河南省天一大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（五）數(shù)學(xué)（含答案）

焦作市普通高中2023—2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡．上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．3．若圓與軸相切，則（）A．1 B． C．2 D．44．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（）A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍6．小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)敒為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A．48 B．32 C．24 D．167．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)p，q，若，則（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于B，D兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則（）A．為的一個(gè)周期 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．為偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增10．已知正三棱臺(tái)中，的面積為，的面積為，，棱的中點(diǎn)為，則（）A．該三棱臺(tái)的側(cè)面積為30 B．該三棱臺(tái)的高為C．平面 D．二面角的余弦值為11．甲是某公司的技術(shù)研發(fā)人員，他所在的小組負(fù)責(zé)某個(gè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目由A，B，C三個(gè)工序組成，甲只負(fù)責(zé)其中一個(gè)工序，且甲負(fù)責(zé)工序A，B，C的概率分別為0.5，0.3，0.2，當(dāng)他負(fù)責(zé)工序A，B，C時(shí)，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率分別為0.6，0.8，0.7，則下列結(jié)論正確的是（）A．該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.68B．若甲不負(fù)責(zé)工序C，則該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為0.54C．若該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為D．若該項(xiàng)目未達(dá)標(biāo)，則甲負(fù)責(zé)工序A的概率為12．已知拋物線的準(zhǔn)線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則以為直徑的圓與相交B．若，則為坐標(biāo)原點(diǎn)）C．過(guò)點(diǎn)M，N分別作拋物線的切線，，若，交于點(diǎn)，則D．若，則點(diǎn)到直線的距離大于等于三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知圓錐的底面半徑為1，體積為，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為_(kāi)________．14．已知數(shù)列中，，且，則的前12項(xiàng)和為_(kāi)________．15．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為_(kāi)________．16．若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（I）證明：；（II）若，求的值．18．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，．（I）求證：平面平面；（II）若，求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）已知數(shù)列中，，．（I）求的通項(xiàng)公式；（II）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．（12分）為了驗(yàn)證某種新能源汽車(chē)電池的安全性，小王在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了次試驗(yàn)，假設(shè)小王每次試驗(yàn)成功的概率為，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（I）若小王某天進(jìn)行了4次試驗(yàn)，且，求小王這一天試驗(yàn)成功次數(shù)的分布列以及期望；（II）若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，，以表示停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）21．（12分）（I）求函數(shù)的極值；（II）若，證明：當(dāng)時(shí)，．22．（12分）已知橢圓的離心率為，直線過(guò)的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與圓相切．（I）求的方程．（II）過(guò)上一點(diǎn)作圓的兩條切線，（均不與坐標(biāo)軸垂直），，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．證明：（i）直線，的斜率之積為定值；（ii）．焦作市普通高中2023—2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)·答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．答案A命題意圖本題考查集合的表示、集合的運(yùn)算．解析依題意，，，所以．2．答案B命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算．解析，虛部為．3．答案D命題意圖本題考查圓的方程與性質(zhì)．解析因?yàn)閳A與軸相切，所以且，解得．4．答案B命題意圖本題考查三角恒等變換、充要條件的判定．解析，顯然，則，解得或．5．答案A命題意圖本題考查平面向量的線性運(yùn)算．解析設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)是線段的五等分點(diǎn)，所以的面積是的面積的5倍．6．答案C命題意圖本題考查排列組合．解析1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．7．答案D命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)的運(yùn)算．解析依題意，，則即顯然，，故，則，代入中，解得，則．8．答案C命題意圖本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)．解析易知的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，聯(lián)立方程得得，，則．而，故，代入中，得，則，故所求的漸近線方程為．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．答案AB命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解析依題意，的最小正周期，則為的一個(gè)周期，故A正確；，故B正確；，不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤．10．答案BCD命題意圖本題考查三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征．解析對(duì)于A，根據(jù)條件可得，，所以等腰梯形的高為，面積為，所以該三棱臺(tái)的側(cè)面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)的中心為，的中心為，可知是直角梯形，，，，故B正確；對(duì)于C，分別延長(zhǎng)棱，，交于點(diǎn)，易知為等邊三角形，四面體為正四面體，恰好為的中心，所以平面，故C正確；對(duì)于，二面角即正四面體相鄰側(cè)面的夾角，由正四面體的性質(zhì)可知其余弦值為，故D正確．11．答案ACD命題意圖本題考查條件概率、全概率公式．解析記甲負(fù)責(zé)工序A為事件，甲負(fù)責(zé)工序B為事件，甲負(fù)責(zé)工序C為事件，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)為事件．對(duì)于A，該項(xiàng)目達(dá)標(biāo)的概率為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確．12．答案BCD命題意圖本題考查拋物線的方程、拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的綜合性問(wèn)題．解析由題可得拋物線，設(shè)，．對(duì)于A，直線過(guò)的焦點(diǎn)，則以為直徑的圓與相切，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線，將代入，得，則，故，故B正確；對(duì)于C，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立兩式，解得，故，故C正確；對(duì)于D，由拋物線的對(duì)稱性進(jìn)行臨界分析，可知當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，故正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．答案命題意圖本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．解析設(shè)圓錐（如圖所示）的高為．因?yàn)?，所以，母線．將圓錐沿展開(kāi)所得扇形的弧長(zhǎng)為，則扇形的圓心角為．14．答案命題意圖本題考查數(shù)列的周期性、分組求和．解析依題意，故，所以，，，…，故的前12項(xiàng)和為．15．答案2命題意圖本題考查基本不等式及其應(yīng)用．解析依題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，解得，則的最大值為2．16．答案命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．解析令，顯然，則，令，，則，令，得，，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極大值為，極小值為．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn)．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．命題意圖本題考查正余弦定理及其應(yīng)用、三角恒等變換．解析（I）由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得．（II）由得，化簡(jiǎn)得，又，故，所以，故．18．命題意圖本題考查空間面面的位置關(guān)系，向量法求空間角．解析（I）因?yàn)?，所以，同理可得，故，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，故平面平面．（II）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)為平面的法向量，則即令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．命題意圖本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和．解析（I）由，可得，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，則．（II）由（I）可知，故．20．命題意圖本題考查二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率．解析（I）依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．（II）方法一：設(shè)“停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)總次數(shù)不大于”，則，“次試驗(yàn)中，成功了0次或1次”，“次試驗(yàn)中，成功了0次”的概率；“次試驗(yàn)中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次試驗(yàn)只成功了1次，且第次試驗(yàn)成功，故，所以，利用錯(cuò)位相減法可得該式的結(jié)果為．21．命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．解析（I）依題意，，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故的極小值為0，無(wú)極大值．（II）由（I）可知，當(dāng)時(shí)，，則．令，則，易知在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，，故，使得，即①．?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