2024屆河南省洛陽市欒川縣實驗高中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆河南省洛陽市欒川縣實驗高中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．兩射手彼此獨立地向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲射中的概率，乙射中的概率，則目標(biāo)被擊中的概率為（）A．1.7 B．1 C．0.72 D．0.982．點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．103．已知集合，，則從到的映射滿足，則這樣的映射共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個4．若，則（）A． B． C． D．5．若的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．6．設(shè)，隨機變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小7．已知，，則（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點，且與拋物線交于，兩點（點，分別位于軸的左、右兩側(cè)），，則的值是（）A． B． C． D．10．若直線與曲線相切，則的最小值為（）A． B． C． D．11．通過隨機詢問111名不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計

愛好

41

21

31

不愛好

21

21

51

總計

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”12．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是0.6，乙勝的概率是0.4.那么采用5局3勝制還是7局4勝制對乙更有利？（）A．5局3勝制 B．7局4勝制 C．都一樣 D．說不清楚二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，則________.14．已知某種新產(chǎn)品的編號由1個英文字母和1個數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是，，，，這5個字母中的1個，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中的一個，則共有__________個不同的編號（用數(shù)字作答）.15．（題文）x-1x616．設(shè)全集，集合，，則_．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù),其中為常數(shù)且.(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點,求的值;(Ⅱ)若函數(shù)有3個零點,求的取值范圍.19．（12分）（1）化簡求值：（2）化簡求值：+20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，是橢圓：的左、右焦點，且，橢圓上任意一點到，的距離之和為4.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于，兩點，橢圓上存在點使得四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.21．（12分）已知.（I）求的最小值及最大值；（II）設(shè)，，，求的最大值.22．（10分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，.（1）求證：四棱錐為陽馬；并判斷四面體是否為鱉臑，若是，請寫出各個面的直角（要求寫出結(jié)論）.（2）若，當(dāng)陽馬體積最大時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先計算沒有被擊中的概率，再用1減去此概率得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點撥】本題考查了概率的計算，先計算沒有被擊中的概率是解題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】

首先作出圖形，計算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【題目詳解】設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因為E為BC的中點，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M【題目點撥】本題主要考查外接球的相關(guān)計算，異面直線所成角的計算.意在考查學(xué)生的空間想象能力，計算能力和轉(zhuǎn)化能力，難度較大.3、B【解題分析】分析：根據(jù)映射的定義，結(jié)合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有兩種不同情況，進而根據(jù)分步乘法原理得到答案詳解：：若f（3）=3，則f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故這樣的映射的個數(shù)是2×2=4個，故選：B．點睛：本題考查的知識點是映射的定義，分步乘法原理，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題4、D【解題分析】

結(jié)合函數(shù)、不等式及絕對值含義判斷即可【題目詳解】對，若，則，但推不出，故錯；對，若，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，則，故錯；對，若，但推不出，故錯誤；對，設(shè)，則函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，，則，故正確；故選：D【題目點撥】本題考查由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)及絕對值的含義比大小，屬于基礎(chǔ)題5、C【解題分析】

計算，計算，，，根據(jù)系數(shù)的大小關(guān)系得到，解得答案.【題目詳解】，，，，，第6項的系數(shù)最大，，則.故選：.【題目點撥】本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.6、D【解題分析】

先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【題目詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【題目點撥】7、C【解題分析】

由兩角和的正切公式得出，結(jié)合平方關(guān)系求出，即可得出的值.【題目詳解】，即由平方關(guān)系得出，解得：故選：C【題目點撥】本題主要考查了兩角和的正切公式，平方關(guān)系，屬于中檔題.8、A【解題分析】

由題先解出，再利用來判斷位置【題目詳解】，在復(fù)平面對應(yīng)的點為，即在第一象限，故選A【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法，復(fù)數(shù)的概念及幾何意義，是基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

