=SAAGP,SAPHC=S/\PFC，SAABC=S,^ADC>

利用面積比較的關(guān)系即可求出答案.

【詳解】

由題意知：四邊形BHPE、四邊形AEPG、四邊形HCFP、四邊形GPFD均為平行四邊形，

==

SAAEPSAAGP>SAPHC-SAPFC>SAABCSAADC>

又SAABC-SAAEP+S四邊彩BHPE+SAPHC-SAAPC①，

SAADC=SAAGP+S四邊/GPFD+SAPFC+SAAPC?，

②-①得，0=SntllKBHPE-SW??GPFD+2S/\APC>

即2SAAPC=6-4=2,

SAAPC=1.

故選：C.

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形一條對角線將平行四邊形的面積平分.

7.B

解析：B

【分析】

①由四邊形ABCD是正方形，可得NGAD=/ADO=45。，又由折疊的性質(zhì)，可求得NADG

的度數(shù)，從而求得/AGD；

②證△AEGWZ\FEG得AG=FG,由FG>OG即可得；

③先計算/AGE=NGAD+NADG=67.5。，ZAED=ZAGD-ZEAG=67.5°,從而得至Ij/AGE=

ZAED,易得AE=AG,由AE=FE、AG=FG即可得證；

④設(shè)OF=a,先求得NEFG=45°,易得/GFO=45°,在RtZ\OFG中，GF=J^OF=&a,

從而可證得BF=EF=GF=72OF；

2

⑤由SAOGF=1求出a,再表示出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結(jié)論.

【詳解】

解：：四邊形ABCD是正方形，

/EAG=NGAD=/ADO=45°,ZAOB=90°,

由折疊的性質(zhì)可得：ZADG=-ZADO=22.5°,

2

ZAGD=1800-ZGAD-ZADG=112.5°,

故①錯誤；

由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF,ZAEG=ZFEG,

AE=FE

在4AEG和AFEG中，<Z.AEG=ZFEG,

EG=EG

.".△AEG^AFEG（SAS）,

；.AG=FG,

：在RtZ^GOF中，AG=FG>GO,

??SAAGO>SAOGD>故②錯誤；

,/ZAGE=ZGAD+ZADG=67.5°,ZAED=ZAGD-ZEAG=67.5°,

.".ZAGE=ZAED,

，AE=AG,

又：AE=FE,AG=FG,

；.AE=EF=GF=AG,

四邊形AEFG是菱形，故③正確；

設(shè)OF=o,

VAAEG^AFEG,

AZEFG=ZEAG=45°,

又,.,NEFO=90°,

.,?ZGFO=45°,

.?.在Rt/XOFG中，GF=夜。F=J^a,

?.?/EFO=90。，ZEBF=45°,

...在Rt^EBF中，BF=EF=GF=72a>即BF=J^OF,故④正確；

,*,SAOGF=1?

12口n12

??一OF=1,即一o—1,

22

貝!la2=2,

；BF=EF=&a,且NBFE=90°,

ABE=2a,

又?.?AE=EF=J^a,

AB=AE+BE=y/2a+2a=（2+五）a,

則正方形ABCD的面積是（2+血尸。2=（6+4夜）x2=12+80，

故⑤正確；

故選：B.

【點睛】

本題考查了四邊形的綜合，熟練掌握正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)

以及全等三角形、菱形的判定與性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

連接BD，，過D，作MN_LAB,交AB于點M,CD于點N,作D，P_LBC交BC于點P,先

利用勾股定理求出MD\再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【詳解】

如圖，連接過。作MNLAB,交AB于點M,CD于點N,作DTLBC交BC于點P

???點。的對應(yīng)點。'落在NA8C的角平分線上，

：.MD'=PD',

設(shè)MD'=x,^\PD'=BM=x,

：.AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得4O=AO'=5,

X2+(7-X)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RtAEND中，設(shè)ED'=a,

①當(dāng)MD'=3時/M=7-3=4Q'N=5-3=2,EN=4-a,

a2=22+(4-a)2,

解得a=—,ERDE--,

22

②當(dāng)MD'=4時,AM=7-4=3,￡W=5-4=1,EN=3-a,

.?./=/+(3-a)2,

解得■，即DE=".

33

故選B.

【點睛】

本題考查翻折變換(折疊問題)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理與折疊問題.解

決本題的關(guān)鍵是依據(jù)題意分別表示Rt^AMD'和RtAEND的三邊,利用勾股定理解直角三

角形.

