圓第一小節(jié)到第二小節(jié)練習(xí)題

圓的定義-描述性點(diǎn)在同一個圓上滿足的條件

圓的定義-集合性圓中線段長度不變的問題

圓的周長有關(guān)路程的大小比較

弦、直徑的定義

弧的定義、分類及表示方法

同（等）圓、同（等）弧、同心圓的概念

圓的有關(guān)概念辨析

用圓的定義去證明角的相等

_圓的定義的實(shí)際應(yīng)用問題

下列說法中，不正確的是（）下列說法中，結(jié)論錯誤的是（）

A直徑是弦，弦是直徑A直徑相等的兩個圓是等圓

B半圓周是弧B長度相等的兩條弧是等弧

C圓上的點(diǎn)到圓心的距離都相等C圓中最長的弦是直徑

D同圓中，優(yōu)弧一定比劣弧長D一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧

下列結(jié)論正確的是（）下列說法錯誤的是（）

A長度相等的兩條弧是等弧A直徑是圓中最長的弦

B半圓是弧B長度相等的兩條弧是等弧

C半徑是弦C面積相等的兩個圓是等圓

D弧是半圓D半徑相等的兩個半圓是等弧

一、集合形式的概念：

1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；即點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑；

2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；即點(diǎn)在圓外，點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑；

3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合即點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑。

二、軌跡形式的概念：

圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；

※△:1、所以圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。2、圓是中心對稱圖形，圓心是其對稱中心；圓也是軸對稱

圖形，任何一條經(jīng)過圓心的直線（即直徑所在的直線）都是其對稱軸。

三、與圓有關(guān)的基本概念

1、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓。

2、等圓圓心不相同，半徑相等的圓；

3、同心圓一一圓心相同，半徑不等的圓；

4、弧一一圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱??；

按與半圓的大小關(guān)系可分為：優(yōu)弧和劣弧

5、等弧一一在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧；

6、弦一一連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦；

7、經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦；

8、弦心距一一圓心到弦的距瓦―

9、弓形一一弧與所對的弦所組成得圖形。

10、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角；

11、頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角；同弦（同?。┧鶎Φ膱A周角等于圓心角的一半；

12、直徑所對的圓周角是直角；

13、弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

弦切角等于該弦所對的圓周角。一

14、圓外角：頂點(diǎn)在圓外的角（兩邊與圓相交）的度數(shù)等于其所截兩弧度數(shù)差的一半；

15、圓內(nèi)角：頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角（兩邊與圓相交）的度數(shù)等于其及其對頂角所截弧度數(shù)和的一半。

16、平分弦（不是直徑）的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

直徑、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的劣弧、平分弦所對的優(yōu)弦這五個結(jié)論中的任意兩個作為條件都能推得其

他三個結(jié)論。

17、同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各

組量都分別相等。

18、同一圓中，詆條平行的弦所夾的兩段弧相等。

19、三角形的三個內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓圓心）。

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓的半徑。

20、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的外心（三角形的外接圓圓心）。

三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到各個頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形的外接圓半徑。

21、銳角二角形的外心在二角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)；鈍角二角形的外心在三角形外部。

22、定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對■角：反之，如果一個四邊形的對角互

補(bǔ)，則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形。

點(diǎn)在同一個圓匕蔭足的條件

如圖，正方形4BC0對角線4。與20相交于點(diǎn)O。則4、B、C、0四點(diǎn)以（）為圓心的同一個圓上.

如圖，矩形對角線4。與2。相交于點(diǎn)O。則4、B、C、O四點(diǎn)以（）為圓心的同一個圓上.

如圖，正方形4BCD對角線47與交于點(diǎn)0。則AB、C、。四點(diǎn)_1—以外圓心的同Y圓上.（填：“在”或不在二

如圖，已知四邊形42。。是等腰梯形。則4、B、C、。四點(diǎn)一1—同一個圓上.（填：“在”或“不在"）

如圖，已知菱形ABCD對角線4c與BD相交于點(diǎn)O,四條邊的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,則E、F、G、H四點(diǎn)以（）為圓心的一個圓上.

如圖，已知三角形4BC的三邊長分別為AB=13cmBC=12cm,AC=5cm。則4、B、C三點(diǎn)1—同一個圓上.（填：■'在1或■不在"）

如圖，已知菱形4BCD寸角線4c與RD相交于點(diǎn)O,四條邊的中點(diǎn)分別為E、F、G、H.則E、F、G,H四點(diǎn)一1—以。為圓心的一個圓上.（填

“在”或1不E”）

如圖，四邊形4BC0的一組對角N4B。、/ADC都是直角.則力、B、C、0四點(diǎn)在以（）為圓心的同一個圓上.

