2024屆華南師大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆華南師大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則該生產(chǎn)廠家獲取的最大年利潤為（）A．300萬元 B．252萬元 C．200萬元 D．128萬元2．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則3．在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，這四個模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.25、0.50、0.98、0.80，則其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型44．若，則等于（）A．2 B．0 C．-2 D．-45．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．6．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為()A． B． C． D．7．給出下列四個說法：①命題“都有”的否定是“使得”；②已知，命題“若，則”的逆命題是真命題；③是的必要不充分條件;④若為函數(shù)的零點(diǎn)，則，其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．8．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對，都有，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰好有三個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()A． B． C． D．9．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．10．記為虛數(shù)集，設(shè)，．則下列類比所得的結(jié)論正確的是（）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得D．由，類比得11．如圖所示的流程圖中，輸出的含義是（）A．點(diǎn)到直線的距離B．點(diǎn)到直線的距離的平方C．點(diǎn)到直線的距離的倒數(shù)D．兩條平行線間的距離12．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸建立極坐標(biāo)系，若曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為___.14．中，內(nèi)角所對的邊分別是，若邊上的高，則的取值范圍是_____.15．已知點(diǎn)在不等式組，表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則的取值范圍是__________16．一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離.18．（12分）市某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦年足球世界杯的態(tài)度，隨機(jī)選取了位市民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：支持不支持合計(jì)男性市民女性市民合計(jì)（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：（i）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機(jī)抽取人，求至多有位老師的概率.附：，其中.19．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)嗎20．（12分）夏天喝冷飲料已成為年輕人的時尚.某飲品店購進(jìn)某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進(jìn)價(jià)成本和可變成本（運(yùn)輸、保鮮等其它費(fèi)用）組成.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，“可變成本”（元）與飲品數(shù)量（瓶）有關(guān)系.與之間對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量（瓶）24568可變成本（元）34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價(jià)格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價(jià)格賣給顧客。如果當(dāng)天前8小時賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余冷飲料都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購進(jìn))．該店統(tǒng)計(jì)了去年同期100天該飲料在每天的前8小時內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個小時銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率，若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，求當(dāng)天利潤的期望值.（注：利潤=銷售額購入成本“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，.21．（12分）假設(shè)某士兵遠(yuǎn)程射擊一個易爆目標(biāo)，射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，三次射中目標(biāo)或連續(xù)兩次射中目標(biāo)，該目標(biāo)爆炸，停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊至子彈用完．現(xiàn)有5發(fā)子彈，設(shè)耗用子彈數(shù)為隨機(jī)變量X．（1）若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標(biāo)的概率；（2）求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)．22．（10分）已知函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;（2）若是函數(shù)的兩個極值點(diǎn),試比較與的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值，即可得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)，所以，當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值，此時最大值為200萬元，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，其中解答中熟記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，準(zhǔn)確判定函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【題目詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題．3、C【解題分析】

相關(guān)系數(shù)的絕對值越靠近1，擬合效果越好，據(jù)此得到答案.【題目詳解】四個模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.25、0.50、0.98、0.80相關(guān)系數(shù)的絕對值越靠近1，擬合效果越好故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越靠近1，擬合效果越好.4、D【解題分析】

先求導(dǎo)，算出，然后即可求出【題目詳解】因?yàn)椋运?，得所以，所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，較簡單.5、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點(diǎn)撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

先求出f（x），再利用導(dǎo)數(shù)求出在x＝1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率即可．【題目詳解】∵f（x）＝sinx+cosx，∴f（x）＝cosx﹣sinx，∴f（1）＝1，所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1；又f（1）＝1，∴函數(shù)f（x）＝sinx+cosx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y﹣1＝x﹣1．即x﹣y+1＝1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率，考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

對于①②③④分別依次判斷真假可得答案.【題目詳解】對于①，命題“都有”的否定是“使得”，故①錯誤；對于②，命題“若，則”的逆命題為“若，則”正確；對于③，若則，若則或，因此是的充分不必要條件，故③錯誤；對于④，若為函數(shù)，則，即，可令，則，故為增函數(shù)，令，顯然為減函數(shù)，所以方程至多一解，又因?yàn)闀r，所以，則④正確，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查真假命題的判斷，難度中等.8、D【解題分析】由f(x?2)=f(x+2),可得函數(shù)的周期T=4,當(dāng)x∈[?2,0]時,，∴可得(?2,6]的圖象如下：從圖可看出,要使f(x)的圖象與y=loga(x+2)的圖象恰有3個不同的交點(diǎn)，則需滿足，求解不等式組可得的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).9、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，根據(jù)虛部定義得到結(jié)果.【題目詳解】的虛部為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】選項(xiàng)A沒有進(jìn)行類比，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B中取不大于，故選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)D中取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，故選項(xiàng)D錯誤，綜上正確答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)及其性質(zhì)、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，排除D，可得正確選項(xiàng)為C.11、A【解題分析】

