山東省德州市夏津縣雙語中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

山東省德州市夏津縣雙語中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定積分（）A．0 B． C． D．2．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為A． B． C． D．3．已知，則下列結(jié)論正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)4．已知隨機(jī)變量，，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.685．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧τ?，分別為某三角形的三邊長，則稱為“三角形函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①②③④.其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．6．“讀整本的書”是葉圣陶語文教育思想的重要組成部分，整本書閱讀能夠擴(kuò)大閱讀空間。某小學(xué)四年級以上在開學(xué)初開展“整本書閱讀活動(dòng)”，其中四年班老師號召本班學(xué)生閱讀《唐詩三百首》并背誦古詩，活動(dòng)開展一個(gè)月后，老師抽四名同學(xué)(四名同學(xué)編號為)了解能夠背誦古詩多少情況，四名同學(xué)分別對老師做了以下回復(fù):說:“比背的少”;說:“比背的多”;說:“我比背的多";說:“比背的多”.經(jīng)過老師測驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，四名同學(xué)能夠背誦古詩數(shù)各不相同，四名同學(xué)只有一個(gè)說的正確，而且是背誦的最少的一個(gè).四名同學(xué)的編號按能夠背誦數(shù)量由多到少組成的四位數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．8．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種9．a(chǎn)，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．甲乙丙三人代表班級參加校運(yùn)會的跑步，跳遠(yuǎn)，鉛球比賽，每人參加一項(xiàng)，每項(xiàng)都要有人參加，他們的身高各不同．現(xiàn)了解到以下情況：（1）甲不是最高的；（2）最高的沒報(bào)鉛球；（3）最矮的參加了跳遠(yuǎn)；（4）乙不是最矮的，也沒參加跑步；可以判斷丙參加的比賽項(xiàng)目是（）A．跑步比賽 B．跳遠(yuǎn)比賽 C．鉛球比賽 D．無法判斷11．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．30 C．40 D．5012．已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，都有成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)m的值為_______．14．周長為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.15．已知a=log0.35,?b=2316．若交大附中共有名教職工，那么其中至少有兩人生日在同一天的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對于集合,,,,定義.集合中的元素個(gè)數(shù)記為.規(guī)定：若集合滿足,則稱集合具有性質(zhì).(1)已知集合,,寫出,的值；(2)已知集合,其中,證明：有性質(zhì)；(3)已知集合,有性質(zhì),且求的最小值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，為參數(shù)）．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)，直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求的值．19．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考，某學(xué)校從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.（1）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對這兩個(gè)科目的選課情況，對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），如下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.請求出和，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；選擇“物理”選擇“歷史”總計(jì)男生10女生25總計(jì)（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中選擇“歷史”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．21．（12分）甲將要參加某決賽，賽前，，，四位同學(xué)對冠軍得主進(jìn)行競猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，，選擇甲的概率均為，且四人同時(shí)選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為．（1）求，的值；（2）設(shè)四位同學(xué)中選擇甲的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知函數(shù)(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用微積分基本定理求出即可．【題目詳解】.選C.【題目點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．2、C【解題分析】

依次對選項(xiàng)求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案?！绢}目詳解】對于A，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】因?yàn)?，所以，又，故，即答案C，D都不正確；又因?yàn)?，所以?yīng)選答案A．4、D【解題分析】

先由對稱性求出，再利用即得解.【題目詳解】由于隨機(jī)變量，關(guān)于對稱，故故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

根據(jù)構(gòu)成三角形條件，可知函數(shù)需滿足，由四個(gè)函數(shù)解析式，分別求得其值域，即可判斷是否滿足不等式成立.【題目詳解】根據(jù)題意，對于，分別為某三角形的三邊長，由三角形性質(zhì)可知需滿足：對于①，，如當(dāng)時(shí)不能構(gòu)成三角形，所以①不是“三角形函數(shù)”；對于②，，則，滿足，所以②是“三角形函數(shù)”；對于③，，則，當(dāng)時(shí)不能構(gòu)成三角形，所以③不是“三角形函數(shù)”；對于④，，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，滿足，所以④是“三角形函數(shù)”；綜上可知，為“三角形函數(shù)”的有②④，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，函數(shù)值域的求法，三角形構(gòu)成的條件應(yīng)用，屬于中檔題.6、A【解題分析】