如圖，矩形4BCD7寸角線47與RD?交于點(diǎn)0。則AB、C、。四點(diǎn)1—以（％國心的同f圓上.（填：“在"或不在"）

如圖，已知在△ABC中，/。=90°,則4、B、。三點(diǎn)在以（）為圓心的同一個圓上.

圓中線段長度不變的問題

如圖所示：點(diǎn)M、G、0在半圓O上，四邊形OE0尸、HMNO均為矩形，EF=b,NH=c,則gc之間的大小關(guān)

如圖所示：點(diǎn)M、G、。在半圓。上，四邊形OE0F、HMNO均為矩形，EF=5,則NH=—1

如圖，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)P在弧MN上，且不與M,N重合，當(dāng)P點(diǎn)在弧MN上移動時，矩形PAOE

的形狀、大小隨之變化，則PA?+PB2的值（）

如圖，點(diǎn)4、D、G、M在半圓上，四邊形幺3OC、DEOF、均為矩形，設(shè)BC=a=7,貝必=—1

如圖，四邊形P4OB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)尸在必/上，且不與MN重合，當(dāng)尸點(diǎn)在向V上移動時，矩形

P4OB的形狀，大小隨之變化，則43的長度（）

如圖所示：點(diǎn)”、G、。在半圓。上，四邊形OEOF、HMNO均為矩形，已知矩形OEOF的寬為5,長為12,則

如圖，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，已知扇形的半徑為5,當(dāng)矩形的寬為3時，則矩形的面積為—1

如圖所示：點(diǎn)M、G、。在半圓O上，四邊形OEDF、HMNO均為矩形，已知矩形HMNO的面積為12,長為4,則

如圖，四邊形PAO8是扇形OMN的內(nèi)接矩形，已知扇形的半徑為10,矩形的長為8,則矩形的寬為—1

如圖，點(diǎn)4、D、G、”在半圓上，四邊形4BOC、DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)=a,EF=b,HN=c

則a、b、c三者間的大小關(guān)系為―1—.（答案以a,b,c順序表示）

如圖，已知在△4BC和△480中，NC=90°,Z.D=90°,則4、B、C、。四點(diǎn)在以（）為圓心的同一個圓上.

下列語句中正確的個數(shù)是（）

①三角形的三邊中點(diǎn)在同一個圓上；②四邊形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上；

③梯形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上；④平行四邊形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上.

下列語句中正確的個數(shù)是（）

①矩形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上，圓心是對角線交點(diǎn)

②正方形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上，圓心是對角線交點(diǎn)

③直角三角形的三個頂點(diǎn)在以斜邊中點(diǎn)為圓心的同一個圓上

④等腰梯形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上，圓心在對角線交點(diǎn)上

下列語句中正確的個數(shù)是（）

①平行四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上②矩形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上

③菱形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上④菱形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上

下列語句中正確的個數(shù)是（）

①正方形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上②矩形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上

③等腰直角三角形的三個頂點(diǎn)在同一個圓上④梯形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上

下列語句中正確的個數(shù)是（）

①矩形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上；②菱形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上；

③等腰梯形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上；④平行四邊形的四邊中點(diǎn)在同一個圓上.

下列語句中正確的個數(shù)是（）

①矩形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上

②菱形四條邊的中點(diǎn)在同一個圓上

③等腰梯形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上

④直角三角形的三個頂點(diǎn)在以斜邊中點(diǎn)為圓心的同一個圓上

如圖，四邊形P4OB是扇形的內(nèi)接矩形，已知扇形的半徑為13,矩形的寬為5,則矩形的周長為—1

如圖所示：點(diǎn)M、G、。在半圓O上，四邊形OEDF、HMNO均為矩形，已知矩形HMNO的面積為60,長為12,

OF=6,則OE=—1—

如圖所示：點(diǎn)MG、。在半圓。上，四邊形皿F、即VW。均為矩形，已知矩形的周長為28,長為8,。尸=5,則

OE=1

如圖，點(diǎn)力、D、G、M在半圓上，四邊形為正方形，且面積為64,四邊形力30。、0EOF為矩形

OF=4,OC=10,設(shè)8C=a,EF=b,HN=c,貝！IBE為_1_

如圖，四邊形P4OB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，已知矩形的面積為54時，矩形的長恰好為9,則扇形的半徑為—1

