四川省2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

四川省2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則均為假命題C．對(duì)于命題：，使得，則：，均有D．“”是“”的充分不必要條件2．以下四個(gè)命題中，真命題的是（）A．B．“對(duì)任意的”的否定是“存在”C．，函數(shù)都不是偶函數(shù)D．中，“”是“”的充要條件3．若集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．4．如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則其表面積為（）A． B．C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，在第二步證明從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．16．設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（）A．y平均增加2.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位C．y平均減少2.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位7．設(shè)，則“”是“”的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件8．已知空間向量，且，則（）A． B． C． D．9．在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若且對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.12．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為A．100 B．200 C．300 D．400二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與橢圓在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是______.14．已知△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，且△ABC的面積為2＋，則AC邊長(zhǎng)的最小值是________.15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為________．16．將三項(xiàng)式展開，當(dāng)時(shí)，得到以下等式：……觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0）之和，第k行共有2k+1個(gè)數(shù).若在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若，解關(guān)于的不等式.18．（12分）如圖，在四棱錐中，為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面⊥平面．(1)證明：平面⊥平面；(2)為直線的中點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.19．（12分）已知三點(diǎn)，，，曲線上任意一點(diǎn)滿足．（1）求的方程；（2）動(dòng)點(diǎn)在曲線上，是曲線在處的切線．問：是否存在定點(diǎn)使得與都相交，交點(diǎn)分別為，且與的面積之比為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點(diǎn)，，求的斜率．21．（12分）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE;22．（10分）《厲害了，我的國(guó)》這部電影記錄：到2017年底，我國(guó)高鐵營(yíng)運(yùn)里程達(dá)2.5萬公里，位居世界第一位，超過第二名至第十名的總和，約占世界高鐵總量的三分之二.如圖是我國(guó)2009年至2017年高鐵營(yíng)運(yùn)里程（單位：萬公里）的折線圖.根據(jù)這9年的高鐵營(yíng)運(yùn)里程，甲、乙兩位同學(xué)分別選擇了與時(shí)間變量的兩個(gè)回歸模型①：；②.（1）求，（精確到0.01）；（2）乙求得模型②的回歸方程為，你認(rèn)為哪個(gè)模型的擬合效果更好？并說明理由.附：參考公式：，，.參考數(shù)據(jù)：1.3976.942850.220.093.72

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由原命題與逆否命題的關(guān)系即可判斷A；由復(fù)合命題的真值表即可判斷B;由特稱命題的否定是全稱命題即可判斷C；根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷D；．【題目詳解】A．命題：“若p則q”的逆否命題為：“若￢q則￢p”，故A正確；B．若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個(gè)為假命題，故B錯(cuò)．C．由含有一個(gè)量詞的命題的否定形式得，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p為：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正確；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件，即D正確故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)易邏輯的基礎(chǔ)知識(shí)：四種命題及關(guān)系，充分必要條件的定義，復(fù)合命題的真假和含有一個(gè)量詞的命題的否定，這里要區(qū)別否命題的形式，本題是一道基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

解：A．若sinx＝tanx，則sinx＝tanx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，則1，即cosx＝1，∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故?x∈（0，π），使sinx＝tanx錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤，B．“對(duì)任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B錯(cuò)誤，C．當(dāng)θ時(shí)，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D．在△ABC中，C，則A+B，則由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，則必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，兩邊平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，則2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B，當(dāng)A＝B時(shí)，sinA+sinB＝cosA+cosB等價(jià)為2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B，此時(shí)C，綜上恒有C，即充分性成立，綜上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要條件，故D正確，故選D．考點(diǎn)：全稱命題的否定，充要條件等3、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數(shù)性質(zhì)以及即集合性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)的取值范圍。【題目詳解】設(shè)當(dāng)時(shí)，，滿足題意當(dāng)時(shí)，時(shí)二次函數(shù)因?yàn)樗院愦笥?，即所以，解得?！绢}目點(diǎn)撥】本題考察的是集合和帶有未知數(shù)的函數(shù)的綜合題，需要對(duì)未知數(shù)進(jìn)行分類討論。4、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可得對(duì)應(yīng)的三棱錐，逐個(gè)計(jì)算其側(cè)面積和底面積可得其表面積.【題目詳解】將三視圖復(fù)原后得到的幾何體即為如圖所示的三棱錐，其中是棱長(zhǎng)為4的正方體的頂點(diǎn)，為正方體的底面中心，注意到所以，，，因此該三棱錐的表面積等于.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，注意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系．5、A【解題分析】

先求出n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)，再求左邊增加的項(xiàng)數(shù).【題目詳解】n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)為，n=k時(shí)左邊最后一項(xiàng)為，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.6、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，對(duì)于回歸方程為，當(dāng)增加一個(gè)單位時(shí)，則的平均變化為，故可知平均減少個(gè)單位，故選C.考點(diǎn)：線性回歸方程的應(yīng)用.7、A【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義進(jìn)行求解；【題目詳解】∵可得或，

