山東省臨沂市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題知識點分類

山東省臨沂市三年(2020-2022)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題知識點分類

一.分式的加減法

1.(2022?臨沂)計算：

(1)-23-r-lx(A-A)；

963

(2)

x+lX-1

二.二次根式的混合運算

2.(2021?臨沂)計算|-&|+(、歷-工）2-（加+工）2

_22

3.(2020?臨沂)計算：J/房

-sin60°.

三.反比例函數(shù)的性質(zhì)

一,

X

4.(2021?臨沂)已知函數(shù)y=<3X,

3

X

(1)畫出函數(shù)圖象；

列表：

X

描點，連線得到函數(shù)圖象:

>4

（3）設(shè)（XI,>'|）,（X2,”）是函數(shù)圖象上的點，若X1+X2=O,證明：yi+”=O.

四.反比例函數(shù)的應(yīng)用

5.（2022?臨沂）杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用（杠桿原理：阻力X阻力臂=動力又動力臂）,

小明利用這一原理制作了一個稱量物體質(zhì)量的簡易“秤”（如圖1）.制作方法如下：

第一步：在一根勻質(zhì)細木桿上標上均勻的刻度（單位長度1C7H）,確定支點O,并用細麻

繩固定，在支點。左側(cè)2c機的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；

第二步：取一個質(zhì)量為0.5奴的金屬物體作為秤蛇.

（1）圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤坨掛在支點O右側(cè)的8處，秤桿平衡，就能稱得

重物的質(zhì)量.當重物的質(zhì)量變化時，的長度隨之變化.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,OB的

（2）調(diào)換秤花與重物的位置，把秤槍掛在秤鉤上，重物掛在支點。右側(cè)的8處，使秤

桿平衡，如圖2.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,。3的長為寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，完

成下表，畫出該函數(shù)的圖象.

xlkg0.250.524

ylem

Ay

A--------1------1-------T-------I----------1---------1-----T

2--------1----------------T-------I----------1---------1-----T

°1234a

6.（2020?臨沂）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單

位：Q）是反比例函數(shù)關(guān)系.當R=4Q時，/=%.

（1）寫出/關(guān)于R的函數(shù)解析式;

（2）完成下表，并在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象;

R/C…

I/A…

14

151r丁一「

14JL_LL」_L」_L」一J

13

12immrITT

111」_L

104-

9T一廠-1一T-rT1一--FT-L1-1

S1_」_L」_」，

7>八

6rn-丁一「-i--rTrn-

4-i

3--r-i--t-1

2

1U-l-4

lII

O123456789101112131415RQ.

（3）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過104那么用電器可變電阻應(yīng)

控制在什么范圍內(nèi)？

五.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

7.（2020?臨沂）已知拋物線（〃W0）.

（1）求這條拋物線的對稱軸：

（2）若該拋物線的頂點在x軸上，求其解析式；

（3）設(shè)點PCm,yi）,Q（3,”）在拋物線上，若）“＜）%求/w的取值范圍.

六.二次函數(shù)的應(yīng)用

8.（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會在北京成功舉辦，我國選手在跳臺滑雪項目中奪得金牌.在

該項目中，運動員首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行

至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止.本項目主要考核運動員的飛行距離和動作姿態(tài)，

某數(shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)問題進行了深入研究：

如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)8所在水平線為x軸，過起跳點A與x

軸垂直的直線為y軸，。為坐標原點，建立平面直角坐標系.著陸坡AC的坡角為30°,

04=65%某運動員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的3處著陸，AB=100,〃.在空中

飛行過程中，運動員到x軸的距離y（加）與水平方向移動的距離x（相）具備二次函數(shù)

關(guān)系，其解析式為），=-U+fec+c.

60

（1）求b,c的值；

（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離x（〃力與飛行時

間f（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，r=0,x=0；空中飛行5s后著

陸.

①求x關(guān)于，的函數(shù)解析式；

②當，為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離/?最大，最大值是多少？

9.（2021?臨沂）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20機處沿同一方向行駛的乙車后，開始

減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：nils）與時間f（單位：s）

的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示.