如圖，點(diǎn)4、D、G、M在半圓上，四邊形HMNO為正方形，四邊形ABOC、DEOF為矩形，OE=12,OF=5,OB=7,iS

如圖，點(diǎn)D、G、M在半圓上，四邊形HMNO為正方形，四邊形ABOC、OEOF為矩形，NH=12,OE=8,OB=4,誨

如圖，點(diǎn)4、D、G、M在半圓上，四邊形HMN。為正方形，且周長為36,四邊形HBOC、OEOF為矩形,

OF=3,OC=8,設(shè)8。=Q,EF=b,HN=c,貝!JBE為_1_

圓的對稱性垂徑定理的應(yīng)用-兩條互相垂直的弦的計算

垂徑定理垂徑定理的應(yīng)用-圓心與弦上一點(diǎn)線段最值問題

垂徑定理及推論的辨析垂徑定理的應(yīng)用-圓中最長弦、最短弦的問題

垂徑定理的應(yīng)用-半徑、弦、弦心距之間的計算垂徑定理的應(yīng)用-弧的翻折問題

垂徑定理的應(yīng)用-半徑、弓高、弦長之間的計算

垂徑定理的應(yīng)用-與三角形中位線之間的計算

垂徑定理的應(yīng)用-平行弦之間的距離

垂徑定理的應(yīng)用-與等腰三角形之間的計算

垂徑定理的應(yīng)用-拱橋的拱高問題

垂徑定理的應(yīng)用-圓柱體管道之間的計算問題

垂徑定理的應(yīng)用-水位的上升問題

垂徑定理的應(yīng)用-車、船能否通過的問題

垂徑定理的應(yīng)用-古代數(shù)學(xué)問題

垂徑定理

如圖：半徑0C平分弦AB（非直徑）交于點(diǎn)M,則04_1_CBQ（填：，或“〈”或“=”）；0C是否垂直于

AB2（填：“垂直”或“不垂直”）

如圖：半徑0C垂直于弦AB交于點(diǎn)M,則C4—1—CB。（填：“〉”或或“="）;AM—2—BM.（填：->”或或

如圖：弦AB垂直于直徑CD于點(diǎn)M,貝（IAM—1—BM,DA2BDO（填："〉”或或"="）

如圖：直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)G,垂直于弦EF于點(diǎn)H,貝！JC4_1_AD,EB_2_FB。（填：，或或"="）

如圖，在圓。中，直徑MN_LAB,垂足為C,貝！IAC_1_BC,NA_2_NBa（填：“〉”或或"="）

M

N

如圖：直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)P,貝UDP—1—CP,BD2BC?（填：“〉”或或"="）

如圖：半徑0C垂直于弦AB于點(diǎn)M,貝！JAM—1—BM.CA2—CBO（填：“〉”或或"="）

如圖，在圓。中，直徑MN_LAB,垂足為C,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

AAC=BC

BAN^BN

CAM=BM

DOC=CN

如圖：點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，連結(jié)OC交AB與點(diǎn)M,貝！IAM—1—BM（填："〉”或“〈"或'="）；0C是否垂直于AB—2.

（填：“垂直”或‘不垂直”）。

如圖，弦AB的垂直平分線交圓于C、D兩點(diǎn)，貝區(qū)。―1—BD。（填：半’或“="）;CD—2—直徑.（填：“是”或“不

如圖：直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)G,弦CD與弦EF交于點(diǎn)H,貝（ICG—1—DG,CB_2_FDO（填：，或或"="）

如圖，直徑CD經(jīng)過弦AB（非直徑）的中點(diǎn)M,則。4—1—CBa（填：“〉”或或“="）；CD是否垂直于

AB_2_（填：“垂直”或‘不垂直”）

如圖，點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn)，CD是直徑，JWAM_1—BM.（填：或“="）；CD是否垂直于AB2（填：“垂直”

或“不垂直”）

如圖，弦AB（非直徑）經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)E,貝（ICB—1—DB。（填：“產(chǎn)或“=”）;CD是否垂直于AB―2—（填:

“垂直”或“不垂直”）

如圖，點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，弦AB經(jīng)過CD中點(diǎn)，貝!]AB—1—直徑.（填：“是”或“不是”）；CD是否垂直于

AB―2—（填：“垂直”或‘不垂直”）

如圖，弦CD（非直徑）垂直于弦AB,貝！JAE—1―BE。（填：“產(chǎn)或”="）;CB_2_ACa（填：“/或“=”）

（填：“〉"或"v"或“=”）

如圖：直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)G,弦CD與弦EF交于點(diǎn)H,貝（ICG—1—DH.CB2—BDa

垂徑定理的應(yīng)用-半徑、弦、弦心距之間的計算

如圖，。。的直徑CD=10,AB是。0的弦，AB_LCD于M,且DM:MC=4:1,貝!JAB的長是)

如圖所示，。。的直徑為20,弦AB的長度是16,ON±AB,垂足為N,

則ON的長度為（）

已知。。中，弦AB=8cm,圓心到AB的距離為3cm,則。。的半徑為—1—cm.

