2024屆上海市嘉定區(qū)嘉定二中數學高二第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆上海市嘉定區(qū)嘉定二中數學高二第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的周期，振幅，初相分別是（）A． B． C． D．2．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點，動點滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數列的前項和的表達式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學家利用鳥類的飛行原理制造飛機.3．下列關于積分的結論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正4．已知滿足，則（）A． B． C． D．5．若當時,函數取得最大值,則()A． B． C． D．6．某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布，則用電量在320度以上的居民戶數估計約為（）（參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.）A．17 B．23 C．34 D．467．已知函數,若是函數唯一的極值點,則實數的取值范圍為()A． B． C． D．8．現(xiàn)有四個函數：①；②；③；④的圖象（部分）如下，則按照從左到右圖象對應的函數序號安排正確的一組是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①9．已知，用數學歸納法證明時．假設當時命題成立，證明當時命題也成立，需要用到的與之間的關系式是（）A． B．C． D．10．在復平面內，復數對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．復數的虛部為（）A． B． C．1 D．212．在2018年初的高中教師信息技術培訓中，經統(tǒng)計，哈爾濱市高中教師的培訓成績X～N(85,9)，若已知，則從哈爾濱市高中教師中任選一位教師，他的培訓成績大于90的概率為（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．球的半徑為，球的一個截面與球心的距離為，則截面的半徑為______．14．中，角的對邊分別是，已知，則_______.15．在平面直角坐標系中，直線與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為（）．16．在中，，，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數對任意實數都有，且.（I）求的值，并猜想的表達式；（II）用數學歸納法證明（I）中的猜想.18．（12分）已知點為拋物線上異于原點的任意一點，為拋物線的焦點，連接并延長交拋物線于點，點關于軸的對稱點為.（1）證明：直線恒過定點；（2）如果，求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數.（1）若函數的最小值為2，求實數的值；（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）已知復數，，其中，為虛數單位.（1）若復數為純虛數，求實數的值；（2）在復平面內，若復數對應的點在第四象限，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點也為拋物線：的焦點．（1）若，為橢圓上兩點，且線段的中點為，求直線的斜率；（2）若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，和，，設線段，的長分別為，，證明是定值．22．（10分）如圖，是平面的斜線，為斜足平面，為垂足，是平面上的一條直線，于點，，.（1）求證：平面；（2）求和平面所成的角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【題目詳解】依題意，，函數的振幅為，在中令求得初相為.故選C.【題目點撥】本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數周期的計算.屬于基礎題.其中表示的是振幅，是用來求周期的，即，要注意分母是含有絕對值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數.2、B【解題分析】

根據歸納推理的定義即可選出答案。【題目詳解】歸納推理是由個別事實概括出一般結論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B【題目點撥】本題考查歸納推理，屬于簡單題。3、D【解題分析】

結合定積分知識，對選項逐個分析可選出答案.【題目詳解】對于選項A，因為函數是R上的奇函數，所以正確；對于選項B，因為函數是R上的偶函數，所以正確；對于選項C，因為在區(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項D不正確.故選D.【題目點撥】本題考查了定積分，考查了函數的性質，屬于基礎題.4、A【解題分析】，選A.5、B【解題分析】

函數解析式提取5變形后,利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用正弦函數的性質可得結果.【題目詳解】，其中,當，即時，取得最大值5,，則，故選B.【題目點撥】此題考查了兩角和與差的正弦函數公式、輔助角公式的應用，以及正弦函數最值，熟練掌握公式是解本題的關鍵.6、B【解題分析】分析：先求用電量在320度以上的概率，再求用電量在320度以上的居民戶數.詳解：由題得所以，所以，所以求用電量在320度以上的居民戶數為1000×0.023=23.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合的思想方法.(2)對于正態(tài)分布曲線的概率的計算，不要死記硬背，要結合其圖像分析求解.7、A【解題分析】分析：由的導函數形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根.詳解：函數的定義域是，，是函數唯一的極值點,是導函數的唯一根，在無變號零點，即在上無變號零點，令，，在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為，必須.故選A.點睛：本題考查由函數的導函數確定極值問題，對參數需要進行討論.8、A【解題分析】