(1)當甲車減速至9〃加時，它行駛的路程是多少？

(2)若乙車以10〃論的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？

10.(2022?臨沂)已知aABC是等邊三角形，點8,。關(guān)于直線AC對稱，連接A。，CD.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)在線段4c上任取一點尸(端點除外)，連接PD.將線段PO繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn),

使點。落在8A延長線上的點。處.請?zhí)骄浚寒旤cP在線段4c上的位置發(fā)生變化時,

NDPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.

11.(2021?臨沂)如圖，已知正方形ABCD,點E是邊上一點，將△ABE沿直線AE折

疊，點B落在尸處，連接BF并延長，與ND4尸的平分線相交于點“，與AE,CD分別

相交于點G,M,連接”C.

(1)求證：AG=GH；

(2)若A8=3,BE=1,求點￡＞到直線2H的距離；

(3)當點E在BC邊上(端點除外)運動時，NB4C的大小是否變化？為什么？

12.（2020?臨沂）如圖，菱形ABC。的邊長為1,NA8C=60°,點E是邊A8上任意一點

（端點除外），線段CE的垂直平分線交BO,CE分別于點凡G,AE,EF的中點分別為

M,N.

（1）求證：AF=EF；

（2）求MN+NG的最小值；

（3）當點E在AB上運動時，/CEF的大小是否變化？為什么？

13.（2021?臨沂）如圖，已知在。。中，AB=BC=CD.OC與AD相交于點E.

求證：（1）A￡>〃BC；

（2）四邊形BCDE為菱形.

14.（2022?臨沂）如圖，AB是的切線，B為切點，直線AO交。。于C,。兩點，連接

BC,BD.過圓心。作BC的平行線，分別交的延長線、0。及8。于點E,F,G.

(1)求證：ND=/E；

(2)若尸是OE的中點，OO的半徑為3,求陰影部分的面積.

一十.切線的判定與性質(zhì)

15.(2020?臨沂)已知。01的半徑為門，。。2的半徑為r2.以01為圓心，以門+松的長為

半徑畫弧，再以線段OQ的中點P為圓心，以工01。2的長為半徑畫弧，兩弧交于點A,

2

連接OiA,O2A,O1A交。01于點B,過點8作。乂的平行線BC交0102于點C.

(1)求證：BC是。。2的切線；

(2)若ri=2,r2=1,013=6,求陰影部分的面積.

一十一.解直角三角形的應(yīng)用

16.(2021?臨沂)如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽

車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來，已知CM=3/〃，C0=5m,D0=3m,ZAOD

=70°,汽車從A處前行多少米才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童(結(jié)果保留整數(shù))？

(參考數(shù)據(jù)：sin37°g0.60,cos37°-0.80,tan37°=0.75；sin70°g0.94,cos70°?

0.34,tan70042.75)

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

17.（2020?臨沂）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成

的角a要滿足60°WaW75°,現(xiàn)有一架長55”的梯子.

（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

（2）當梯子底端距離墻面22〃時，a等于多少度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？此時人

是否能夠安全使用這架梯子？

（參考數(shù)據(jù)：sin75°-0.97,cos75°20.26,tan75°-3.73,sin23.6°-0.40,cos66.4°

心0.40,tan21.8°—.40.）

一十三.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

18.（2022?臨沂）如圖是一座獨塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“丫”字形設(shè)計.某

學(xué)習小組利用課余時間測量主塔頂端到橋面的距離.勘測記錄如下表:

活動內(nèi)測量主塔頂端到橋面的距離

容

成員組長：X義X組員XXXXX義XX義X義X

測量工測角儀，皮尺等

具

測量示說明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，

意圖點A,C,D,8在同一條直線上，EFL

AB,點4,C分別與點B,。關(guān)于直線

EF對稱.

測量數(shù)ZA的大小28°

據(jù)AC的長度84%

的長度\2m

請利用表中提供的信息，求主塔頂端E到AB的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°^0.47,cos28°

?=0.88,tan280弋0.53).