如圖，在半徑為5cm的。。中，圓心O到弦AB的距離為3cm,則弦AB的長是（）

如圖，AB為。0的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)E,已知CD=8,0E=3,貝UAE=—1

已知在半徑為5的。0中，弦AB的長為6,那么圓心0到AB的距離為—1

如圖，。0的直徑CD=10,AB是。。的弦，AB±CD,垂足為M,OM:OC=4:5,貝！JAB的長為（）

如圖，在中，直徑AB=10,弦CDLAB,垂足為E,BE=2.則弦CD的長為—1—,"CD的面積為2

如圖，D是?0的弦BC的中點(diǎn)，A是。。上的一點(diǎn)，0A與BC交于點(diǎn)巳已知A0=8,BC=12.則線段0D的長為—1

如圖，AB、BC是。。的兩條弦，AO±BC,垂足為D,若。。的半徑為5,BC=8,貝！1AB的長為（）

在。。中，P為其內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為8cm,最短弦的長為4cm,則OP的長為（）

如圖，AB為。。的弦，點(diǎn)C在AB上，若AB=4,00=5/2,zOCB=45°,則。0的半徑為—1

如圖，在半徑為g的。。中，弦AB與CD交于點(diǎn)E,zDEB=75°,AB=6,AE=1,貝！JCD的長是（）

如圖所示，。。的直徑AB和弦CD交于點(diǎn)E,已知AE=6,EB=2,zCEA=30°,則CD的長為—1

如圖，已知AB是0。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)巳zCEA=30°,0E=4,DE=5，g,則弦CD的長為—100的半徑長

為__2一

如圖所示，AB為。。的直徑，弦CD交AB于E,已知0E=2,BE=1,zAEC=45°,貝！JCD=—1

如圖，已知AB是。0的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)巳zAEC=30°,AE=2,EB=6,則弦CD的長為—1—.

如圖，。0的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,若OE=2,CE=，3,zAED=30°,則。0的半徑長為—1—

垂徑定理的應(yīng)用-半徑、弓高、弦長之間的計算

如圖，為。O的弦，過點(diǎn)O作AB的垂線，交于點(diǎn)C,交€）0于點(diǎn)。，已知AB=8,CD=2,則G）O的半徑為

已知：如圖，。。的直徑CD垂直于弦AB,垂足為P,且AB=8cm,PD=2cm,則。。的半徑為（）

如圖，AB是00的直徑，弦CD_LAB,垂足為P.若CD=AP=8,則00的直徑為（）

如圖，CD為。。的直徑，弦AB_LCD,垂足為E,CE=1,AB=10,貝UCD的長為（）

如圖，AB是。。的直徑，AB_LCD于E,AE=8,CD=8,貝!）BE的長為（）

B

如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,若CD=2，^,CA=v/6,則直徑AB的長為（）

如圖，已知AD是。0的直徑，BC是。0的弦，AD1BC,垂足為點(diǎn)E,

AE=BC=16,則DE的長為—1

D

B

如圖，AB為00的直徑，弦CD_LAB于E,已知CD=12,BE=2,則。。的半徑為—1

如圖，在。O中，直徑EF上CD,垂足為若。。=2/，EM=5,貝!JCF的長為（）

如圖，。。的半徑0D垂直于弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)A0并延長交。。于點(diǎn)E,連結(jié)EB.若AB=4,CD=1,貝（IEB的長為（）

如圖，AB為。0的弦，過點(diǎn)。作AB的垂線，交AB于點(diǎn)C,交?0于點(diǎn)D,已知AB=8,CD=2,則00的直徑為—1

如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB,CD=10,AP:PB=5:1,則。。的半徑為（）

如圖，AB為。。的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=2,貝UAE=—1

如圖所示，在。。中，半徑0D,弦AB于點(diǎn)C,連接A0并延長交OO于點(diǎn)E,連接EC,若AB=8,CD=2,貝!JEC的長度為（）

如圖，AB是。。的直徑，弦CDJ_AB,垂足為E,若CD=22,CA=^6,貝UBC=—1

如圖，AC是。O的直徑，弦8OJ_4c于點(diǎn)E,連接BC,過點(diǎn)O作0尸_!_8。于點(diǎn)尸，若BD=12cm,AE=4cm,

則O尸的長度是（）

如圖，?0的半徑ODL弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)A0并延長交0。于點(diǎn)E,連結(jié)EC.已知AB=8,CD=2.則。0的半徑為—1

△ACE的面積為_2—.

