蘇州九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專項培優(yōu)-易錯-難題練習(xí)題

蘇州九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)的專項培優(yōu)易錯難題練習(xí)題一、二次函數(shù)1．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，.（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為.（2）；（3）的坐標(biāo)為或或或.【解析】分析：（1）先把點A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，此時MA+MC的值最?。褁=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標(biāo)；（3）設(shè)P（-1，t），又因為B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標(biāo)．詳解：（1）依題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為.∵對稱軸為，且拋物線經(jīng)過，∴把、分別代入直線，得，解之得：，∴直線的解析式為.（2）直線與對稱軸的交點為，則此時的值最小，把代入直線得，∴.即當(dāng)點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標(biāo)為.（注：本題只求坐標(biāo)沒說要求證明為何此時的值最小，所以答案未證明的值最小的原因）.（3）設(shè)，又，，∴，，，①若點為直角頂點，則，即：解得：，②若點為直角頂點，則，即：解得：，③若點為直角頂點，則，即：解得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.點睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題．2．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用對稱性可得點D的坐標(biāo)，利用交點式可得拋物線的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點P的坐標(biāo)．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題．3．如圖，已知頂點為的拋物線與軸交于，兩點，直線過頂點和點．（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）﹣3；（2）yx2﹣3；（3）M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直線y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直線解析式得出點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可；（3）分M在BC上方和下方兩種情況進行解答即可．【詳解】（1）將C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）將y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以點B的坐標(biāo)為（3，0），將（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：yx2﹣3；（3）存在，分以下兩種情況：①若M在B上方，設(shè)MC交x軸于點D，則∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC?tan30°，設(shè)DC為y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，設(shè)MC交x軸于點E，則∠OEC＝45°-15°＝30°，∴OE＝OC?tan60°＝3，設(shè)EC為y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2）．綜上所述M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．【點睛】此題是一道二次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵．4．如圖所示，拋物線的頂點為，與軸交于、兩點，且，與軸交于點．求拋物線的函數(shù)解析式；求的面積；能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點，使的面積最大？若能，請求出點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

【答案】；；點的坐標(biāo)是．【解析】【分析】(1)設(shè)頂點式并代入已知點即可；(2)令y=0，求出A、B和C點坐標(biāo)，運用三角形面積公式計算即可；(3)假設(shè)存在這樣的點，過點作軸于點，交于點，線段PF的長度即為兩函數(shù)值之差，將的面積計算拆分為即可.【詳解】設(shè)此函數(shù)的解析式為，∵函數(shù)圖象頂點為，∴，又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴解得，∴此函數(shù)的解析式為，即；∵點是函數(shù)的圖象與軸的交點，∴點的坐標(biāo)是，又當(dāng)時，有，解得，，∴點的坐標(biāo)是，則；假設(shè)存在這樣的點，過點作軸于點，交于點．設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，∵直線過點，，∴，解得，∴直線的解析式為，∴點的坐標(biāo)為，則，∴，∴當(dāng)時，有最大值，此時點的坐標(biāo)是．【點睛】本題第3問中將所求三角形拆分為兩個小三角形進行求解，從而將面積最大的問題轉(zhuǎn)化為PF最大進行理解.5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標(biāo)為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=DE．①求點P的坐標(biāo)；②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知求點A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）①先得AB的解析式為：y=-2x+2，根據(jù)PD⊥x軸，設(shè)P（x，-x2-3x+4），則E（x，-2x+2），根據(jù)PE=DE，列方程可得P的坐標(biāo)；