一十四.頻數(shù)（率）分布直方圖

19.（2022?臨沂）省農(nóng)科院為某縣選育小麥種子，為了解種子的產(chǎn)量及產(chǎn)量的穩(wěn)定性，在該

縣的10個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)選擇兩塊自然條件相近的實驗田分別種植甲、乙兩種小麥,

得到其畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下（單位：kg）：

甲種小麥：804818802816806811818811803819

乙種小麥：804811806810802812814804807809

畫以上甲種小麥數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖,甲乙兩種小麥數(shù)據(jù)的折線圖，得到圖1,圖2

田

圖1圖2

(1)圖1中，a=,b=

（2）根據(jù)圖1,若該縣選擇種植甲種小麥，則其畝產(chǎn)量W（單位：kg）落在內(nèi)

的可能性最大;

A800WWV805

8.805WW<810

C.810WWV815

D815WWV820

（3）觀察圖2,從小麥的產(chǎn)量或產(chǎn)量的穩(wěn)定性的角度，你認為農(nóng)科院應(yīng)推薦種植哪種小

麥？簡述理由.

20.（2020?臨沂）2020年是脫貧攻堅年.為實現(xiàn)全員脫貧目標，某村貧困戶在當?shù)卣?/p>

持幫助下，辦起了養(yǎng)雞場.經(jīng)過一段時間精心飼養(yǎng)，總量為3000只的一批雞可以出售.現(xiàn)

從中隨機抽取50只，得到它們質(zhì)量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

質(zhì)量/初組中值頻數(shù)（只）

0.9?1.11.06

1.29

1.3Wx<1.51.4a

1.5Wx<1.71.615

1.7Wx<1.91.88

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)表中。=,補全頻數(shù)分布直方圖；

(2)這批雞中質(zhì)量不小于1.7伙的大約有多少只？

(3)這些貧困戶的總收入達到54000元，就能實現(xiàn)全員脫貧目標.按15元/版的價格售

出這批雞后，該村貧困戶能否脫貧？

A頻數(shù)

15

14

*

13

1

12

1

11

10

*9

8

7

6

5

4

3

2

1

0\—0.91.11.31.51.71.9—怎量kg

—b五.眾數(shù)

21.(2021?臨沂)實施鄉(xiāng)村振興計劃以來，我市農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展進入了快車道，為了解梁家?guī)X

村今年一季度經(jīng)濟發(fā)展狀況，小玉同學(xué)的課題研究小組從該村300戶家庭中隨機抽取了

20戶，收集到他們一季度家庭人均收入的數(shù)據(jù)如下(單位：萬元)：

0.690.730.740.800.810.980.930.810.890.69

0.740.990.980.780.800.890.830.890.940.89

研究小組的同學(xué)對以上數(shù)據(jù)進行了整理分析，得到下表:

分組頻數(shù)

0.65^x<0.702

0.70?0.753

0.75^x<0.801

0.80?0.85a

0.85Wx<0.904

0.90Wx<0.952

0.95Wx<1.00b

統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

數(shù)值0.84Cd

(1)表格中：a=,h=，c=

(2)試估計今年一季度梁家?guī)X村家庭人均收入不低于0.8萬元的戶數(shù)；

(3)該村梁飛家今年一季度人均收入為0.83萬元，能否超過村里一半以上的家庭？請說

明理由.

參考答案與試題解析

分式的加減法

1.（2022?臨沂）計算:

(1)-23-rAx(1.--1)；

963

(2)-J--.

x+lX-1

【解答】解：(1)原式=-8x9義(工工)

466

=8X9XJL

46

（2）原式=x-1-(x+1)

(x+1)(x-1)

-2

21.

X-1

二.二次根式的混合運算

2.（2021?臨沂）計算|-&|+（&-工）2-（V2+—）2.

22

【解答】解：解法一，原式=&+[（&）2-&+y[（&）2+

=弧+(2-&+4)-(2+&+工)

44

=&+2-V2+--2-V2--

44

=-

解法二，原式=&+(V2-A+V2+—)(V2---V2)

2222

=M+2&X(-1)

=V2-2V2

=-V2.

3.（2020?臨沂）計算:2+2L2.X1-sin600.