如圖，。。的半徑0口，弦人8于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長交。。于點(diǎn)E,連結(jié)DE,若AB=8,CD=2,貝UDE的長為（）

垂徑定理的應(yīng)用-拱橋的拱高問題

據(jù)史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史。橋身為一巨型單孔圓弧，既沒有用鋼筋，也沒有用水泥,

全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑0C為13m,河面寬AB為24m,則橋高CD為（）

高速公路的隧道和橋梁最多.如圖是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以0為圓心的圓的一部分，路面AB=16米，此圓的

半徑10米，貝！JCD=（）

王江涇是著名的水鄉(xiāng)，如圖，水面寬AB為6m,橋拱半徑0C為5m,則圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為―1—m.

趙州橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙.如圖，若橋跨度AB約

為40米，橋弧AB所在圓的半徑為25米，則主拱高CD約—1—米

一個隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心，5為半徑的圓的一部分，M是中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心0

交。。于點(diǎn)E.若CD=6,則隧道的高（ME的長）為（）

一種花邊由如圖的弓形組成，弧ACB的半徑為弦AB=2,則弓形的高CD為（）

如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m,橋拱半徑0C為5m,則水面AB寬為（）

如圖是一個圓拱形隧道的截面，若該隧道截面所在圓的半徑為3.5米，路面寬AB為4.2米，則該隧道最高點(diǎn)距離地面

如圖1,是一座圓弧形涵洞的入口，圖2是涵洞的示意圖，如果這座涵洞圓弧所在圓的半徑長為竽米，涵洞入口處的地面的

寬度AB為4米，求涵洞的拱高CD為—1—米

如圖，某公圖的一石橋是圓弧形（劣?。?，其跨徑（AB）為24米，拱的半徑為13米，則拱高（CD）為（）

如圖，一座石拱橋是圓弧形其跨度AB=24米，半徑為13米，則拱高CD為（）

如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣弧），其跨度AB為24米，拱的半徑為13米，則拱高CD為（）

如圖，圓弧形拱橋的跨徑AB=12米，拱橋的半徑為6.5米，則拱高CD—1—米

中華民族的科學(xué)文化歷史悠久、燦爛輝煌，我們的祖先幾千年前就能在生產(chǎn)實(shí)踐中運(yùn)用數(shù)學(xué).1300多年前，我國隋代建筑的

趙州石拱橋的橋拱是圓弧形（如圖）.經(jīng)測量，橋拱下的水面距拱頂6m時，水面寬34.64m,已知橋拱跨度是37.4m,運(yùn)用你所

學(xué)的知識計算出趙州橋的大致拱高是—1―m.（運(yùn)算時取37.4七146,34.64以20形進(jìn)行計算）

I■37.4m-1

如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米,

(1)則圓弧所在的圓的半徑「的長1米。

(2)若拱頂離水面只有4米，即PE=4米時，則它的跨度AB'是2一米.

如右圖所示，有一座拱橋圓弧形，它的跨度AB為60米，拱高PM為18米，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，就要采取緊急措

施，若拱頂離水面只有4米，即PN=4米時，則此時4'8的寬度是_1—米。

P

yVIf、夕

如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m,拱高CD為4m.

(1)則拱橋的半徑為—1—m;

(2)若拱頂離水面只有1米，即。E=1米時，則它的跨度MN是—2—米.

如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為0,直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CDIIAB,且CD=24m.已測得水面距

橋洞最高處有8m(即弧CD中點(diǎn)到CD的距離)

(1)則半徑OA是—1—m;

(2)根據(jù)需要，水面要下降1m到達(dá)水面GH,貝0GH的寬度是_2_m

垂徑定理的應(yīng)用-車、船能否通過的問題

一輛高為2.5m,寬為1.6m的卡車，要經(jīng)過如圖所示的上邊是半圓，下邊是長方形的橋洞，已知半圓直徑為2m,長方形另

一邊長為2.3m,此卡車—1—(填：“能”或“不能”)否通過橋洞。

如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道.現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高為

3.6米，寬為3.2米，請問這輛送家具的卡車—1—(填：“能”或不能")通過這個通道。

如圖，一拱橋所在弧所對的圓心角為120°(即NAOB=120°),半徑為5m,一艘6m寬的船裝載一集裝箱，已知箱頂寬

3.2m,離水面AB高2m,問此船—1—(填：“能”或??不能”)過橋洞

某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道

有水部分的截面.