②先設(shè)點M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點距離公式可得AB，AM，BM的長，分三種情況：△ABM為直角三角形時，分別以A、B、M為直角頂點時，利用勾股定理列方程可得點M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴，∴，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式為：y=﹣2x+2，設(shè)P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），∵PE=DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直線PD上，且P（﹣1，6），設(shè)M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三種情況：i）當(dāng)∠AMB=90°時，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；ii）當(dāng)∠ABM=90°時，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）當(dāng)∠BAM=90°時，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=，∴M（﹣1，）；綜上所述，點M的坐標(biāo)為：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，鉛直高度和勾股定理的運用，直角三角形的判定等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為P（2，9），與x軸交于點A，B，與y軸交于點C（0，5）．（Ⅰ）求二次函數(shù)的解析式及點A，B的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點Q在第一象限的拋物線上，若其關(guān)于原點的對稱點Q′也在拋物線上，求點Q的坐標(biāo)；（Ⅲ）若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，使得以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，且AC為其一邊，求點M，N的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q（，4）；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)設(shè)頂點式，再代入C點坐標(biāo)即可求解解析式，再令y=0可求解A和B點坐標(biāo)；(2)設(shè)點Q（m，﹣m2+4m+5），則其關(guān)于原點的對稱點Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再將Q′坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解m的值，同時注意題干條件“Q在第一象限的拋物線上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥對稱軸x=2于K，使MK=OC，分M點在對稱軸左邊和右邊兩種情況分類討論即可.【詳解】（Ⅰ）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）設(shè)點Q（m，﹣m2+4m+5），則Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把點Q′坐標(biāo)代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=或（舍棄），∴Q（，）．（Ⅲ）如圖，作MK⊥對稱軸x=2于K．①當(dāng)MK=OA，NK=OC=5時，四邊形ACNM是平行四邊形．∵此時點M的橫坐標(biāo)為1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②當(dāng)M′K=OA=1，KN′=OC=5時，四邊形ACM′N′是平行四邊形，此時M′的橫坐標(biāo)為3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，第3問中理解通過平移AC可應(yīng)用“一組對邊平行且相等”得到平行四邊形.7．已知拋物線.（1）求證：該拋物線與x軸總有交點；（2）若該拋物線與x軸有一個交點的橫坐標(biāo)大于3且小于5，求m的取值范圍；（3）設(shè)拋物線與軸交于點M，若拋物線與x軸的一個交點關(guān)于直線的對稱點恰好是點M，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）本題需先根據(jù)判別式解出無論m為任何實數(shù)都不小于零，再判斷出物線與x軸總有交點．

