江蘇省明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

江蘇省明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測(cè)試成績(jī)做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績(jī)均為整數(shù)滿分100分），乙同學(xué)對(duì)其中一次成績(jī)記憶模糊，只記得成績(jī)不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績(jī)超過乙同學(xué)的平均成績(jī)的概率為（）A． B． C． D．2．已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線a，b滿足a?α,b?β，則“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè),且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．4．設(shè)，“”，“”，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某班級(jí)有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學(xué)生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記和體育班委.男生當(dāng)選的人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．7．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．8．在正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形9．設(shè)a，b∈R，則“a≥b”是“a>bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．周末，某高校一學(xué)生宿舍甲乙丙丁四位同學(xué)正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在看書；④丙不在看書，也不寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，請(qǐng)問乙同學(xué)正在做的事情是（）A．玩游戲B．寫信C．聽音樂D．看書11．用反證法證明命題“若，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．方程沒有實(shí)根B．方程至多有一個(gè)實(shí)根C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程恰好有兩個(gè)實(shí)根12．已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將正整數(shù)對(duì)作如下分組，第組為，第組為，第組為，第組為則第組第個(gè)數(shù)對(duì)為__________．14．從包括甲乙兩人的6名學(xué)生中選出3人作為代表，記事件：甲被選為代表，事件:乙沒有被選為代表，則等于_________.15．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系用“”連接為______．16．若，，則，的大小關(guān)系是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；18．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒有解，求的取值范圍.19．（12分）2018年俄羅斯世界杯激戰(zhàn)正酣，某校工會(huì)對(duì)全校教職工在世界杯期間每天收看比賽的時(shí)間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時(shí)間（單位：小時(shí)）14282012(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“球迷”，否則定義為“非球迷”，請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全列聯(lián)表：男女合計(jì)球迷40非球迷合計(jì)并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“球迷”與“性別”有關(guān)；(2)在全?！扒蛎浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，再從這6名“球迷”中選取2名世界杯知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附表及公式：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，.（1）求橢圓的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，其中，直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線過點(diǎn)且與曲線相交于，兩點(diǎn).（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線的直角坐標(biāo)方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計(jì)算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時(shí)，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別與閱讀，平均數(shù)的計(jì)算方法，古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、D【解題分析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】如圖所示：既不充分也不必要條件.故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件，舉出反例可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.3、B【解題分析】

利用不等式性質(zhì)判斷或者舉反例即可.【題目詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí)不滿足對(duì)B,因?yàn)閯t成立.故B正確.對(duì)C,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.對(duì)D,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用等,屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到答案.【題目詳解】充分性：.所以即：，充分性滿足.必要性：因?yàn)椋裕?又因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，不等式不成立.當(dāng)時(shí)，，，不等式不成立當(dāng)時(shí)，，，不等式成立.必要性滿足.綜上：是的充要條件.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充要條件，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)的比較大小，屬于中檔題.5、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學(xué)期望.詳解：由題得所以故答案為：C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.(2)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望6、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得首項(xiàng)和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，解方程組得所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題。7、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分別為，，，長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長(zhǎng)方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A.考點(diǎn)：1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.8、D【解題分析】對(duì)于A，當(dāng)與兩條棱上的交點(diǎn)都是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形垂直于平面,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D9、D【解題分析】

利用特殊值來得出“a≥b”與“a>b【題目詳解】若a=b=3，則a≥b，但a>b若a=2，b=-3，a>b成立，但a≥b因此，“a≥b”是“a>b”的既不充分也不必要條件，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判斷，常用集合的包含關(guān)系來進(jìn)行判斷，也可以利用特殊值以及邏輯推證法來進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題。10、D【解題分析】由①知甲在聽音樂或玩游戲，由②知乙在看書或玩游戲，由④知丙在聽音樂或玩游戲，由③知，丁在看書，則甲在聽音樂，丙在玩游戲，乙在看書，故選D.11、A【解題分析】分析：直接利用命題的否定寫出假設(shè)即可,至少的反面是一個(gè)都沒有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是方程沒有實(shí)根．故選：A．點(diǎn)晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問題時(shí)，反設(shè)實(shí)際是命題的否定12、A【解題分析】

分子分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理，得出，再判斷象限．【題目詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（），所以位于第一象限．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)歸納推理可知，每對(duì)數(shù)字中兩個(gè)數(shù)字不相等，且第一組每一對(duì)數(shù)字和為，第二組每一對(duì)數(shù)字和為，第三組每對(duì)數(shù)字和為，第組每一對(duì)數(shù)字和為，第組第一對(duì)數(shù)為，第二對(duì)數(shù)為，第對(duì)數(shù)為，第對(duì)數(shù)為，故答案為.14、【解題分析】因?yàn)?，所以。?yīng)填答案。15、【解題分析】

分別判斷出，，，從而得到三者大小關(guān)系.【題目詳解】，，則的大小關(guān)系用“”連接為本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查指對(duì)數(shù)比較大小類的問題，解決此類問題的方法主要有兩種：1.構(gòu)造合適的函數(shù)模型，利用單調(diào)性判斷；2.利用臨界值進(jìn)行區(qū)分.16、【解題分析】分析：作差法，用，判斷其符號(hào)．詳解：，所以，．點(diǎn)睛：作差法是比較大小的基本方法，根式的分子有理化是解題的關(guān)鍵三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；【解題分析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?因?yàn)?平面,所以平面.（2）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為正三角形，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫?，平?所以；因?yàn)樗云矫妫矫?所以平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，據(jù)此零點(diǎn)分段可得不等式的解集為.（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可得.據(jù)此可得的取值范圍是.詳解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，綜上所述，原不等式的解集是.（2），.因?yàn)殛P(guān)于的不等式對(duì)任意的恒有解.所以，解得.點(diǎn)睛：絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．19、（1）有（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，由此計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意知抽取的6名“體育達(dá)人”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2，求出相對(duì)應(yīng)的概率值，即可求得答案.詳解：（1）由題意得下表：的觀測(cè)值為.所以有的把握認(rèn)為該校教職工是“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān).（2）由題意知抽取的6名“體育達(dá)人”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2.且，，，所以的分布列為.點(diǎn)睛：解決獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題的方法解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，首先由所給2×2列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式確定的值，最后根據(jù)所求值確定有多大的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)．20、（1），；（2）在定點(diǎn)【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)得到，根據(jù)橢圓過點(diǎn)，由橢圓的定義得到，再求出，從而得到橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，則，，利用點(diǎn)差法，得到，從而表示出線段的垂直平分線，再根據(jù)直線過定點(diǎn)，得到關(guān)于的方程組，得到定點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】（1）設(shè)橢圓方程：.∴.∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，可得.橢圓的離心率為，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：.（2）設(shè)，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，.∵、在曲線上，∴，將以上兩式相減得：.所以得到，∴線段的垂直平分線方程：，整理得令，得故線段的垂直平分線過定點(diǎn).所以存在定點(diǎn)，使恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)橢圓定義求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)差法表示線段垂直平分線，橢圓中直線過的定點(diǎn)，屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合關(guān)系式和,組成方程組,可解得的值