(1)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水面最深地方的高度為4cm,這個圓形截面的半徑_1_cm;

(2)在(1)的條件下，小明把一只寬12cm的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13cm,此小船

_2_(填：“能”或“不能”)順利通過g個管道

如圖，一拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB=80m,橋拱到水面的最大高度為20m.則

(1)樗拱的半徑是—1―m.

⑵現(xiàn)有TS寬60m,頂部截面為長方形且高出水面9m的輪船要經(jīng)過這座拱橋，這艘輪船_2—(填：“能”或“不能”順利通

過.

某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道

有水部分的截面.

(1)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=2O0cm,水面最深地方的高度為10cm,求這個圓形截面的半徑為

___1___cm.

(2)在(1)的條件下，小明把一只寬24cm的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13cm,問此小船

—2—順利通過這個管道(填“能''或''不能”)

如圖為一橋洞的形狀，其正視圖是由圓弧和矩形ABCD構(gòu)成.。點(diǎn)為所在OO的圓心，點(diǎn)。又恰好在AB為水面處.

若橋洞跨度CD為8米，拱高(OE,弦CD于點(diǎn)F)EF為2米.

(1)6力所在。O的半徑DO為—1—米；

(2)若河里行駛來一艘正視圖為矩形的船，其寬6米，露出水面AB的高度為h米，則船能通過橋洞時的最大高度

如圖，圓弧形橋拱的水面跨度AB=160米，橋拱到水面的最大高度為40米.求：

(1)橋拱的半徑為—1―m.

(2)現(xiàn)有一輪船寬120米，船艙頂部為長方形并高出水面15米要經(jīng)過這里，這艘輪船_2—(填能或不能)II麻IJ通過

有一座弧形的拱橋，橋下水面的寬度為7.2米，拱頂高出水面CO,長為2.4米，現(xiàn)有一艘寬3米，船艙頂部為長方形并

且高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，(1)則該弧所在圓的半徑是—1_米，(2)通過計算此貨船能順利通過這座弧形

拱橋嗎？2(填：“能”或“不能”)

有一拱形石橋橋下的水面寬為2池米，水面離橋頂部的高度為3米，

(1)拱形橋所在的圓的半徑為—1_米；

(2)船一般的棚頂寬為4米，棚頂離水面的高度為2米，當(dāng)水位上漲0.5米時，此船—2一(能/不能)通過

如圖某菜農(nóng)在生態(tài)園蔬菜基地搭建了一個橫截面位圓弧的蔬菜大棚大棚的跨度(弦AB的長)為華米，大棚頂點(diǎn)C離地面

的高度為2.3米.

(1)求圓弧形所在圓的半彳生_1_m;

(2)若該菜農(nóng)身高1.70m,則他在不彎腰的情況下，橫向活動的范圍有—2—米

一輛裝滿貨物，寬為2.4米的卡車，欲通過如圖的隧道，則卡車的外形高必須低于()

如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬為8米(即AB=8米)，拱頂高出水面為球(即CD=2米).

(1)這座拱橋所在圓的半徑_1_米.

(2)現(xiàn)有一艘寬6米，船艙頂部為正方形并高出水面1.5米的貨船要經(jīng)過這里，此時貨船—2—8宜：“能”或“不能”)順利通

過這座拱橋

如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬AB為12米，拱高CD為4米.

則(1)這座拱橋所在圓的半徑是—1―m.

(2)現(xiàn)有一艘寬5米，船艙頂部為正方形并高出水面3.6米的貨船要經(jīng)過這里，此時貨船—2—(填：“能”或“不能”)順利通過

這座拱橋

如圖所示，一座圓弧形拱橋的跨度AB長為40米，橋離水面最大距離CD為10米，若有一條水面上寬度為30米，高度為6米

的船—1—（填：“能"或‘'不能"）通過這座橋

車輛轉(zhuǎn)彎時，能否順利通過直角彎道的標(biāo)準(zhǔn)是：車輛是否可以行使到和路的邊界夾角是45°的位置（如圖1中②的位置），例如，圖2是某巷子的俯視圖，

巷子路面寬4m,轉(zhuǎn)彎處為直角，車輛的車身為矩形CD與DE、CE的夾角都是45°時，連接EF,交CD于點(diǎn)G,若GF的長度至少能達(dá)到車

身競度，則車輛就能1BH.

