陜西省育才中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

陜西省育才中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且對任意的恒成立，則下列不等式均成立的是（）A． B．C． D．2．設，，則A． B．， C． D．，3．從10名男生6名女生中任選3人參加競賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A．1190 B．420 C．560 D．33604．六位同學站成一排照相，若要求同學甲站在同學乙的左邊，則不同的站法有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．在極坐標系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標系是A． B． C．(1,0) D．(1，)6．已知，命題“若”的否命題是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知，則的值是A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，，，，，若，，則的最小值是（）A.B.C.D.9．已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.341311．某校為了解本校高三學生學習的心理狀態(tài)，采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人參加某種測試，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為，抽到的人中，編號落在區(qū)間的人做試卷，編號落在的人做試卷，其余的人做試卷，則做試卷的人數(shù)為()A． B． C． D．12．已知函數(shù).若，則（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，則____________.14．_____15．從，中任取2個不同的數(shù)，事件“取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件”取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則_______．16．為了解某地區(qū)某種農產品的年產量（單位：噸）對價格（單位：千元/噸）的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統(tǒng)計如下表：123457.06.53.82.2已知和具有線性相關關系，且回歸方程為，那么表中的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.18．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，記集合.（I）求集合；（II）當時，求函數(shù)的值域.19．（12分）國內某知名大學有男生14111人，女生11111人，該校體育學院想了解本校學生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取121人，統(tǒng)計他們平均每天運動的時間，如下表：（平均每天運動的時間單位：小時，該校學生平均每天運動的時間范圍是[0,3]）.男生平均每天運動時間分布情況：女生平均每天運動時間分布情況：（1）請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運動的時間（結果精確到1.1）；（2）若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”.①請根據(jù)樣本估算該?！斑\動達人”的數(shù)量；②請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過1.15的前提下認為“是否為‘運動達人’與性別有關？”參考公式：k2=n參考數(shù)據(jù)：P(1．111.151.1251.1111.1151.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.82820．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點也為拋物線：的焦點．（1）若，為橢圓上兩點，且線段的中點為，求直線的斜率；（2）若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，和，，設線段，的長分別為，，證明是定值．21．（12分）某公司生產一種產品，每年投入固定成本萬元.此外，每生產件這種產品還需要增加投入萬元.經測算，市場對該產品的年需求量為件，且當出售的這種產品的數(shù)量為（單位：百件）時，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產品的年產量為（單位：百件），試把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤表示為年產量的函數(shù)；（2）當該公司的年產量為多少時，當年所得利潤最大？最大為多少？22．（10分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

構造函數(shù)，求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而求出結果.【題目詳解】令，則.，，是減函數(shù)，則有，，即，所以.選.【題目點撥】本題考查函數(shù)與導數(shù)中利用函數(shù)單調性比較大小.其中構造函數(shù)是解題的難點.一般可通過題設已知條件結合選項進行構造.對考生綜合能力要求較高.2、A【解題分析】

利用一元二次不等式的解法以及對數(shù)函數(shù)的單調性，求出集合，，然后進行交集的運算即可?！绢}目詳解】，；，故選．【題目點撥】本題主要考查區(qū)間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域及單調性，以及交集的運算．3、B【解題分析】

根據(jù)分類計數(shù)原理和組合的應用即可得解.【題目詳解】要求參賽的3人中既有男生又有女生,分為兩種情況：第一種情況：1名男生2名女生，有種選法；第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，由分類計算原理可得.故選B.【題目點撥】本題考查分類計數(shù)原理和組合的應用，屬于基礎題.4、C【解題分析】

先作分類，甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有；甲在左邊第五位，有；然后直接相加求解即可【題目詳解】甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有甲在左邊第五位，有；不同的站法有種，選C.【題目點撥】本題考查排列問題，屬于基礎題5、B【解題分析】

由題圓，則可化為直角坐標系下的方程,，，，圓心坐標為（0，-1），則極坐標為，故選B.考點：直角坐標與極坐標的互化.6、A【解題分析】

根據(jù)否命題的定義：即否定條件又否定結論，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是“若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3”故選A7、D【解題分析】，,又,故選D.8、A【解題分析】試題分析：設P（x,y）,則，，所以，所以P點軌跡為，根據(jù)條件，可以整理得到：，所以M,Q,N三點共線，即Q點在直線MN上，由M（8，0），N（0，8）可知Q點在直線上運動，所以的最小值問題轉化為圓上點到直線的最小距離，即圓心到直線的距離減去圓的半徑，。考點：1.平面向量的應用；2.直線與圓的位置關系。9、C【解題分析】

函數(shù)在時取得最大值,在或時得,結合二次函數(shù)圖象性質可得的取值范圍.【題目詳解】二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線.最大值為，且在時取得，而當或時，.結合函數(shù)圖象可知的取值范圍是．故選:C．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質,考查數(shù)形結合思想的應用,屬于中檔題.10、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關系，單獨要求的概率的值．詳解：∵機變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質求某一個區(qū)間的概率，屬基礎題．11、B【解題分析】，由題意可得抽到的號碼構成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，且此等差數(shù)列的通項公式為，落入?yún)^(qū)間的人做問卷，由，即，解得，再由為正整數(shù)可得，做問卷的人數(shù)為，故選B.12、D【解題分析】