2V6

【解答】解：原式=1-工+」--近

_232732

=」。

662

1-273

三.反比例函數(shù)的性質(zhì)

—>x4一l,

X

4.（2021?臨沂）己知函數(shù)＞=，3x,T<x〈l,

—,x》l?

X

（1）畫出函數(shù)圖象;

列表:

x…_3-2-]0]234

y…一]3-3033,]§

~~2~4

簡述理由;

（3）設(shè)（xi,y\）,（垃，yi）是函數(shù)圖象上的點，若xi+x2=0,證明：yi+）2=0.

函數(shù)圖象如圖所示:

（2）根據(jù)圖象可知：

當x=l時，函數(shù)有最大值3；當x=-l時，函數(shù)有最小值-3.

（3）V（XI,）1）,（X2,”）是函數(shù)圖象上的點，Xl+X2=0,

和X2互為相反數(shù)，

當時，-1VX2V1,

；.yi=3xi,72=3x2,

?*.yi+y2=3xi+3x2=3（xi+%2）=0；

當xiW-1時，X221,

,oq3（x,+x）

貝!|yi+y2=-^-+-^-=---------9---=0;

X1x2X1X2

同理：當時，X2W-1,

yi+y2=0,

綜上：yi+”=0.

四.反比例函數(shù)的應(yīng)用

5.（2022?臨沂）杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用（杠桿原理：阻力X阻力臂=動力X動力臂）,

小明利用這一原理制作了一個稱量物體質(zhì)量的簡易“秤”（如圖1）.制作方法如下：

第一步：在一根勻質(zhì)細木桿上標上均勻的刻度（單位長度la”），確定支點O,并用細麻

繩固定，在支點。左側(cè)2。"的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；

第二步：取一個質(zhì)量為0.5依的金屬物體作為秤昵.

（1）圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤泥掛在支點O右側(cè)的B處，秤桿平衡，就能稱得

重物的質(zhì)量.當重物的質(zhì)量變化時，。8的長度隨之變化.設(shè)重物的質(zhì)量為xZg,OB的

長為ycvn.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；若0<y<48,求x的取值范圍.

圖1圖2

(2)調(diào)換秤蛇與重物的位置，把秤槍掛在秤鉤上，重物掛在支點。右側(cè)的B處，使秤

桿平衡，如圖2.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,。8的長為寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，完

成下表，畫出該函數(shù)的圖象.

x/kg……0.250.5124......

y/cm……42]2......

~~2~

A--------1------1-------T-------I----------1---------1-----T

2--------1-------|-------T-------I----------1---------1-----T

o1234z

【解答】解：(1)???阻力X阻力臂=動力X動力臂，

重物XOA=秤坨XOB,

'：0A=2cm,重物的質(zhì)量為Mg,。8的長為ya”，秤坨為0.5依,

/.2x=0.5y,

??y=4x,

V4>0,

隨x的增大而增大，

二.當y=0時，x=0；

當y=48時，x=12,

A0<x<12；

（2）；阻力X阻力臂=動力X動力臂，

，秤碇XOA=重物X08,

?：0A^2cm,重物的質(zhì)量為Mg,OB的長為），?！?，秤花為0.5版,

.?.2義0.5=孫，

??、,-_--1,

X

當x=0.25時，y=---=4；

0.25

當x=0.5時，y=——=2；

0.5

當x=l時，y=l；

當x=2時，y=—;

2

當x=4時，y=工；

4

故答案為：4；2；1；—；—；

24

作函數(shù)圖象如圖：

6.（2020?臨沂）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單

位：Q）是反比例函數(shù)關(guān)系.當H=4Q時，/=9A.

（1）寫出/關(guān)于R的函數(shù)解析式；

（2）完成下表，并在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象；

R/H…3456891012???

I/A???1297.264.543.63???

Z/A

15

14

13

12

11

10

g

s

7

6

5

4

3

2

1

O123456789101112131415

(3)如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A,那么用電器可變電阻應(yīng)

控制在什么范圍內(nèi)？

【解答】解：(1)電流/是電阻R的反比例函數(shù)，設(shè)/=區(qū),

R

時,I=9A

???9=K,

4

解得2=4X9=36,

.-./=36(R>0)；

R

(2)列表如下:

R/Q…3456891012?