（2）根據(jù)公式法解方程，利用已有的條件，就能確定出m的取值范圍，即可得到結(jié)果．

（3）根據(jù)拋物線y=-x2+（5-m）x+6-m，求出與y軸的交點M的坐標(biāo)，再確定拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于直線y=-x的對稱點的坐標(biāo)，列方程可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∴拋物線與x軸總有交點.（2）解：由（1），根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為：即由題意，有(3)解：令x=0，y=∴M（0，）由（2）可知拋物線與x軸的交點為（-1，0）和（，0），它們關(guān)于直線的對稱點分別為（0，1）和（0，），由題意，可得：【點睛】本題考查對拋物線與x軸的交點，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判別式，對稱等，解題關(guān)鍵是熟練理解和掌握以上性質(zhì)，并能綜合運用這些性質(zhì)進行計算．8．已知拋物線上有兩點M(m+1，a)、N(m，b).(1)當(dāng)a＝－1，m＝1時，求拋物線的解析式；(2)用含a、m的代數(shù)式表示b和c；(3)當(dāng)a＜0時，拋物線滿足，，，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）b=-am，c=-am；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到M(2，－1)、N(1，b)，代入拋物線解析式即可求出b、c；（2）將點M(m+1，a)、N(m，b)代入拋物線，可得，化簡即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根據(jù)m的取值范圍可得a的取值范圍.【詳解】解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)由題意，得，解，得(2)∵點M(m+1，a)、N(m，b)在拋物線上①－②得，，∴把代入②，得(3)把，代入得，把，代入得，，，當(dāng)時，隨m的增大而增大即【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，由函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征求出，是解題關(guān)鍵.9．二次函數(shù)y=x2-2mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點A（a，0）和點B（a+n，0）（n＞0且n為整數(shù)），與y軸交于C點．（1）若a=1，①求二次函數(shù)關(guān)系式；②求△ABC的面積；（2）求證：a=m-；（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=?．【解析】試題分析：（1）①首先根據(jù)a=1求得A的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式，求得m的值即可確定二次函數(shù)的解析式；②根據(jù)解析式確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，從而確定三角形的面積；（2）將原二次函數(shù)配方后即可確定其對稱軸為x=m，然后根據(jù)A、B兩點關(guān)于x=m對稱得到a+n-m=m-a，從而確定a、m、n之間的關(guān)系；（3）根據(jù)a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可確定a的值．試題解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，當(dāng)y=0時，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根據(jù)解析式求出C點坐標(biāo)為（0，3），∴OC=3，△ABC的面積=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴對稱軸為直線x=m，∵二次函數(shù)y=x2-2mx+3的圖象與x軸交于點A和點B∴點A和點B關(guān)于直線x=m對稱，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化為頂點式為y=（x-m）2-m2+3（m＞）①當(dāng)a為整數(shù)，因為n＞0且n為整數(shù)所以a+n是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②當(dāng)a不是整數(shù)，因為n＞0且n為整數(shù)所以a+n不是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標(biāo)是整數(shù)，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=?，綜上所述：a=1或a=?．考點：二次函數(shù)綜合題．10．如果一條拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個交點，那么以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b，c]稱為“拋物線系數(shù)”．(1)任意拋物線都有“拋物線三角形”是(填“真”或“假”)命題；(2)若一條拋物線系數(shù)為[1，0，﹣2]，則其“拋物線三角形”的面積為；(3)若一條拋物線系數(shù)為[﹣1，2b，0]，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；(4)在(3)的前提下，該拋物線的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，在拋物線上是否存在一點P，過P作PQ⊥x軸于點Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）當(dāng)△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到，由此可得出結(jié)論；（3）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到y(tǒng)＝－x2＋2bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形，由拋物線頂點為（b，b2），以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，解方程即可得到結(jié)論；（4）分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x時，②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x時．詳解：（1）當(dāng)△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點，此時拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；（2）由題意得：，令y=0，得：x=，∴S==；（3）依題意：y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點（0，0）和（2b，0）；當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=，∴頂點為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x或y＝－x2－2x．（4）①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x時．∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），則｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x時．∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），則｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．綜上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．點睛：本題是二次函數(shù)綜合題．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及“拋物線三角形”的定義．解題的關(guān)鍵是弄懂“拋物線三角形”的定義以及分類討論．11．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．【解析】【分析】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根據(jù)平行得出△APN和△ABC相似，根據(jù)線段的比值得出y的值，然后得出邊長；(2)、根據(jù)第一題同樣的方法得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.【詳解】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得y=∴2y=∴這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm(2)、設(shè)PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面積為S，則AE=80-x（mm）．.由（1）知=∴=∴y=則S=xy===∵∴S有最大值∴當(dāng)x=40時，S最大=2400（mm2）此時，y==60．∴面積達到這個最大值時矩形零件的兩邊PQ、PN長分別是40mm，60mm．考點：三角形相似的應(yīng)用12．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）①根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當(dāng)n=時，PM最大=；②當(dāng)PM=PC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；當(dāng)PM=MC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=3+（不符合題意，舍），n3=3-，n2﹣2n﹣3=2-4，P（3-，2-4）；綜上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰三角形等知識，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是認真分析，弄清解題的思路有方法.13．在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”。（1）求函數(shù)y=x+2的圖像上所有“中國結(jié)”的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖像上有且只有兩個“中國結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)；（3）若二次函數(shù)y=（k為常數(shù)）的圖像與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，試問該函數(shù)的圖像與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”？【答案】（1）（0,2）；（2）當(dāng)k=1時，對應(yīng)“中國結(jié)”為（1,1）（－1，－1）；當(dāng)k=－1時，對應(yīng)“中國結(jié)”為（1，－1），（－1,1）；（3）6個.【解析】試題分析：（1）因為x是整數(shù)，x≠0時，x是一個無理數(shù)，所以x≠0時，x+2不是整數(shù)，所以x=0，y=2，據(jù)此求出函數(shù)y=x+2的圖象上所有“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．（2）首先判斷出當(dāng)k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判斷出當(dāng)k≠1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根據(jù)x1、x2的值是整數(shù)，求出k的值是多少；最后根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”，判斷出該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”即可．試題解析：（1）∵x是整數(shù)，x≠0時，x是一個無理數(shù)，∴x≠0時，x+2不是整數(shù)，∴x=0，y=2，即函數(shù)y=x+2的圖象上“中國結(jié)”的坐標(biāo)是（0，2）．（2）①當(dāng)k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；②當(dāng)k=﹣1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③當(dāng)k≠±1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”：（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），這與函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”矛盾，綜上可得，k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；k=﹣1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，∴∴，整理，可得x1x2+2x2+1=0，∴x2（x1+2）=﹣1，∵x1、x2都是整數(shù)，∴或∴或①當(dāng)時，∵，∴k=；②當(dāng)時，∵，∴k=k﹣1，無解；綜上，可得k=，x1=﹣3，x2=1，y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=[()2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣=﹣x2﹣x+①當(dāng)x=﹣2時，y=﹣x2﹣x+=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=②當(dāng)x=﹣1時，y=﹣x2﹣x+=﹣×（﹣1）2﹣×（﹣1）+=1③當(dāng)x=0時，y=，另外，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結(jié)”有3個：（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．綜上，可得若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結(jié)”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．考點：反比例函數(shù)綜合題14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝x2－2x，其頂點為A．(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點叫做這條拋物線的“不動點”①試求拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標(biāo)；②平移拋物線y＝x2－2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式.【答案】(l)拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標(biāo)是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，右側(cè)的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)；②新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.【解析】【分析】（1），故該拋物線開口向上，頂點的坐標(biāo)為；（2）①設(shè)拋物線“不動點”坐標(biāo)為，則，即可求解；②新拋物線頂點為“不動點”，則設(shè)點，則新拋物線的對稱軸為：，與軸的交點，四邊形是梯形，則直線在軸左側(cè)，而點，點，則，即可求解.【詳解】(l)，拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標(biāo)是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，右側(cè)的部分是上升的.(2)①設(shè)拋物線y＝x2－2x的“不動點”坐標(biāo)為(t，t).則t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