（1）通過計算說明長8m,克3mM消防車能不能通過該直角轉(zhuǎn)彎；一1—（填：“能"或1不能"）

（2）小平提出將拐彎處改為圓?。☉?yīng)枇和""'是以0為圓心，分別以O(shè)M和為ON半徑的弧），長8m,競3m的消防車就可以通過該彎道了，具體的方案

如圖3,其中OM_LOM',你能幫小平算出，ON至少為_2—米時，這種消防車可以通過該巷子？

有一座圓弧形拱橋，在水深四，拱橋離水面2米，水面竟4米，有T8頂部竟32米，高出水面15米的小船，則這艘小船—1一（能/不能）順利通過這

座橋；若不能通過，水面至少下降—2—米后才能通過

垂徑定理的應(yīng)用-兩條互相垂宜的弦的計算

如圖，AB.4c是。。中兩條弦，BAVAC,OM、ON分別垂直AB、4c于點(diǎn)M、N,若48=40,AC=30,則。。的半徑長為（）

如圖，AB.BC是的弦，ZABC=90°,OD、OE分別垂直48、BC于點(diǎn)7ZE,若40=3,CE=4,則。。的半徑長為（）

如圖，AB,BC是。。中兩條互相垂直的弦，OE、OF分別垂直48、BC于點(diǎn)E、F,若43=8,BC=6,則。。的半徑長為—1

如圖，AB.4c是。。中兩條互相垂直的弦，跳］半徑，OE、OF分別垂直4C、4B于點(diǎn)E、F,若48=6,r=5,則4C的長為—1

如圖，AB、4c是。。中兩條互相垂直的弦，OE、OF分別垂直4B、4c于點(diǎn)E、F,若48=20,AC=2^/7,則。。的半徑長為（）

如圖，AB,4C是。。中兩條弦，且NB4C=90",OE、OF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E、F,若4。=24,。。的半徑長為13,則弦4B的長為（）