I/A???1297.264.543.63?

(3)V/^10,/=強，

R

.?.理_W10,

R

；.R，3.6,

即用電器可變電阻應(yīng)控制在不低于3.6歐的范圍內(nèi).

五.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

7.(2020?臨沂)已知拋物線y=以2-2以-3+2<?QW0).

(1)求這條拋物線的對稱軸；

(2)若該拋物線的頂點在x軸上，求其解析式；

(3)設(shè)點P(m,yi),Q(3,”)在拋物線上，若求相的取值范圍.

22

【解答】解：(1);拋物線y=o?-2or-3+2/=。(x-1)+2a-a-3.

拋物線的對稱軸為直線x=1;

(2);?拋物線的頂點在x軸上，

.".2a2-a-3=0,

解得。=旦或a--\,

2

二拋物線為尸當2-3x+旦或y=--1；

22

(3):拋物線的對稱軸為直線x=l,

則Q(3,關(guān)于x=l對稱點的坐標為(-1,”)，

???當〃>0,-1<加<3時，y\<yi\當a<0,mV-1或〃z>3時，y\<yi.

六.二次函數(shù)的應(yīng)用

8.(2022?臨沂)第二十四屆冬奧會在北京成功舉辦，我國選手在跳臺滑雪項目中奪得金牌.在

該項目中，運動員首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行

至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止.本項目主要考核運動員的飛行距離和動作姿態(tài)，

某數(shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)問題進行了深入研究：

如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)C。所在水平線為x軸，過起跳點A與x

軸垂直的直線為y軸，。為坐標原點，建立平面直角坐標系.著陸坡AC的坡角為30°,

04=65%,某運動員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB=100〃?.在空中

飛行過程中，運動員到x軸的距離y(w)與水平方向移動的距離尤(w)具備二次函數(shù)

關(guān)系，其解析式為)=--^bx+c.

60

(1)求江c的值；

(2)進一步研究發(fā)現(xiàn)，運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離x(m)與飛行時

間r(s)具備一次函數(shù)關(guān)系，當運動員在起跳點騰空時，r=0,x=0；空中飛行5s后著

陸.

①求x關(guān)于/的函數(shù)解析式；

②當r為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離〃最大，最大值是多少？

'：OA=65m,著陸坡4c的坡角為30°,AB=100m

二點A的坐標為（0,65）,AE=-50m,8《=50我相,

：.OE=OA-AE=65-50=15（m）,

.,.點8的坐標為（50我，15）,

?.?點A(0,65),點B(50V3-15)在二次函數(shù)y=--2+汝+c的圖象上,

60

'c=65

…二'X(50V3)2+50V3b+c=15，

60

解得<b岑

c=65

即b的值是近，c的值是65；

2

(2)①設(shè)X關(guān)于，的函數(shù)解析式是x=h+〃7,

因為點(0,0),(5,50百)在該函數(shù)圖象上，

.(m=0

I5k+m=50V3

解得(k=10圾,

Im=0

即x關(guān)于f的函數(shù)解析式是x=10愿￡；

②設(shè)直線AB的解析式為y=px+q,

?.?點A(0,65),點8(5073，15)在該直線上，

(q=65,

I50禽p+q=15'

f昱

解得《P~~,

q=65_

即直線AB的解析式為y=-1+65,

_3__

2

則h=(-_L^.-2+^^X+65)-(-^Xr+65)=-_j^r+x,

6023606

5a

...當x=-----J-=25百時，〃取得最值，此時〃=3,

2X(焉)4

V2573<5073.

；.x=25禽時，〃取得最值，符合題意，

將x=25禽代入x=l()Mf,得：25代=10丁泉，

解得f=2.5,

即當1為2.5時，運動員離著陸坡的豎直距離最大，最大值是衛(wèi)Zn.

4

9.（2021?臨沂）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20相處沿同一方向行駛的乙車后，開始

減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：〃?）、速度v（單位：m/s）與時間f（單位：s）

的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示.

