2024屆普通高等學校數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆普通高等學校數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．2．某村莊對改村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計老年人7年輕人6合計50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯誤的是()A． B． C． D．3．已知，，，若>恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．4．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．下列參數(shù)方程可以用來表示直線的是（）A．（為參數(shù)） B．（為參數(shù)）C．（為參數(shù)） D．（為參數(shù)）6．已知，若將其圖像右移個單位后,圖象關于原點對稱，則的最小值是()A． B． C． D．7．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．8．橢圓的左焦點為，若關于直線的對稱點是橢圓上的點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1，則的最大值為A． B． C． D．10．已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．11．用數(shù)學歸納法證明時，由時的假設到證明時，等式左邊應添加的式子是（）A． B．C． D．12．已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為__________.14．如圖所示，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的是_______(填序號)．①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.15．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是．16．設向量=（1,0），=（?1,m）,若，則m=_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．18．（12分）(1)已知直線經(jīng)過點，傾斜角.設與圓相交與兩點A，B，求點P到兩點的距離之積.(2)在極坐標系中，圓C的方程為，直線的方程為.①若直線過圓C的圓心，求實數(shù)的值；②若，求直線被圓C所截得的弦長.19．（12分）設是橢圓上的兩點，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.20．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大?。?1．（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調(diào)查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.22．（10分）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）當函數(shù)在上單調(diào)時，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先求出導函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當時，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當時，則在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，故不可能恒有；（3）當時，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，對任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。2、D【解題分析】分析：先根據(jù)列聯(lián)表列方程組，解得a,b,c,d,e,f,再判斷真假.詳解：因為，所以選D.點睛：本題考查列聯(lián)表有關概念，考查基本求解能力.3、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結(jié)構(gòu)的最值，用“1”的替換是均值不等式的應用，構(gòu)造出的模型，再驗證條件。4、D【解題分析】

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，則，在區(qū)間上是增函數(shù)，再根據(jù)定義域則在區(qū)間上恒成立求解.【題目詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立.所以且，解得.故選：D【題目點撥】本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，還考查了理解辨析和運算求解的能力，屬于中檔題.5、A【解題分析】

選項A:利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項B：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項C：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍即可判斷出所表示的圖形；選項D：利用同角的三角函數(shù)關系式進行消參即即可判斷出所表示的圖形,最后選出正確答案.【題目詳解】選項A:,而,所以參數(shù)方程A表示的是直線；選項B：,而,所以參數(shù)方程B表示的是射線；選項C：,而,所以參數(shù)方程C表示的是線段；選項D：,所以參數(shù)方程D表示的是單位圓,故選A.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程,并判斷普通方程所表示的平面圖形,求出每個參數(shù)方程中橫坐標的取值范圍是解題的關鍵.6、C【解題分析】

利用兩角和差的三角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的最小值．【題目詳解】∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x）（x∈R），若將其圖象右移φ（φ＞0）個單位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的圖象；若所得圖象關于原點對稱，則﹣φkπ，k∈Z，故φ的最小值為，故選：C．【題目點撥】本題主要考查兩角和差的三角公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．7、C【解題分析】

沒有元素的集合是空集，逐一分析選項，得到答案.【題目詳解】A.不是空集，集合里有一個元素，數(shù)字0，故不正確；B.集合由滿足條件的上的點組成，不是空集，故不正確；C.，解得：或，都不是自然數(shù)，所以集合里沒有元素，是空集，故正確；D.滿足不等式的解為，所以集合表示，故不正確.故選：C【題目點撥】本題考查空集的判斷，關鍵是理解空集的概念，意在考查分析問題和解決問題的能力.8、A【解題分析】

利用點關于直線的對稱點，且A在橢圓上，得，即得橢圓C的離心率；【題目詳解】∵點關于直線的對稱點A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．故選A．【題目點撥】本題主要考查橢圓的離心率，屬于基礎題．9、D【解題分析】

