2024屆昆明市第二中學高二數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2024屆昆明市第二中學高二數(shù)學第二學期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知集合，，則集合（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有（）A．72種 B．48種 C．24種 D．12種5．的展開式中，系數(shù)最小的項為（）A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項6．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么、、中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設中正確的是（）A．假設、、都是偶數(shù) B．假設、、都不是偶數(shù)C．假設、、至多有一個偶數(shù) D．假設、、至多有兩個偶數(shù)7．在正四棱錐中，，直線與平面所成的角為，為的中點，則異面直線與所成角為（）A． B． C． D．8．在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．9．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．10．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．若復數(shù)的實部與虛部相等，其中是實數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．12．已知等差數(shù)列的第項是二項式展開式的常數(shù)項，則（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中，二項式系數(shù)最大的項是_________．14．函數(shù)的最小正周期為__________．15．過原點作一條傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，為橢圓的左焦點，若，且該橢圓的離心率，則的取值范圍為__________．16．執(zhí)行如圖所示的程序框圖則輸出的實數(shù)m的值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，且平面平面.（1）證明：（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的極值；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍.20．（12分）新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實際銷量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份編號t12345銷量（萬輛）0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量（萬輛）與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預測2018年5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：補貼金額預期值區(qū)間（萬元）206060302010將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，，②.21．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬中，底面．（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長（精確到）；（2）證明：四面體為鱉臑；（3）若，，，為線段上一個動點，求面積的最小值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，面，且，為中點．（1）證明：//平面；（2）證明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【題目詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因為函數(shù)存在最大值，所以解.故選B.【題目點撥】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎題.2、B【解題分析】

由并集的定義求解即可.【題目詳解】由題,則,故選:B【題目點撥】本題考查集合的并集運算,屬于基礎題.3、A【解題分析】分析：由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，得，進而分離參數(shù)得；構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的值域特征，進而得到的單調(diào)性，最后求得的取值范圍。詳解：因為在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)所以，而在區(qū)間上所以，即令，則分子分母同時除以，得令，則在區(qū)間上為增函數(shù)所以所以在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)所以所以選A點睛：本題考查了函數(shù)與導函數(shù)的綜合應用，分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)法在解決單調(diào)性、最值問題中的應用，綜合性強，對分析問題、解決問題的能力要求較高，屬于難題。4、A【解題分析】試題分析：先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種，而為了讓C與AB都不一樣，則C有2種，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種，所以一共有4x3x2x3=72種，故選A．考點：本題主要考查分步計數(shù)原理的應用．點評：從某一區(qū)域涂起，按要求“要求相鄰的矩形涂色不同”，分步完成．5、C【解題分析】由題設可知展開式中的通項公式為，其系數(shù)為，當為奇數(shù)時展開式中項的系數(shù)最小，則，即第8項的系數(shù)最小，應選答案C。6、B【解題分析】分析：本題考查反證法的概念，邏輯用語，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語的否定．根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題結(jié)論的否定，故只須對“b、c中至少有一個偶數(shù)”寫出否定即可．解答：解：根據(jù)反證法的步驟，假設是對原命題結(jié)論的否定“至少有一個”的否定“都不是”．即假設正確的是：假設a、b、c都不是偶數(shù)故選B．點評：一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．7、C【解題分析】試題分析：連接交于點，連接.因為為中點，所以，所以即為異面直線與所成的角．因為四棱錐為正四棱錐，所以，所以為在面內(nèi)的射影，所以即為與面所成的角，即，因為，所以所以在直角三角形中，即面直線與所成的角為故選C．考點：直線與平面所成的角，異面直線所成的角【名師點睛】本題考查異面直線所成角，直線與平面所成的角，考查線面垂直，比較基礎連接AC，BD交于點O，連接OE，OP，先證明∠PAO即為PA與面ABCD所成的角，即可得出結(jié)論．8、B【解題分析】

作出圖形，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【題目詳解】如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，且，在正方體中，，為的中點，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或空間向量法計算，考查計算能力，屬于中等題.9、B【解題分析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐挖掉半個圓錐所得，所以體積為.考點：三視圖.10、A【解題分析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。11、D【解題分析】分析：根據(jù)復數(shù)乘法運算法則化簡復數(shù)，結(jié)合已知條件，求出的值，代入后求模即可得到答案.詳解：復數(shù)的實部與虛部相等，又有，解得，.故選D.點睛：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算和復數(shù)模的求法，屬于基礎題.12、C【解題分析】試題分析：二項式展開中常數(shù)項肯定不含，所以為，所以原二項式展開中的常數(shù)項應該為，即，則，故本題的正確選項為C.考點：二項式定理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式系數(shù)的性質(zhì)，得到第4項的二項式系數(shù)最大，求出第4項即可.【題目詳解】在的展開式中，由二次項系數(shù)的性質(zhì)可得：展開式中第4項的二項式系數(shù)最大，因此，該項為：.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求二項式系數(shù)的最大項，熟記二項式定理即可，屬于基礎題型.14、【解題分析】