設(shè)，則，由拋物線的定義，得，，進而可求BE、AE，最后由可求解.【題目詳解】設(shè)，則A、B兩點到準(zhǔn)線的距離分別為AC、BD，由拋物線的定義可知：，過A作，垂足為E..故選：D【題目點撥】本題考查了拋物線的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.10、C【解題分析】分析：由直線與曲線相切，可以表示出的值，然后用導(dǎo)數(shù)求出的最小值詳解：由題意可得，設(shè)切點坐標(biāo)為，，則則，令，時，，遞減時，，遞增的最小值為故選點睛：本題主要考查了運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求相切情況，在解答多元問題時，要將其轉(zhuǎn)化為單元問題，本題在求解中轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的最值，利用導(dǎo)數(shù)即可求出最小值。11、A【解題分析】

由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A12、A【解題分析】

分別計算出乙在5局3勝制和7局4勝制情形下對應(yīng)的概率，然后進行比較即可得出答案.【題目詳解】當(dāng)采用5局3勝制時，乙可以3:0，3:1，3:2戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：;當(dāng)采用7局4勝制時，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：，顯然采用5局3勝制對乙更有利，故選A.【題目點撥】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，意在考查學(xué)生的計算能力和分析能力，難度中等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘法運算計算得到即可.【題目詳解】由已知，設(shè)，則，所以，解得，故，.故答案為：2.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)模的運算，涉及到復(fù)數(shù)相等的概念，是一道容易題.14、45【解題分析】

通過分步乘法原理即可得到答案.【題目詳解】對于英文字母來說，共有5種可能，對于數(shù)字來說，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個不同的編號.【題目點撥】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計算，難度很小.15、15【解題分析】試題分析：展開式的通項公式為Tr+1=(-1)r考點：二項式定理16、【解題分析】

利用已知求得：，即可求得：，再利用并集運算得解.【題目詳解】由可得：或所以所以所以故填：【題目點撥】本題主要考查了補集、并集的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當(dāng)時與當(dāng)且時，至多一個零點，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【題目詳解】（1）的定義域為，，（i）當(dāng)時，恒成立，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)時，由得，（舍去），①當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時，或時，恒成立，在單調(diào)遞增，時，恒成立，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調(diào)遞增，，，有兩個零點等價于，得，，當(dāng)時，，只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)且時，有兩個極值，，記，，令，則，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，時，，故，又，由（1）知，至多只有一個零點，不符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題是以導(dǎo)數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、零點等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解題分析】

（I）由題意把代入導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)得0，即可求的值；（II）由題意等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有三個零點問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下求極值，列關(guān)于a的不等式求解．【題目詳解】(Ⅰ)依題意得,所以，是函數(shù)的極值點，得f′(2)=0，解得或（舍去），故，(Ⅱ)函數(shù)有3個零點,即方程有三個不同實根，因為所以有三個不等實根，令，，，令，解得，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以為的極值點，根據(jù)函數(shù)有3個零點,需滿足，解得，的取值范圍為.【題目點撥】本題考查函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通常利用轉(zhuǎn)化思想將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化成等價函數(shù)或者方程根的問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)條件列出不等式求解，考查數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，屬于較難題.19、(1)1，(2)【解題分析】

（1）利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式化簡求值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的和差化積化簡求值．【題目詳解】（1）===；（2）+=+==（﹣）==．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由已知可求出，，問題得解；（Ⅱ）設(shè)，，，的方程為，聯(lián)立方程組，得，所以，，由已知得，代入坐標(biāo)運算得，由弦長公式可求出，且到直線的距離，再由即可求解，最后還要考慮斜率不存在的情況.【題目詳解】解：（Ⅰ）由得，由橢圓定義知，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去，化簡為：，設(shè)，，，由韋達定理得，，由得；四邊形為平行四邊形得，∴，代入橢圓方程化簡得：適合；原點到直線的距離，，∴；當(dāng)直線的斜率不存在時，由題意得直線必過長半軸的中點，不妨設(shè)其方程為，算出.綜上所述，平行四邊形的面積.【題目點撥】本題考查了橢圓的方程和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運算，實現(xiàn)形到數(shù)的轉(zhuǎn)