∴由“”能推出“”，但由“”推不出“”，

∴“”是“”的充分非必要條件，

故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)和充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

根據(jù)空間向量的數(shù)量積等于0，列出方程，即可求解.【題目詳解】由空間向量，又由，即，解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量中垂直關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)，利用向量的數(shù)量積等于0，列出方程即可求解，著重考查了推理與運(yùn)算能力.9、A【解題分析】由圓，化為，∴，化為，∴圓心為，半徑r=．∵tanα=，取極角，∴圓的圓心的極坐標(biāo)為．故選A．10、B【解題分析】分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，求正整數(shù)的值．設(shè)函數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)位于內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知，從而得到0，則正整數(shù)的最大值可求．．詳解：因?yàn)?，所以?duì)任意恒成立，

即問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立．

令，則令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/p>

所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．

當(dāng)時(shí)，，

即，當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增．

所以所以

因?yàn)椋?/p>

故整數(shù)的最大值是3，

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，如何求解函數(shù)的最小值，屬難題．11、D【解題分析】試題分析：由可得：，所以函數(shù)的周期，又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因此，，所以?？键c(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)。12、B【解題分析】

試題分析：設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，則，，所以考點(diǎn)：二項(xiàng)分布【方法點(diǎn)睛】一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項(xiàng)分布X～B（n，p）），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

由題意可得軸，求得的坐標(biāo)，由在直線上，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．【題目詳解】解：以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點(diǎn)，可得軸，令，可得，不妨設(shè)，由在直線上，可得，即為，由可得，解得（負(fù)的舍去）.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查了圓的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是由圓過焦點(diǎn)得出點(diǎn)的坐標(biāo).求離心率的做題思路是，根據(jù)題意求出或者列出一個(gè)關(guān)于的方程，由橢圓或雙曲線的的關(guān)系，進(jìn)而求解離心率.14、【解題分析】

分析：由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求的值，利用三角形面積公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得邊的最小值.詳解：成等差數(shù)列，，又，由，得，，因?yàn)椋獾?，的最小值為，故答案?點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于中檔題.15、【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用斜截式方程可得切線的方程．【題目詳解】曲線y＝（1﹣3a）ex在點(diǎn)（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函數(shù)f（x）＝ex的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，可得圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為1，則圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y＝x+1，即為x﹣y+1＝1．故答案為：x﹣y+1＝1．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，正確求導(dǎo)和運(yùn)用斜截式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知的展開式為，所以的展開式中項(xiàng)是由兩部分構(gòu)成的，即，所以，解得：。考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解題分析】

本題是含有參數(shù)的解不等式，可以先將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，再通過分類討論參數(shù)得出解．【題目詳解】時(shí)，且；時(shí)，等價(jià)于因?yàn)?，所以，所以不等式可化?jiǎn)為當(dāng)時(shí)，或．當(dāng)時(shí)，，或綜上所述，時(shí)，且；0時(shí)或時(shí)，或}【題目點(diǎn)撥】在解含有參數(shù)的不等式的時(shí)候，一定要注意參數(shù)的取值范圍并進(jìn)行分類討論．18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由為矩形，得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，結(jié)合，由線面垂直的判定可得平面，進(jìn)一步得到平面平面；（Ⅱ）取中點(diǎn)O，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方關(guān)系求得二面角的正弦值．【題目詳解】（Ⅰ）證明：為矩形，，平面平面，平面平面，平面，則，又，，平面，而平面，平面平面；（Ⅱ）取中點(diǎn)O，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，是以為直角的等腰直角三角形，得：，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得.．∴二面角的正弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角，是中檔題．19、（1）；（2）存在，.【解題分析】分析：（1）先求出、的坐標(biāo)，由此求得||和的值，兩式相等，化簡(jiǎn)可得所求；（2）根據(jù)直線PA，PB的方程以及曲線C在點(diǎn)Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）處的切線方程，D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得S△PDE和S△QAB的比值，從而求得參數(shù)值.詳解：（1）依題意可得，，由已知得，化簡(jiǎn)得曲線C的方程：

,（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則直線的方程是，直線的方程是，曲線C在點(diǎn)Q處的切線l的方程為:,它與y軸的交點(diǎn)為，由于，因此①當(dāng)時(shí)，

，存在，使得，即l與直線平行，故當(dāng)時(shí)與題意不符②當(dāng)時(shí)，，所以l與直線一定相交，分別聯(lián)立方程組，解得的橫坐標(biāo)分別是則，又，有，又于是對(duì)任意，要使與的面積之比是常數(shù)，只需t滿足，解得，此時(shí)與的面積之比為2，故存在，使與的面積之比是常數(shù)2.點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程；步驟一般為：一，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點(diǎn)得到在這一點(diǎn)處的斜率；二，求出這個(gè)點(diǎn)的