分別假設(shè)四位同學(xué)是說正確的人，排除矛盾情況，推理得到答案【題目詳解】假設(shè)1正確，其他都錯(cuò)誤，則1最少，比背的少，比背的少，3比4少，3比2少順序?yàn)椋?231假設(shè)2正確，其他錯(cuò)誤，則2最少，根據(jù)1知：2比4多，矛盾，排除假設(shè)3正確，其他錯(cuò)誤，則3最少，根據(jù)2知：1比3少，矛盾，排除假設(shè)4正確，其他錯(cuò)誤，則4最少，根據(jù)3知：3比4少，矛盾，排除故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了邏輯推理，依次假設(shè)正確的人，根據(jù)矛盾排除選項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.7、D【解題分析】

先作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點(diǎn)（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解題分析】每個(gè)同學(xué)都有2種選擇，根據(jù)乘法原理，不同的報(bào)名方法共有種，應(yīng)選D.9、C【解題分析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【題目詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與夾角為時(shí)，即，，，，，，，此時(shí)與的夾角為，②正確，①錯(cuò)誤．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．10、A【解題分析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，即可得出結(jié)論.詳解：由（1），（3），（4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，所以丙最高，參加了跑步比賽.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力.11、A【解題分析】等差數(shù)列中，，，．故選A．12、B【解題分析】

通過可判斷函數(shù)在上為增函數(shù)，再利用增函數(shù)的性質(zhì)即可得到，，的大小關(guān)系.【題目詳解】由于當(dāng)時(shí)，都有成立，故在上為增函數(shù)，,,而，所以，故答案為B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)值大小，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力和計(jì)算能力，難度中等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1.【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故答案為-1.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件.14、【解題分析】

設(shè)矩形的一邊長為,則另一邊長為,,再利用圓柱的體積公式求得體積的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【題目詳解】設(shè)矩形的一邊長為,則另一邊長為,,則圓柱的體積==,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的體積公式和基本不等式,屬中檔題.15、a<c<b【解題分析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關(guān)系得到答案.【題目詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)值的大小比較，0，1分界是一個(gè)常用的方法.16、1【解題分析】分析：根據(jù)每年有天，可判斷名教職工，中至少有兩人生日在同一天為必然事件,從而可得結(jié)果.詳解：假設(shè)每一天只有一個(gè)人生日，則還有人，所以至少兩個(gè)人同日生為必然事件，所以至少有兩人生日在同一天的概率為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查必然事件的定義以及必然事件的概率，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明過程見解析；(3).【解題分析】

(1)利用定義,通過計(jì)算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素組成首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,只要證明這個(gè)等比數(shù)列中的任意兩項(xiàng)(包括本身與本身)的和不在這個(gè)數(shù)列中即可.(3)根據(jù),有性質(zhì)了,可以知道集合中元素的性質(zhì),這樣可以求出的最小值.【題目詳解】(1)根據(jù)定義可得：,.所以(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.若存在成立，則,因此有,即有.等式的左邊是2的倍數(shù),右邊是3的倍數(shù),故等式不成立,因此等比數(shù)列中的任意兩項(xiàng)(包括本身與本身)的和不在這個(gè)數(shù)列中所以中的元素的個(gè)數(shù)為：,即,所以有性質(zhì)；(3)集合具有性質(zhì),所以集合中的任意兩個(gè)元素的和都不在該集合中,也就是集合中的任意兩個(gè)元素的和都不相等,對于任意的有,也就是任意兩個(gè)元素的差的絕對值不相等.設(shè),所以集合具有性質(zhì),集合,有性質(zhì),且(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號).所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了新定義題,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了反證法的應(yīng)用.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）7.【解題分析】

（Ⅰ）直接把曲線C的參數(shù)方程平方相加，可以消除參數(shù)，得到普通方程，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）先寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程，代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及的幾何意義，即可求出。【題目詳解】(I)曲線C的普通方程:，直線l的直角坐標(biāo)方程：；（II）設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入，得，故；設(shè)對應(yīng)的對數(shù)分別為，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化。易錯(cuò)點(diǎn)是在應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義時(shí)，參數(shù)方程必須是標(biāo)準(zhǔn)式，否則容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。19、（1），，有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān).詳見解析（2）見解析【解題分析】

（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算，再與臨界值表進(jìn)行比較得到答案.（2）這4名女生中選擇歷史的人數(shù)可為0，1，2，3，4.分別計(jì)算對應(yīng)概率，得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）由題意，男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，所以列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“歷史”總計(jì)男生451055女生252045總計(jì)7030100，.假設(shè)：選擇科目與性別無關(guān)，所以的觀測值，查表可得：，所以有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān).（2）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理，4人選擇歷史，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇歷史的人數(shù)可為0，1，2，3，4.設(shè)事件發(fā)生概率為，則，，，，.所以的分布列為：01234所以的數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20、（1）當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題對得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）由題當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，故又構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)則，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，試題解析：（1）由題得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0極大值∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）當(dāng)時(shí)，，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的