令，則是R上的奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可以推得的值．【題目詳解】令，則是上的奇函數(shù)，又，所以，所以，，所以，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1023【解題分析】

分別將代入求解即可【題目詳解】將代入得；將代入得故故答案為1023【題目點撥】本題考查二項式展開式中項的系數(shù)和，考查賦值法和方程的思想，是基礎題14、【解題分析】

根據(jù)積分運算法則求，前者利用公式求解，后者所表示的幾何意義是以為圓心，2為半徑第一象限內圓弧與坐標軸圍成的面積，求出圓的面積乘以四分之一，兩者結果做和即可得解．【題目詳解】解：，由表示以為圓心，2為半徑的圓面積的，∴，，∴，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題．15、【解題分析】

先求得事件所包含的基本事件總數(shù)，再求得事件所包含的基本事件總數(shù)，由此求得的值.【題目詳解】依題意，事件所包含的基本事件為共六種，而事件所包含的基本事件為共三種，故.【題目點撥】本小題主要考查條件概型的計算，考查列舉法，屬于基礎題.16、5.5【解題分析】將樣本中心代入回歸方程得到m=5.5.故答案為：5.5.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當時，，整理得，當n=1時，有.數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項公式．（II）由（I）有，則,用裂項相消法可求其前n項和.試題解析：（I）當時，有，解得.當時，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為：．（II）由（I）有，則故得證.18、（1）（2）【解題分析】

（Ⅰ）由g（x）≤0得42x﹣5?22x+1+16≤0，然后利用換元法解一元二次不等式即可得答案；（Ⅱ）化簡函數(shù)f（x），然后利用換元法求解即可得答案．【題目詳解】解：（I）即，，令，即有得，，，解得；（II），令則，二次函數(shù)的對稱軸，【題目點撥】本題考查了指、對數(shù)不等式的解法，考查了會用換元法解決數(shù)學問題，屬于中檔題．19、（1）1.5；（2）①4111；②在犯錯誤的概率不超過1.15的前提下不能認為“是否為‘運動達人’與性別有關”．【解題分析】試題分析：（1）由分層抽樣計算得男生抽70人，女生抽50人，故x=5,y=2，由此求得男生平均運動事件為1.5小時；（2）計算k=120(15×45-5×55)2試題解析：（1）由分層抽樣得：男生抽取的人數(shù)為120×1400014000+10000=70故x=5,y=2，則該校男生平均每天運動時間為：0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5故該校男生平均每天運動的時間約為1.5小時；（2）①樣本中“運動達人”所占比例是20120=1②由表可知：故K2的觀測值故在犯錯誤的概率不超過1.15的前提下不能認為“是否為‘運動達人’與性別有關”考點：1.頻率分布直方圖；2.獨立性檢驗.20、（1）（2）解:因為拋物線的焦點為,所以,故.所以橢圓.(1)設,則兩式相減得，又的中點為,所以.所以.顯然,點在橢圓內部,所以直線的斜率為.(2)橢圓右焦點.當直線的斜率不存在或者為時,.當直線的斜率存在且不為時,設直線的方程為，設,聯(lián)立方程得消去并化簡得，因為，所以，.所以同理可得.所以為定值.【解題分析】分析：（1）先利用拋物線的焦點是橢圓的焦點求出，進而確定橢圓的標準方程，再利用點差法求直線的斜率；（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系進行求解.詳解：因為拋物線的焦點為，所以，故.所以橢圓.（1）設，，則兩式相減得，又的中點為，所以，.所以.顯然，點在橢圓內部，所以直線的斜率為.（2）橢圓右焦點.當直線的斜率不存在或者為時，.當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，設，，聯(lián)立方程得消去并化簡得，因為，所以，.所以，同理可得.所以為定值.點睛：在處理直線與橢圓相交的中點弦問題，往往利用點差法進行求解，比聯(lián)立方程的運算量小，另設直線方程時，要注意該直線的斜率不存在的特殊情況，以免漏解.21、(1);(2)當年產量為件時，所得利潤最大.【解題分析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤關于年產量的函數(shù)解析式；（2）分別利用二次函數(shù)的性質以及函數(shù)的單調性，求得兩段函數(shù)值的取值范圍，從而可得結果.詳解：（1）由題意得：；（2）當時，函數(shù)對稱軸為，故當時，；當時，函數(shù)單調遞減，故，所以當年產量為件時，所得利潤最大.點睛：本題主要考查閱讀能力及建模能力、分段函數(shù)的解析式，屬于難題.與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數(shù)，構造分段函數(shù)時，做到分段合理、不重不漏，分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).22、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）對求導并因式分解，對分成四種情況，討論函數(shù)的單調性.（2）先將函數(shù)解析式轉化為，當時，，符合題意.當時，由