9.D

解析：D

【分析】

求得/ADB=90°,即AD_LBD,即可得至ljSoABCD=AD?BD；依據(jù)/CDE=60°,ZBDE=

30°,可得NCDB=/BDE,進而得出DB平分/CDE；依據(jù)RtABCD中，斜邊上的中線DE=

斜邊BC的一半，即可得至l」AD=BC=2DE,進而得到AB=DE；依據(jù)OE是中位線，即可得

到OE〃CD,因為兩平行線間的距離相等，進而得到SACDE=SA"D，再根據(jù)0C是△BCD的

中線，可得5△BOC—$△COD,即可得到SACDE=SABOC.

【詳解】

VZBCD=60°,四邊形ABCD是平行四邊形，

AZADC=180°—ZBCD=120°,BC//AD,BC=AD,

VDE平分NADC,

ZCDE=ZCED=60°=ZBCD,

/.△CDE是等邊三角形，

.".CE=CD=AD=BC,

；.E是BC的中點，

ADE=BE,

/BDE=ZCED=30°,

.,?ZCDB=90°,即CD_LBD,

，SSBCD=CD?BD=AB?BD,故①正確；

VZCDE=60°,ZBDE=30",

.,?ZADB=30°=ZBDE,

；.DB平分NCDE,故②正確；

「△CDE是等邊三角形，

；.DE=CD=AB,故③正確；

?..。是BD的中點，E是BC的中點，

AOE是ACBD的中位線,

?.OE〃CD,??SAOCD-SACDE>

VOC是小BCD的中線，

?'?SABOC=SACOD，

SACDE=SABOC，故正確，

故選D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線、平行線間的距

離相等、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用

相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的長，由折疊的性質(zhì)可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面積法可求

CH=t5,由勾股定理可求EH的長，由三角形中位線定理可求DF=2EH=S5.

55

【詳解】

解：如圖，連接CF,交BE于H,

D

1

5%-------------nc

;在正方形ABCD中,AB=4,E是CD的中點,

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

BE=dBC?+CE?=J16+4=25/5，

:將"CE沿BE翻折至ABFE,

???CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=-xBExCH=—xBCxCE,

.“46

??L.II-----,

5

???EH=^CE1-CH2=J4T=乎，

：CE=DE,FH=CH,

；.DF=2EH=-,

5

故選：D.

【點睛】

本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題

的關(guān)鍵.

二、填空題

11.2亞

【解析】

分析：過。點作OELCA于E,OFJ_BC于F,連接CO,如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得到OA=OP,/AOP=90。，則可證明△OAEgZXOPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分NACP,從而可判斷當(dāng)P

從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，接著證明

CE=g(AC+CP),然后分別計算P點在D點和B點時0C的長，從而計算它們的差即可得

到P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑長.

詳解：過。點作OE_LCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，

D

???△AOP為等腰直角三角形,

AOA=OP,ZAOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形，

ZEOF=90°,CE=CF,

.\ZAOE=ZPOF,

.?.△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑為一條線段，

：AE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

ACE=—(AC+CP),

2

.,.OC=V2(AC+CP),

當(dāng)AC=2,CP=CD=1時，0C=—x(2+1)=2^1,

22

當(dāng)AC=2,CP=CB=5時，0C=立x(2+5)=2^1,

22

當(dāng)P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點。的運動路徑長=述-逑=2正.

22

故答案為2夜.

點睛：本題考查了軌跡：靈活運用幾何性質(zhì)確定圖形運動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進行幾何計算.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

12.8

【分析】

通過作輔助線使得aCAO附△GB。，證明ACOG為等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG

后，即可求出BC的長.

【詳解】

AD

如圖，延長CB到點G,使BG=AC.

?根據(jù)題意，四邊形ABED為正方形，

Z4=Z5=45°,ZEBA=90°,

.".Zl+Z2=90°

又?.?三角形BCA為直角三角形，AB為斜邊,

Z2+Z3=90°

.,.Z1=Z3

，N1+N5=N3+N4,故NCAO=NGBO,

在△CAO和△GBO中，

CA=GB

<ZCAO=NGBO

AO=BO

故△CAOdGBO,

.*.CO=GO=6收，Z7=Z6,

VZ7+Z8=90",

N6+/8=90°,

三角形COG為等腰直角三角形，

CG=CB+BG,

CB=CG—BG=12—4=8,

故答案為8.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和

性質(zhì)，根據(jù)題意建立正確的輔助線以及掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

13.①②③④

【分析】

①根據(jù)角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=&AB,從而得到然后利用“角角邊”證明AABE

和△AMD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出/AOE=NAED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出NCED=67.5°,從而判斷出①正確；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5°,然后根據(jù)等角對等邊可得。E=OD=OH,判斷

出②正確；

③求出NE8H=/OHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45Q,然后利用“角邊角”證明△8EH和

△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得8H=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判斷出④正確；

⑤判斷出△AB”不是等邊三角形，從而得到ABW8H,即得到⑤錯誤.