已知在半徑為5的。。中，AB、CD是互相垂直且相等的兩條弦，垂足為點(diǎn)P,且0P=36,則弦AB的長為（）

如圖，已知。0的轉(zhuǎn)為5,AB±CD,垂足為P,且AB=CD=8,貝！JOP的長為（）

已知在。0中，AB、CD是互相垂直且相等的兩條弦，垂足為點(diǎn)E,SOE=5v/2,弦的長為24,則。。的半徑為（）

已知在半徑為5的。0中，AB、CD是互相垂直且相等的兩條弦，垂足為點(diǎn)巳且OE=30,則弦CD的長為—1

如圖，已知OO的轉(zhuǎn)為3,AB±CD,垂足為E,SAB=CD=40,貝!JOE的長為—1

如圖，已知OO的轉(zhuǎn)為24，AB±CD,垂足為E,且AB=CD=8,貝UOE的長為―1

已知在半徑為的。。中，AB、CD是互相垂直且相等的兩條弦，垂足為點(diǎn)E,且OE=0,則弦AB的長為（）

如圖，已知。0的轉(zhuǎn)為2,AB±CD,垂足為E,fiAB=CD=2x/3,貝（IOE的長為（）

已知在。0中，AB、CD是互相垂直且相等的兩條弦，垂足為點(diǎn)E,且OE=0,弦48的長為2代,則。0的半徑為（）

已知。。的半徑為13,AB、CD是互相垂直且相等的兩條弦，垂足為點(diǎn)巳且OE=50,則弦AB的長為—1

如圖，已知OO的轉(zhuǎn)為?，AB±CD,垂足為E,且AB=CD=6,貝UOE的長為（）

如圖，已知。0的半徑為2&，AB±CD,垂足為巳且AB=CD=6,則OE的長為—1

垂徑定理的應(yīng)用-圓心與弦上一點(diǎn)線段最值問題

如圖，00的弦AB=6,M是AB上任意一點(diǎn)，且0M最小值為4,則。0的半徑為（）

如圖，。。的直徑為34,弦AB的長為30,點(diǎn)P在AP上運(yùn)動，則0P的最小值是（）

如圖，00的弦AB=24,M是AB上任意一點(diǎn)，且0M最小值為5,則。0的半徑為—1

如圖，?O直徑是10,弦4b長為8,M是上的一個動點(diǎn)，則OM的長度不可能是（）

如圖，00的直徑為30,弦AB的長為24,點(diǎn)P在AP上運(yùn)動，貝U0P的最小值是（）

如圖，00的直徑為10,弦AB的長為6,M是弦AB上的一動點(diǎn)，則線段的0M的長的取值范圍是（）

如圖，OO的直徑為10,弦AB的長為8,點(diǎn)P在AP上運(yùn)動，貝!JOP的最小值是（）

如圖，。0的半徑為5,弦AB=8,P是弦AB上的T動點(diǎn)（不與A、B重合），下列不符合條件的OP的值是（）

如圖，P是。O的弦AB上一點(diǎn)，若OP的長滿足5cmwOP=13cm,則弦AB的長為—1—cm

在。O中，為。。的一條弦，尸為弦上的一點(diǎn)，且滿足3WOPW5,則弦4B的長為（）

A4

B6

C8

如圖，。。的半徑為41,弦AB=80,動點(diǎn)M在弦AB上運(yùn)動（可運(yùn)動至A和B）,設(shè)OM=x,貝!lx的取值范圍是—1

如圖，。。的半徑為30,弦AB=48,動點(diǎn)M在弦AB上運(yùn)動（可運(yùn)動至A和B）,設(shè)OM=x,則x的取值范圍是—1

如圖，。。的直徑為10cm,弦4B為8cm,P是弦上一點(diǎn)且不與點(diǎn)A鹿合.若OP的長為整數(shù)，則符合條件的點(diǎn)P有（）

A2個

B3個

。0的直徑為20,弦AB長為12,點(diǎn)P是弦AB上一點(diǎn)，則OP的取值范圍是—1

00的直徑為100,弦AB長為96,點(diǎn)P是弦AB上一點(diǎn)，則OP的取值范圍是—1

如圖，在圓0中，弦AB=1,點(diǎn)D在AB上移動，連接OD,過點(diǎn)D做CDJ_OD交圓O于點(diǎn)C,則CD的最大值為（）

如圖，在圓。中，弦AB=4,點(diǎn)C在AB上移動，連接OC,過點(diǎn)C做CD_LOC交圓OT點(diǎn)D,則CD的最大值為（）

半徑為5的。O中，AB是。O的一條弦目AB=8.E是AB上的一個動點(diǎn)，若0E的長為整數(shù)，則這樣的點(diǎn)E有（）個

垂徑定理的應(yīng)用-圓中最長弦、最短弦的問題

已知的半徑為5cm,P為該圓內(nèi)一點(diǎn)且OP=1cm,則過點(diǎn)P的弦中，最短的弦長為（）

A8cm

B6cm

C4\/6cm

如圖在。0中，點(diǎn)B為半徑OA上一點(diǎn)，且OA=13,AB=1,若CD是一條過點(diǎn)B的動弦，則弦CD的最小值為—1_

如圖，已知P為OO內(nèi)一點(diǎn)，且0P=2cm,如果OO的半徑是3cm，那么過P點(diǎn)的最短的弦等于—1cm

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心,半徑為5的園內(nèi)有一點(diǎn)P（0,-3）,那么經(jīng)過點(diǎn)P的所有弦中，最短的弦的長為（)

已知M為OO內(nèi)一點(diǎn)，且0M=2,若00的半徑為4,那么過點(diǎn)M的最短的弦長為（）

A8

B4

C25/3

D4收

如圖AB為00直徑,AB=4,C為0A中點(diǎn)，則過C點(diǎn)的最短弦長為—1

在。。中,P為其內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為8cm:最短的弦的長為4cm,則OP的長為（）

A2\/3cm

B2\/2cm

已知點(diǎn)P是半徑為5的。。內(nèi)一定點(diǎn)，且0P=4,則過點(diǎn)P的所有弦中，弦長可能取到的整數(shù)值為（）

A5,4,3

B10.9,8,7.6,5,4,3

C10,9,8,7,6

如圖，在平面直角坐標(biāo)系zOy中,以原點(diǎn)0為圓心的圓過點(diǎn)4（13,0）,直韁/=kx+12與。。交于B、C兩點(diǎn).則弦BC長的最小值（）

如圖點(diǎn)P為O0內(nèi)一點(diǎn)且0P=6,若00的半徑為10,則過點(diǎn)P的弦長不可能為（）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)0為圓心半徑為10的圓直線丫=0?4（11+嶼。0交于C、B兩點(diǎn)廁弦BC的長的最小值為—1

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)0為圓心的圓過點(diǎn)A（0,3d