設這個籃球運動員得1分的概率為c，由題設知

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．【題目詳解】設這個籃球運動員得1分的概率為c，

∵這個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概率為0.5，

投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投籃一次得分的數(shù)學期望為1，

∴

，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈（0，1），

∴

=

=

，

∴ab

，

當且僅當2a=b=

時，ab取最大值

．

故選D．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理的靈活運用．10、C【解題分析】分析：由題意，雙曲線的焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是，求得，利用離心率的公式，即可求解雙曲線的離心率．詳解：由題意，雙曲線的焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是，即，所以雙曲線的離心率為，故選C．點睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的求解問題，其中熟記雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．11、B【解題分析】因為當時，等式的左邊是，所以當時，等式的左邊是，多增加了，應選答案B．點睛：解答本題的關鍵是搞清楚當時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當時，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項是什么，使得問題獲解．12、B【解題分析】

先計算出，由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是得出可得出答案．【題目詳解】由題可知，，由于，所以，，因此，，故選B.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對稱性，解題時要注意正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性來計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

在參數(shù)方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數(shù)，可將參數(shù)方程化為普通方程.【題目詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為，故答案為.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，將直線的參數(shù)方程化普通方程，常見的有代入消元法和加減消元法，考查計算能力，屬于基礎題.14、③【解題分析】

由AB=BC，AD=CD，說明對棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出結(jié)論．【題目詳解】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故答案為：③．【題目點撥】本題考查了平面與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．15、．【解題分析】試題分析：由三視圖可得幾何體為正方體挖去一個圓錐：則：，．得體積為：考點：三視圖與幾何體的體積．16、-1.【解題分析】

根據(jù)坐標表示出，再根據(jù)，得坐標關系，解方程即可.【題目詳解】，，由得：，，即.【題目點撥】此題考查向量的運算，在解決向量基礎題時，常常用到以下：設，則①；②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）利用等差數(shù)列公式直接解得答案.（Ⅱ），，利用裂項求和計算得到答案.【題目詳解】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得∴．（Ⅱ），從而，∴的前項和．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列通項公式，裂項求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.18、（1）2；（2）①；②【解題分析】

（1）求出直線的參數(shù)方程，并代入圓的方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義即可求解；（2）將極坐標方程化為直角坐標方程，①將圓心代入直線即可求出②先求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長公式即可得出直線被圓C所截得的弦長.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，即.把直線代入，得，，，則點P到A，B兩點的距離之積為2.（2）①以極點為坐標原點，極軸所在直線為x軸建立直角坐標系.由得，則圓C的直角坐標方程是，圓心坐標為，半徑.由，得，則直線l的直角坐標方程是.若直線l通過圓C的圓心，則，所以.②若，則圓心到直線的距離，所以直線l被圓C所截得的弦長為.【題目點撥】本題主要考查了直線參數(shù)方程的幾何意義以及極坐標方程與直角坐標方程的互化，過點,且傾斜角為的直線的參數(shù)方程，屬于基礎題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當直線斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為設的方程為：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直線斜率不存在時，即，∵∴，即又∵點在橢圓上∴，即∴，∴，故的面積為定值1②當直線斜率存在時，設的方程為，聯(lián)立得：∴，，∴所以三角形的面積為定值1.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系、圓錐曲線的定值問題，解題時要注意解題技巧的運用，如常用的設而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個這個值與變量無關；②直接推理、計算，借助韋達定理，結(jié)合向量所提供的坐標關系，然后經(jīng)過計算推理過程中消去變量，從而得到定值.20、（1）（2）【解題分析】

（1）是與底面所成的角,所以,可得,在用柱體體積公式即可求得答案;（2）因為正四棱柱,可得,所以是異面直線與所成的角.【題目詳解】（1）如圖,連接正四棱柱的底面邊長面是與底面所成的角在中,正四棱柱的體積為:.（2）正四棱柱是異面直線與所成的角在中,異面直線與所成的角為:.【題目點撥】本題考查了正四棱柱體積和空間異面直線夾角.在求解異面直線所成角的求解,通過平移找到所成角是解這類問題的關鍵.21、(1)見解析；(2)（