湖北省襄陽市東風中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題含解析

湖北省襄陽市東風中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為A．34B．C．74D．2．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.33．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增4．已知曲線，給出下列命題：①曲線關(guān)于軸對稱；②曲線關(guān)于軸對稱；③曲線關(guān)于原點對稱；④曲線關(guān)于直線對稱；⑤曲線關(guān)于直線對稱，其中正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．設(shè)X～N(1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為()(附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．7．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則（）A．- B．1或2 C．1 D．28．若，則的值是（）A．-2B．-3C．125D．-1319．函數(shù)有()A．最大值為1 B．最小值為1C．最大值為 D．最小值為10．已知球是棱長為1的正方體的外接球，則平面截球所得的截面面積為()A． B． C． D．11．若對于任意實數(shù)，函數(shù)恒大于零，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．如下圖，在同一直角坐標系中表示直線y＝ax與y＝x＋a，正確的是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．棱長為1的正方體的8個頂點都在球面O的表面上，E、F分別是棱、的中點，則直線EF被球O截得的線段長為________14．在極坐標系中，若過點（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則="______________________."15．某課題組進行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為4，12，8，若用分層抽樣抽取6個城市，則丙組中應抽取的城市數(shù)為_______．16．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.18．（12分）如圖（1）是一個仿古的首飾盒，其左視圖是由一個半徑為分米的半圓和矩形組成，其中長為分米，如圖（2）.為了美觀，要求.已知該首飾盒的長為分米，容積為4立方分米（不計厚度），假設(shè)該首飾盒的制作費用只與其表面積有關(guān)，下半部分的制作費用為每平方分米2百元，上半部制作費用為每平方分米4百元，設(shè)該首飾盒的制作費用為百元.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當為何值時，該首飾盒的制作費用最低？19．（12分）已知圓圓心為，定點，動點在圓上，線段的垂直平分線交線段于點．求動點的軌跡的方程；若點是曲線上一點，且，求的面積．20．（12分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實數(shù)，且.求證：.21．（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】略視頻2、B【解題分析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．或，,可知故答案選B.點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題．3、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當時，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．4、C【解題分析】

根據(jù)定義或取特殊值對曲線的對稱性進行驗證，可得出題中正確命題的個數(shù).【題目詳解】在曲線上任取一點，該點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，且，則曲線關(guān)于軸對稱，命題①正確；點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，且，則曲線關(guān)于軸對稱，命題②正確；點關(guān)于原點的對稱點的坐標為，且，則曲線關(guān)于原點對稱，命題③正確；在曲線上取點，該點關(guān)于直線的對稱點坐標為，由于，則曲線不關(guān)于直線對稱，命題④錯誤；在曲線上取點，該點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，由于，則曲線不關(guān)于直線對稱，命題⑤錯誤.綜上所述，正確命題的個數(shù)為.故選：C.【題目點撥】本題考查曲線對稱性的判定，一般利用對稱性的定義以及特殊值法進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.5、B【解題分析】分析：求出，即可得出結(jié)論.詳解：由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1＜X＜3)＝1－0.0228×2＝0.9544，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.3413，故估計的個數(shù)為10000×(1－0.3413)＝6587，故選：B.點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應用，考查曲線的對稱性.6、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．【題目詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【題目點撥】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應用問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．7、C【解題分析】分析：由為偶數(shù)，且，即可得結(jié)果.詳解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質(zhì)及其應用，意在考查綜合利用所學知識解決問題的能力.8、C【解題分析】試題分析：由題意可知，令得，令得所以考點：二項式系數(shù)9、A【解題分析】

對函數(shù)進行求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷出函數(shù)的最值情況.【題目詳解】解:，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值為，故選A.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題，對函數(shù)的導函數(shù)的正負性的判斷是解題的關(guān)鍵.10、D【解題分析】