直接利用三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最小正周期.【題目詳解】由題得函數(shù)的最小正周期.故答案為【題目點撥】本題主要考查正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解題分析】設右焦點F′，連結(jié)AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵該橢圓的離心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范圍為．點睛：本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)．有關(guān)橢圓的離心率問題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造的關(guān)系,解決橢圓離心率的相關(guān)問題的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．16、1【解題分析】

先要通讀程序框圖，看到程序中有循環(huán)結(jié)構(gòu)，然后代入初值，看是否進入循環(huán)體，是就執(zhí)行循環(huán)體，寫清每次循環(huán)的結(jié)果；不是就退出循環(huán)，看清要輸出的是何值．【題目詳解】模擬執(zhí)行程序，可得，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出m的值為1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查程序框圖要掌握常見的當型、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；以及會判斷條件結(jié)構(gòu)，并得到條件結(jié)構(gòu)的結(jié)果；在已知框圖的條件下，可以得到框圖的結(jié)果．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）中點為，連接和，證明平面，即可證明；（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）設中點為，連接和，如圖所示，在中，，為中點，所以，又四邊形為菱形，，所以是等邊三角形，為中點，所以，又，所以平面，又因為平面，所以.（2）由（1）知，、、兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，所以，，，設平面的法向量，則，令，則，，所以；設平面的法向量，則，令，則，，所以；因為二面角是銳角，所以，即二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的判定、由線面垂直求線線垂直和利用空間向量求二面角，考查學生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.18、（1）極大值為，函數(shù)無極小值；（2）【解題分析】分析：（1）由函數(shù)在點處的切線與直線垂直，利用導數(shù)的幾何意義求得，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，利用導數(shù)可得當時，在上是增函數(shù)，，故當時，，再證明當時不合題意即可.詳解：（1）函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)在點處的切線的斜率.∵該切線與直線垂直，所以，解得.∴，，令，解得.顯然當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.∴函數(shù)的極大值為，函數(shù)無極小值.（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，則，令，則在上為增函數(shù)，即，①當時，，即，則在上是增函數(shù)，∴，故當時，在上恒成立.②當時，令，得，當時，，則在上單調(diào)遞減，，因此當時，在上不恒成立，綜上，實數(shù)的取值范圍是.點睛：本題是以導數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設計綜合題.19、（1）為奇函數(shù)；證明見解析（2）【解題分析】

（1）顯然,再找到與的關(guān)系即可；（2）由可得,進而求解即可.【題目詳解】（1）是奇函數(shù)；證明:因為,所以.所以為奇函數(shù)（2）解:由不等式,得,整理得,所以,即【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性的證明,考查解含指數(shù)的不等式,考查運算能力.20、（1）約為2萬輛；（2）見解析【解題分析】

(1)利用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程為，再令得到2018年5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量.(2)先分析得到～，再根據(jù)二項分布求的分布列及數(shù)學期望.【題目詳解】（1）易知，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為，當時，，即2018年5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為2萬輛.（2）根據(jù)給定的頻數(shù)表可知，任意抽取1名擬購買新能源汽車的消費者，對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的概率為，由題意可知～，的所有可能取值為0,1,2,3的分布列為：，，0123所以【題目點撥】（1）本題主要考查回歸方程的求法，考查二項分布，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是，（）．正好是二項式的展開式的第項.所以記作～，讀作服從二項分布，其中為參數(shù).21、（1）；（2）詳見解析；（3）.【解題分析】

（1）推導出側(cè)棱在平面上的射影是，從而是側(cè)棱與平面所成角，，從而求得立柱的長.（2）四邊形是長方形，從而是直角三角形，由此得出，從而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能證明四面體為鱉臑.（3）利用轉(zhuǎn)化法求出異面直線與的距離，即可求得三角形面積的最小值.【題目詳解】（1）因為側(cè)棱平面，所以側(cè)棱在底面上的射影是，所以是側(cè)棱與平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.（2）證明：由題意知四邊形是長方形，所以三角形是直角三角形.由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因為，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面體為鱉臑.（3）與是兩異面直線，，所以平面，則兩異面直線與的距離