根據各個函數的奇偶性、函數值的符號，判斷函數的圖象特征，即可得到．【題目詳解】解：①為偶函數，它的圖象關于軸對稱，故第一個圖象即是；

②為奇函數，它的圖象關于原點對稱，它在上的值為正數，

在上的值為負數，故第三個圖象滿足；

③為奇函數，當時，，故第四個圖象滿足；

④，為非奇非偶函數，故它的圖象沒有對稱性，故第二個圖象滿足，

故選A．【題目點撥】本題主要考查函數的圖象，函數的奇偶性、函數的值的符號，屬于中檔題．9、C【解題分析】

分別根據已知列出和，即可得兩者之間的關系式.【題目詳解】由題得，當時，，當時，，則有，故選C.【題目點撥】本題考查數學歸納法的步驟表示，屬于基礎題.10、A【解題分析】試題分析：,對應的點，因此是第一象限．考點：復數的四則運算.11、A【解題分析】

由復數除法化復數為代數形式，根據復數概念可得．【題目詳解】因為，所以復數的虛部為，故選：A.【題目點撥】本題考查復數的除法運算，考查復數的概念．屬于簡單題．12、D【解題分析】

先求出,再求出培訓成績大于90的概率.【題目詳解】因為培訓成績X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培訓成績大于90的概率為0.15.故答案為：D.【題目點撥】（1）本題主要考查正態(tài)分布，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)解答正態(tài)分布問題，不要死記硬背，要根據函數的圖像和性質解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用勾股定理，計算出截面的半徑.【題目詳解】設球心為，截面圓心為，依題意，，故，即截面的半徑為.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查球的截面半徑的計算，屬于基礎題.14、【解題分析】

化簡已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用兩角差的正弦函數公式可求sin（C）＝0，結合范圍C∈（，），可求C的值．【題目詳解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案為【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數公式，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于基礎題．15、C【解題分析】畫出函數的圖象，如圖所示，由，解得，，所以．選．16、【解題分析】

根據特殊角的三角函數值得到，，再由二倍角公式得到結果.【題目詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.【題目點撥】這個題目考查了特殊角的三角函數值的應用，以及二倍角公式的應用屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）證明見解析.【解題分析】

（I）根據的值猜想的表達式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當時，，猜想成立；假設時，猜想成立，即，則當時，，即當時猜想成立.綜上，對于一切均成立.【題目點撥】本題考查抽象函數求值與歸納猜想.18、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）設，計算得到，直線的方程為，得到答案.（2）計算，設，討論，，三種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】（1）設，因為，所以，由三點共線得，化簡得，即，由此可得，所以直線的方程為，即，因此直線恒過定點.（2），，令，如果，則；如果，則，當時，，時等號成立，從而，即；當時，函數在上單調遞減，當時，，故，故，所以，故.綜上，實數的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了拋物線中直線過定點問題，求參數范圍，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、(1)或.(2)【解題分析】

（1）利用絕對值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等價于在上恒成立，故的解集是的子集，據此可求的取值范圍.【題目詳解】解：（1）因為，所以.令，得或，解得或.（2）當時，.由，得，即，即.據題意，，則，解得.所以實數的取值范圍是.【題目點撥】（1）絕對值不等式指：及，我們常利用它們求含絕對值符號的函數的最值.（2）解絕對值不等式的基本方法有公式法、零點分段討論法、圖像法、平方法等，利用公式法時注意不等號的方向，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數式的正負，而利用圖像法求解時注意圖像的正確刻畫．20、（1）.（2）【解題分析】

利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解；

求出，再由復數代數形式的加法運算化簡，由實部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】（1）由，得，又為純虛數，所以，且，所以.（2），又復數對應的點在第四象限，所以，且，所以的取值范圍是.【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于中檔題．21、（1）（2）解:因為拋物線的焦點為,所以,故.所以橢圓.(1)設,則兩式相減得，又的中點為,所以.所以.顯然,點在橢圓內部,所以直線的斜率為.(2)橢圓右焦點.當直線的斜率不存在或者為時,.當直線的斜率存在且不為時,設直線的方程為，設,聯(lián)立方程得消去并化簡得，因為，所以，.所以同理可得.所以為定值.【解題分析】分析：（1）先利用拋物線的焦點是橢圓的焦點求出，進而確定橢圓的標準方程，再利用點差法求直線的斜率；（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系進行求解.詳解：因為拋物線的焦點為，所以，故.所以橢圓.（1）設，，則兩式相減得，又的中點為，所以，.所以.顯然，點在橢圓內部，所以直線的斜率為.（2）橢圓右焦點.當直線的斜率不存在或者為時，.當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，設，，聯(lián)立方程得消去并化簡得，因為，所以，.所以，同理可得.所以為定值.點睛：在處理直線與橢圓相交的中點弦問題，往往利用點差法進行求解，比聯(lián)立方程的運算量小，