根據(jù)正方體的特征，求出球的直徑和球心O到平面的距離，求出截面圓的半徑，即可得到面積.【題目詳解】球是棱長為1的正方體的外接球，其體對角線就是球的直徑，所以球的半徑為，根據(jù)正方體的性質(zhì)O到平面的距離為，所以平面截球所得的截面圓的半徑為，所以其面積為.故選：D【題目點撥】此題考查求幾何體外接球問題，根據(jù)幾何特征求出外接球的半徑，根據(jù)圓心到截面的距離求截面圓的半徑，進而求解面積.11、D【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最值，即可得到實數(shù)的取值范圍【題目詳解】當時，恒成立若，為任意實數(shù)，恒成立若時，恒成立即當時，恒成立，設(shè)，則當時，，則在上單調(diào)遞增當時，，則在上單調(diào)遞減當時，取得最大值為則要使時，恒成立，的取值范圍是故選【題目點撥】本題以函數(shù)為載體，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離含參量，運用導數(shù)求得新函數(shù)的最值，繼而求出結(jié)果，當然本題也可以不分離參量來求解，依然運用導數(shù)來分類討論最值情況。12、A【解題分析】

由題意逐一考查所給的函數(shù)圖像是否符合題意即可.【題目詳解】逐一考查所給的函數(shù)圖像：對于選項A，過坐標原點，則，直線在軸的截距應該小于零，題中圖像符合題意；對于選項C，過坐標原點，則，直線在軸的截距應該大于零，題中圖像不合題意；過坐標原點，直線的傾斜角為銳角，題中BD選項中圖像不合題意；本題選擇A選項.【題目點撥】本題主要考查分類討論的數(shù)學思想，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：詳解：正方體的外接球球心為O，半徑為，假設(shè)2和線段EF相較于HG兩點，連接OG，取GH的中點為D連接OD，則ODG為直角三角形，OD=，根據(jù)勾股定理得到故GH=.故答案為.點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.14、【解題分析】

解：過點（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=215、2【解題分析】

根據(jù)抽取6個城市作為樣本，得到每個個體被抽到的概率,用概率乘以丙組的數(shù)目，即可得到結(jié)果.【題目詳解】城市有甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為4,12,8.

本市共有城市數(shù)24,用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為6的樣本，

每個個體被抽到的概率是，丙組中對應的城市數(shù)8，則丙組中應抽取的城市數(shù)為,故答案為2.【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的應用以及古典概型概率公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.分層抽樣適合總體中個體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個層次，抽取的比例相同.16、【解題分析】

建立平面直角坐標系，從而得到的坐標，這樣即可得出的坐標，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標，即得解.【題目詳解】建立如圖所示平面直角坐標系，則：；與共線故答案為：【題目點撥】本題考查了平面向量線性運算和共線的坐標表示，考查了學生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由所以．又因為底面平面；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結(jié)，因為在中，，所以，所以．因為，所以．又因為底面，所以，因為，所以平面（2）如圖以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則．因為是棱的中點，所以．所以，設(shè)為平面的法向量，所以，即，令，則，所以平面的法向量因為是在棱上一點，所以設(shè)．設(shè)直線與平面所成角為，因為平面的法向量，所以．解得，即，所以考點：1、線面垂直；2、線面角.18、（1）；（2）當分米時，該首飾盒制作費用最低.【解題分析】分析：該幾何體下面是一個長方體，上面是半個圓柱，由體積求得，然后分別求出上半部分和下半部分的面積，從而可得關(guān)于的解析式，注意要由可求得的取值范圍．（2）利用導數(shù)可求得的最小值．詳解：（1）由題知，∴.又因，得，∴.（2）令，∴，令則，∵，當時，函數(shù)為增函數(shù).∴時，最小.答：當分米時，該首飾盒制作費用最低.點睛：本題考查導數(shù)的實際應用．解題關(guān)鍵是求出費用關(guān)于的函數(shù)解析式，解題中要注意求出的取值范圍．然后就可由導數(shù)的知識求得最小值．19、；.【解題分析】

由已知，故，即點軌跡是以、為焦點的橢圓，根據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因為，得出，進而求出，算出面積即可.【題目詳解】由已知，故點軌跡是以、為焦點的橢圓.設(shè)其方程為則即，又，故．點的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【題目點撥】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】分析：⑴兩邊同時平方即可證明不等式⑵構(gòu)造同理得到其他形式，然后運用不等式證明詳解：（1）證明：要證成立，只需證，即證，只需證，即證顯然為真，故原式成立.（2）證明：∵，∴.點睛：本題主要考查的是不等式的證明，著重考查了基本不等式的變形與應用，考查了綜合法和推理論證的能力，屬于中檔題。21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以可得；，進而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】（Ⅰ）當時，，因為是