（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？

（2）若乙車以10，"/$的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？

【解答】解：（1）由圖可知：二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點，

設(shè)二次函數(shù)表達式為s=at2+ht,一次函數(shù)表達式為v=kt+c,

???一次函數(shù)經(jīng)過（0,16）,（8,8）,

則（8=8k+c,解得：［k=-l,

116=cIc=16

.,.一次函數(shù)表達式為丫=7+16,

令v=9,則f=7,

.?.當f=7時，速度為9Ms,

?.?二次函數(shù)經(jīng)過（2,30）,（4,56）,

（1

則（4a+2b=30,解得：］a=~y,

116a+4b=56,

，二次函數(shù)表達式為s=-1t2+16t，

令f=7,貝I」s=-^"+16X7=87.5,

當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是875〃；

(2)設(shè)?秒后相距卬，則W—20+10/-(--V+16f)——(?-6)"+21

22

vA>o,

2

；.f=6時，卬有最小值，最小值為2,

.?.6秒時兩車相距最近，最近距離是2米.

七.四邊形綜合題

10.(2022?臨沂)已知△ABC是等邊三角形，點B,。關(guān)于直線AC對稱，連接A。，CD.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)在線段AC上任取一點P(端點除外)，連接尸D將線段PO繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn),

使點。落在8A延長線上的點。處.請?zhí)骄浚寒旤c尸在線段AC上的位置發(fā)生變化時,

NQPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.

(3)在滿足(2)的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

等邊△4BC中，AB=BC=AC,

?.?點8、。關(guān)于直線AC對稱，

：.DC=BC,AD=AB,

：.AB=BC^CD=DA,

四邊形A8CD是菱形；

(2)解：當點P在線段4c上的位置發(fā)生變化時，NDPQ的大小不發(fā)生變化，始終等于

60°,理由如下：

:將線段PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處，

PQ=PD,

等邊△A8C中，AB=BC=ACf

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

連接PB,過點P分別作PE〃C8交AB于點E,PFLA3于點R如圖

則N4PE=NACB=60°,ZAEP=ZABC=60°,

AZBAC=ZAPE=ZAEP=60°,

???△APE是等邊三角形，

：.AP=EP=AEf

而尸凡LA8,

??.ZAPF=NEPF,

??,點8,。關(guān)于直線AC對稱，點P在線段AC上，

:?PB=PD,ZDPA=ZBPAf

:.PQ=PD,

而PFLAB,

；?NQPF=NBPF,

：.ZQPF-ZAPF=ZBPF-/EPF,

即N。%=N8PE,

：.ZDPQ=ZDPA-ZQPA=ZBPA-NBPE=NAPE=60°；

（3）解：在滿足（2）的條件下，線段AQ與C尸之間的數(shù)量關(guān)系是AQ=C尸，證明如下:

VAC=AB,AP=AEf

:.AC-AP=AB-AE9

即CP=BE,

9

：AP=EPfPFLAB,

：.AF=FE,

■:PQ=PD,PF.LAB,

：.QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,

B|JAQ=BE,

：.AQ=CP.

11.(2021?臨沂)如圖，已知正方形A8CC,點E是8c邊上一點，將△A8E沿直線AE折

疊，點B落在尸處，連接并延長，與ND4尸的平分線相交于點H,與AE,CC分別

相交于點G,M,連接4C.

(1)求證：AG=G”；

(2)若AB=3,BE=\,求點O到直線8H的距離；

(3)當點E在8c邊上(端點除外)運動時，/BHC的大小是否變化？為什么？

【解答】(1)證明：???將△ABE沿直線AE折疊，點B落在尸處,

AZBAG=ZGAF=1ZBAF,B,尸關(guān)于4E對稱，

2

：.AGVBF,

；.NAG尸=90°,

平分ND4F,

：.ZFAH=^ZFAD,

2

AZ￡A//=ZGAF+ZM//=A(NBAF+NFAD)=L/BAD,

2222

?四邊形A8C￡＞是正方形,

AZBAD=90°,

AZEAH=^ZBAD=45Q,

2

VZZ7GA=90°,

GA=GH；

（2）解：如圖1,連接?！?，DF,交AH于點N,

由（1）可知AF=AO,ZFAH=ADAH,

：.AHLDF,FN=DN,

：.DH=HF,NFNH=NDNH=90°,

又：NG/M=45°,

NNFH=45°-NNDH=NDHN,

：.ZDHF=90°,

：.DH的長為點D到直線BH的距離，

由（1）知4/=4解+8爐，

,4E=VAB2+BE2=Vs2-*-12='