將代入中,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得.【題目詳解】因?yàn)?,所以,故的含義是表示點(diǎn)到直線的距離.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了程序框圖以及點(diǎn)到直線的距離公式,屬基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.(2)異面直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補(bǔ)形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

轉(zhuǎn)化為，由于，即可得解.【題目詳解】又由于即故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由三角形的面積公式得：，即，然后由余弦定理得：，從而得到，可求出其最大值，又由基本不等式得【題目詳解】因?yàn)樗杂扇切蔚拿娣e公式得：，所以所以由余弦定理得：所以，其中，所以當(dāng)時，取得最大值又由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號綜上：的取值范圍是故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.15、【解題分析】

畫出可行域，然后利用目標(biāo)函數(shù)的等值線在可行域中進(jìn)行平移，根據(jù)或含的式子的含義，目標(biāo)函數(shù)取最值得最優(yōu)解，可得結(jié)果.【題目詳解】如圖令，則為目標(biāo)函數(shù)的一條等值線將等值線延軸正半軸方向移到到點(diǎn)則點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)取最小值得最優(yōu)解將等值線延軸負(fù)半軸方向移到到點(diǎn)則點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)取最大值得最優(yōu)解所以所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃，一般步驟：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含義，利用等值線在可行域中移動找到目標(biāo)函數(shù)取最值得最優(yōu)解，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

設(shè)此射手每次射擊命中的概率為，由獨(dú)立事件的概率與對立事件的概率可得，射擊四次全都沒有命中的概率為，解方程可求出的值．【題目詳解】設(shè)此射手每次射擊命中的概率為，分析可得，至少命中一次的對立事件為射擊四次全都沒有命中，由題意可知一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次全都沒有命中的概率為．則，可解得，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式以及對立事件的概率公式，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由題設(shè)得知，再證明平面，可得出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）先利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，然后利用作為直線與平面所成的角的正弦值，即可得出直線與平面所成的角的大小；（3）先根據(jù)條件分析出所求距離為點(diǎn)到平面距離的，可得出點(diǎn)到平面的距離為，再利用第二問的結(jié)論即可得出答案.【題目詳解】（1）以為直徑的球面交于點(diǎn)，則，平面，平面，，四邊形為矩形，.,平面，平面，.，平面；（2）由（1）知，平面，平面，，又，則為的中點(diǎn)，且，.的面積為.的面積為，為的中點(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.因此，直線與平面所成角的大小為；（3）平面，平面，，，，，且，則，得，，故點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的.又是的中點(diǎn)，則、到平面的距離相等，由（2）可知所求距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面垂直的證明、直線與平面所成角的計(jì)算以及點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查了等體積法的應(yīng)用，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）見解析；（2）（i）能，（ii）.【解題分析】

（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表性質(zhì)填即可；

（2）求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)排列組合的性質(zhì)，隨機(jī)抽取3人，即可求出至多有1位老師的概率．【題目詳解】（1）支持不支持合計(jì)男性市民女性市民合計(jì)（2）（i）因?yàn)榈挠^測值，所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān).（ii）記人分別為，，，，，其中，表示教師，從人中任意取人的情況有種，其中至多有位教師的情況有種，故所求的概率.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，獨(dú)立性檢驗(yàn)知識的運(yùn)用，考查概率的計(jì)算，屬于中檔題19、（1）；（2）有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).【解題分析】試題分析：（1）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機(jī)變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).試題解析：解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn).20、(Ⅰ)，可變成本”約為元；(Ⅱ)利潤的期望值為元【解題分析】

（Ⅰ）將關(guān)于之間對應(yīng)的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出與，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程可得出“可變成本”的值；（Ⅱ）根據(jù)利潤公式分別算出當(dāng)銷量分別為瓶、瓶、瓶、瓶時的利潤和頻率，列出利潤隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合分布列計(jì)算出數(shù)學(xué)期望值，即可得出答案。【題目詳解】（Ⅰ），，，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：當(dāng)時，，所以該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為元；（Ⅱ）當(dāng)天購進(jìn)18瓶這種冷飲料，用表示當(dāng)天的利潤（單位：元），當(dāng)銷售量為15瓶時，利潤，；當(dāng)銷售量為16瓶時，利潤，；當(dāng)銷售量為17瓶時，利潤，；當(dāng)銷售量為18瓶時，利潤，；那么的分布列為：52.162.172.182.1的數(shù)學(xué)期望是：，所以若當(dāng)天購進(jìn)18瓶，則當(dāng)天利潤的期望值為元.