8.5＆8.6空間中直線平面的平行與垂直

§8.5空間中直線、平面的平行文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線與直線平行基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行.平行線的傳遞性直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).直線與平面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.線線平行?線面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.線面平行?線線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b平面與平面平行判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.線面平行?面面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行面面平行?線線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b§8.6空間中直線、平面的垂直一、空間中直線、平面所成的角定義取值范圍圖示異面直線所成的角已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角．空間兩條直線所成角異面直線所成角直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角.直線與平面所成的角二面角二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.記作：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的平面角二、空間中直線、平面的距離1．直線與平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．2．兩個(gè)平行平面間的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．三、空間中直線、平面的垂直文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線與直線垂直相交垂直a⊥b異面垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直.a⊥b直線與平面垂直（一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.）判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.線線垂直?線面垂直l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.線面垂直?線線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b平面與平面垂直（一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．）判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.線面垂直?面面垂直l⊥α，l?β?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.面面垂直?線線垂直α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β題型一：空間中直線、平面面平行與垂直的判定與證明【典例】1．已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【詳解】對(duì)于A，若，，，則與可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有，使得，又，則，因?yàn)椋?，故D正確.2．已知兩個(gè)平面，兩條直線，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若是異面直線，，，，，則【答案】D【分析】對(duì)于A，與相交、平行或；對(duì)于B，與相交或平行；對(duì)于C，與相交或平行；對(duì)于D，由面面平行的判定定理得．【詳解】?jī)蓚€(gè)平面，兩條直線，對(duì)于A，若，，則與相交、平行或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，，則與相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)作平面與平面交于，如圖，∵，∴，又，，∴，∵是異面直線，，∴與相交，又∵，，∴，故D正確．3．如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【詳解】連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪?，所以不垂直，則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤4．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】 A B C D對(duì)于選項(xiàng)A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；5．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.6．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求證：平面.【分析】（1）欲證，只需證明即可；（2）先證平面，再證平面平面；（3）取中點(diǎn)，連接，證明，則平面.【詳解】（Ⅰ）∵，且為的中點(diǎn)，∴.∵底面為矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面為矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如圖，取中點(diǎn)，連接.∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且.∵四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.【方法總結(jié)】證明線線平行的方法：①利用線線平行定義證共面且無(wú)公共點(diǎn)；②利用基本事實(shí)4證兩線同時(shí)平行于第三條直線；③利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；④利用線面垂直的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；⑤利用面面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．7．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由.【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?因?yàn)?平面,所以平面.（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為正三角形，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫妫矫?所以；因?yàn)樗云矫?，平?所以平面平面.（Ⅲ）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；理由如下:分別取的中點(diǎn)，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面.8．如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．【詳解】（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．題型二：夾角問(wèn)題【典例1】在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D【方法總結(jié)】求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角.（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.【變式】1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.【答案】(1)60°；(2)90°【分析】（1）作平行線，找到A1C1與B1C所成角，再進(jìn)行求解；（2）作輔助線，得到A1C1與EF所成的角，證明出垂直關(guān)系，得到所成角為90°.【詳解】（1）如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴ACA1C1，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.（2）如圖所示，連接BD.由（1）知ACA1C1，∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.∵EF是△ABD的中位線，∴EFBD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.2.在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【典例2】正方體ABCD中，B與平面AC所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)椤?，所以與平面所成角的余弦值等價(jià)于與平面所成角的余弦值．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，易知平面且設(shè)垂足為E，所以即為所求角．由已知可得DE=，從而，所以．故選D．【變式】1.已知正四棱柱中，，則CD與平面所成角的正弦值等于A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)，面積為2．在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】首先畫(huà)出長(zhǎng)方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)?，所以，從而求得，所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.【典例3】1．已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.2．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【變式】1.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，如圖1所示.在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點(diǎn)在平面內(nèi).［方法二］：如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，由長(zhǎng)方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，故點(diǎn)在平面內(nèi)．（2）在中，，即，所以．在中，，如圖6，設(shè)的中點(diǎn)分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．

在中，．所以，則．題型三：距離問(wèn)題【典例1】如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．【詳解】（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】定義法作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．［方法二］：等積法設(shè)C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，則，即，則．即點(diǎn)C到平面POM的距離為．［方法三］：向量法如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，點(diǎn)C到平面的距離為．【方法總結(jié)】求點(diǎn)面距方法：①定義法是解決點(diǎn)面距問(wèn)題的首選方法，特別是題目中含有面面垂直的條件，計(jì)算簡(jiǎn)單，是該題的最優(yōu)解；②等積法；③向量法：當(dāng)題目中有較好的建系條件時(shí)．【變式】1．已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為．【答案】.【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．2．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離.【答案】【分析】由等體積法運(yùn)算即可得解；【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；3．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底