,/NBAE+NAEB=ZBAE+ZABG^90°,

NAEB=ZABG,

又NAGB=NABE=90°,

：.△A￡BS2MBG,

?AG_AB；BG_AB；

"AB"AE'BE'AE"

?4G=AB2=9=9而,M=AB?BE=3X1=3而

""AFTTO-"IOAE=V7o=io

由（1）知G尸=BG,AG=GH,

：.GF=GH=^^-,

1010__

：.DH=FH=GH-一一3A=W^一

10105

即點D到直線BH的距離為仝匝；

5

方法二：

連接BD,

由折疊可知

則△然￡：也△BCM,

BE=CM=1,

???OM=2,

.1

."△BDM節(jié)DM?BC=3，

同方法一可知AE=BM=/記，

點D到直線BH的距離為孥2=宜叵_；

V105

(3)不變.

理由如下：

方法一：連接B。，如圖2,

在RtaH。/中，"_=sin45°山■，

DF32

在RtZ\BC。中，型=sin45°=返_,

BD2

?DHCD

"'DF=BD'

VZBDF+ZCDF=45°,NFDC+NCDH=45°,

：.ZBDF=ZCDH,

:.△BDFs^CDH,

：.NCHD=NBFD,

；NDFH=45°,

：.ZBFD=135°=NCHD,

VZBHD=90°,

：.ZBHC^ZCHD-^BHD=135°-90°=45°.

方法二：

VZBCD=90°,NBHD=96°,

.?.點5,C,H,。四點共圓，

...NBHC=/8OC=45°,

...NBHC的度數(shù)不變.

12.(2020?臨沂)如圖，菱形ABC。的邊長為1,NABC=60°,點E是邊A8上任意一點

(端點除外)，線段CE的垂直平分線交BO,CE分別于點凡G,AE,EF的中點分別為

M,N.

(1)求證：AF=EF；

(2)求MN+NG的最小值；

(3)當點E在AB上運動時，/CEF的大小是否變化？為什么？

【解答】解：（1）連接CF,

垂直平分CE,

：.CF=EF,

?.?四邊形ABC。為菱形，

；.A和C關(guān)于對角線BD對稱,

ACF=AF,

：.AF=EF；

(2)連接AC,交于點。，

和N分別是AE和EF的中點，點G為CE中點，

：.MN=^AF,NG=LCF,BPMN+NG=—{AF+CF),

222

當點尸與菱形ABC。對角線交點。重合時，

AF+CF最小，即此時MN+NG最小，

?.,菱形ABCQ邊長為1,NABC=60°,

.?.△ABC為等邊三角形，AC=AB=1,

即MN+NG的最小值為工；

2

(3)不變，理由是：

延長EF,交.DC千H,

"：NCFH=NFCE+/FEC,NAFH=ZFAE+ZFEA,

：.ZAFC=ZFCE+ZFEC+ZFAE+ZFEA,

V點F在菱形ABCD對角線BDL,根據(jù)菱形的對稱性可得:

ZAFD=ZCFD=1.ZAFC,

2

：.ZAEF=ZEAF,/FEC=/FCE,

，ZAFD=ZFAE+NABF=ZFEA+ZCEF,

：.ZABF=NCEF,

VZABC=60°,

；?/ABF=NCEF=30°,為定值.

Q—Hf

AMEB

八.圓周角定理

13.（2021?臨沂）如圖，己知在O0中，AB=BC=C15，OC與相交于點E.

求證：（1）AD//BC；

（2）四邊形BC￡>E為菱形.

B'---々

【解答】證明：（1）連接8D

vAB=CD.