【詳解】

:在矩形ABC。中，AE平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=y/2AB.

,:AD=eAB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在△A8E和△AH。中，V?ZABE=ZAHD=90°,A/\ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

:.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED^—(180°-45°)=67.5°,

2

/CED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正確；

VZAHB=(180°-45°)=67.5°,/OHE=NAHB(對頂角相等)，

：.NOHE=NAED,：.OE=OH.

"：ZDOH^O0-67.5°=22.5°,/ODH=67.5°-45°=22.5°,:.NDOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正確；

；NEBH=90°-67.50=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BEH和△HDF中，,/<BE=DH,.'./\BEH^/\HDF(ASA),:.BH=HF,

NAEB=/HDF

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(.CD+HE)-CCD-

HE)=2HE,所以④正確；

'：AB^AH,NBAE=45°,，ZVIBH不是等邊三角形，:.ABWBH,.?.即A8WHF,故⑤錯

誤；

綜上所述：結(jié)論正確的是①②③④.

故答案為①②③④.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角

形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

14.①②④⑤

【分析】

根據(jù)NB=90°,AB=BE,MBE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到AAHD,可得ZkABE=AAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。，ZHDC=45°,由

①有DE平分/HDC,得/HDO=22.5°,可得/AHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證/OHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確；

利用AAS證明ADHEWADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的/DHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDwHF,所以③錯誤；

根據(jù)4ABE是等腰直角三角形，川，正，是BC的中點，H是BF的中點，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過H作HJ_LBC于J,并延長HJ交AD于點I,得L)_LAD,I是AD的中點，J是BC的中點，

H是BF的中點，所以⑤正確；

【詳解】

?.,R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

NBAE=NBEA=45°,

又?.?將4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到MHD,

.-.△ABESAAHD,并且AABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90",

/ADE=NAED,

，/BAD=NBAE+/EAD=45°+45°=90°,

.".AD//BC,

ZADE=ZDEC,

AZAED=ZDEC,

又：DCJ_BC,

AZDCE=ZDHE=90°

由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

：/DAB=NABC=NBCD=90°,

...四邊形ABCD是矩形，

.".ZADC=90°,

；./HDC=45°,

由①有DE平分ZHDC,

11

/.ZHDO=—ZHDC=—x45°=22.5°,

22

VZBAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=；(180°-ZBAE)=；x(180°-45°)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

.".OD=OH,

在AAED中,AE=AD,

ZAED=；(180°-ZEAD)=gx(180°-45°)=67.5°,

...NOHE=NHEO=67.5°,

，OE=OH,

.\OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

NDHE=NDCE

<ZHDE=NCDE,

DE=DE

.,.ADHE^ADCE(AAS),

；.DH=DC,ZHDE=ZCDE=—x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

，/DHF=22.5°,

AZDFH=180o-ZHDF-ZDHF=180o-45<>-22.5,,=112.5°,

「?ZkDHF不是直角三角形，并DHwHF,

即有：CDHHF,所以③不正確；

如圖，過H作HJ_LBC于J,并延長HJ交AD于點I,

???△ABE是等腰直角三角形，JH1JE,

AJH=JE,

又〈J是BC的中點，H是BF的中點,

/.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

A2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

AIJ±AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中點，

:四邊形ABCD是矩形，HJXBC,

：.i是BC的中點，

；.H是BF的中點，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

15.①②④

【分析】

①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；

②延長EF,交CD延長線于點M,首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，得

出FE=MF,ZAEF=ZM,進而得出ZECD=ZAEC=90°,從而利用直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)即可判斷；

③由/E=MF，得出SVEFC=SVCFM，從而可判斷正誤：

④設(shè)NFEC=X,利用三角形內(nèi)角和定理分別表示出/DFE和/AEF,從而判斷正誤.

【詳解】

①：點F是AD的中點，

.