JNADB=NCBD,

：.AD//BC；

(2)連接CD,BD,設(shè)OC與8。相交于點F,

'JAD//BC,

:.NEDF=NCBF,

VBC=CD>

：.BC=CD,BF=DF,

又NDFE=/BFC,

：.ADEF經(jīng)ABCF(ASA),

：.DE=BC,

...四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD,

四邊形BCDE是菱形.

九.切線的性質(zhì)

14.(2022?臨沂)如圖，AB是。0的切線，B為切點，直線AO交于C,。兩點，連接

BC,BD.過圓心。作BC的平行線，分別交的延長線、。。及8。于點E,F,G.

(1)求證：ZD—ZEi

(2)若尸是OE的中點，。。的半徑為3,求陰影部分的面積.

【解答】(1)證明：連接OB,

D

0

圖1

TAB是。。的切線,

???NO8E=90°，

???NE+N6OE=90°,

TCO為。。的直徑,

：.ZCBD=90°，

，N￡)+NOC8=90°,

■:OE//BC,

：.ZBOE=ZOBC,

*.?OB=OC,

：?/OBC=/OCB,

:?NBOE=/OCB,

：.ZD=ZE；

(2)解：丁尸為OE的中點，OB=OF,

：.OF=EF=3,

：.OE=6,

：.BO=1-OE,

2

?：NOBE=90°,

?1/￡=30°,

???NBOG=60°,

VOE//BC,NO8c=90°,

；.NOGB=90°,

?,.OG=-1,BG=-173，

AS/\BOG=AOG9BG=—X—義工^=±S，S■形80尸=60?兀-J=3n,

2222V8V3602

.o

?'?S明影部分=S扇形3。"-S/\BOG=—兀

2

一十.切線的判定與性質(zhì)

15.(2020?臨沂)已知001的半徑為ri,。。2的半徑為2以01為圓心，以ri+投的長為

半徑畫弧，再以線段0102的中點P為圓心，以上01。2的長為半徑畫弧，兩弧交于點A,

2

連接01A,02A,01A交。Oi于點8,過點B作0M的平行線8c交0102于點C.

(1)求證：8c是。。2的切線；

(2)若門=2,r2=l,013=6,求陰影部分的面積.

2

：.ZO\AO2=90°,

^BC/ZOiA,

：.ZO\BC=ZO\AO2=90°,

過點02作O1DLBC交BC的延長線于點D,

???四邊形A8O3是矩形，

：.AB=02D,

V0iA=n+r2,

：?(hD=n,

???BC是OQ的切線;

(2)解：：門=2,底=1,0102=6,

O1A=)

?■?y0102

.?.NAO2c=30°,

'：BC//OiA,

，NBCE=A02c=30°,

：.O\C^2O\B=4,

BC=22222

?*-^01C-01B=A/4-2=Vs>

i6onxr,2i_

...s陰影=SzkO|BC-S扇形BO|E=yOiB'BC―菰一=萬X2X2?-

60X兀X22=2禽-

3603

一十一.解直角三角形的應(yīng)用

16.(2021?臨沂)如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽

車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來，已知CM=3w,C0=5m,。0=3/，ZAOD

=70°,汽車從A處前行多少米才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童(結(jié)果保留整數(shù))？

(參考數(shù)據(jù)：sin37°七0.60,cos37°-0.80,tan370=0.75；sin70°-0.94,cos700.

0.34,tan700弋2.75)

AOM^V0C2-CM2=4(W，

；NCMO=NBDO=90°,NCOM=NBOD,

.MCOMs^BOD,

?CM0M即3_4,

**BD=0D，'BDV

.?.80=9=2.25(m),

4

.,?tanZAOD=tan700=坦

DO

jjpAB+BD_AB+2.2575,

'DO~~3'

解得：AB=6m,

二汽車從A處前行約6米才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童.

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

17.(2020?臨沂)如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成

的角a要滿足60°WaW75°,現(xiàn)有一架長5.5加的梯子.

(1)使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)？

(2)當梯子底端距離墻面2.2,〃時，a等于多少度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)？此時人

是否能夠安全使