五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編7-三角恒等變換(含解析)

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編7-三角恒等

變換（含解析）

一、單選題

1.（2022.北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（xXcosJ-si/x,則（）

A.f（x）在（-宗-。上單調(diào)遞減B.f（x）在（號(hào)總上單調(diào)遞增

C./（x）在（0,（）上單調(diào)遞減D.f（x）在（?,號(hào)）上單調(diào)遞增

2.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在A8C中，AC=3,fiC=4,ZC=90°.P為A3C所在

平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=l,則EVP8的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,51C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）若sin（a+/）+cos（a+/7）=2及cos（a+，sin萬(wàn)，則（）

A.tan（a-尸）=1B.tan（a+/7）=l

C.tan(?-/?)=-lD.tan(fZ+^)=-l

4.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)f（x）=cosx-cos2x是

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

C.奇函數(shù)，且最大值為9!D.偶函數(shù)，且最大值為總9

OO

5.（2021.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）cos2^-cos21^=（）

A.|B.更C.—D.

232

6.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知a,是互不相同的銳角，則在

sinacos/7,sin夕cosy,sin/cosa三個(gè)值中，大于g的個(gè)數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

(cosa

7.(2021?全國(guó)?高考真題)若ac0,彳，tan2a=丁一一,則tana=()

V272-sina

A.叵B.正C.正

D.

15533

8.（2021.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰

最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三

角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影

4,8',（7'滿足幺。夕=45°,ZA!B'C=60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15。,BB'與CC'

的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得4點(diǎn)的仰角為45。，則4,C兩點(diǎn)到水平面A'8'C'的高度差

AA'—CC'約為(6=1.732)()

D.473

9.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)〃x）=sin5+cosg的最小正周期和最大值分別是

()

A.3兀和&B.37t和2C.6兀和&D.6兀和2

10.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若tand=-2,則吧外匕把也=

()

sin6+cos。

62-1D.9

A.—B.—

555

11.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,

萬(wàn)

若"+從=c2+absinC,且asinB8sC+csinBoosA=——b,則tanA等于()

2

D.-3或!

A.3B.—C.3或-鼻

3

12.（2018?全國(guó)?高考真題）若sina=g,

則cos勿=

A8c7

A.—B.一C.--DY

9999

13.（2018?全國(guó).高考真題）函數(shù)〃x）=產(chǎn)二的最小正周期為

1+tarrx

710冗

A.-B.一C.nD.

42

14.（2018?全國(guó)?高考真題）己知函數(shù)/（犬）=285晨一5府》+2,則

A.7"）的最小正周期為;r,最大值為3

B.“X）的最小正周期為燈，最大值為4

C.的最小正周期為2兀,最大值為3

D.“X）的最小正周期為2兀，最大值為4

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

15.（2018?全國(guó)?高考真題）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,

終邊上有兩點(diǎn)4（1，a）,8（2,b）,且cos2a=：,則,一身=

A.1B.叵2后

Xr_z.---------------D.1

555

16.（2019?全國(guó)?高考真題）已知aw(0,—),2sin2a=cos2a+l,則sina=

2

A.\B.立

55

「A/3D.空

35

二、多選題

17.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為月,6，以C的實(shí)軸為直徑的圓

3

記為。，過(guò)大作D的切線與。交于M,N兩點(diǎn),且cos/^NK=],則C的離心率為（）

A.好B.-C.—D.叵

2222

18.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6（cos%sina）,（cos/?,-sin/?）,

￡(cos(a+/),sin(仁+/?)),A(l,0),則()

A.|。耳=|。耳B.|^|=|A^|

C.OAOPi=OPxOP2D.OAOP}=OP2OP3

三、填空題

19.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）若3sina-sin/?=>A5,a+夕，則sina=,

cos2p=.

20.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)/*）=sin（x+Q）+cosx的最大值為2,則常數(shù)8的

—個(gè)取值為.

21.（2018.全國(guó).高考真題）已知tan[a-"則tana=.

22.（2018?全國(guó)?高考真題）已知sina+cos/?=l,cosa+sin4=0,則

sin（a+/?）.

tana_2（、

23.（2019?江蘇?高考真題）已知皿」…叫一一§，則sin2a+；的值是____.

IdllCZn—14/

四、解答題

24.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知

a=瓜,b=2c,cosA=——.

4

⑴求c的值；

(2)求sin6的值；

(3)求sin(24-8)的值.

25.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在一ABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC；

(2)若匕=6,且ABC的面積為66,求ABC的周長(zhǎng).

26.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)記,ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,己知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明：2a2=/+/

27.(2021.天津.統(tǒng)考高考真題)在"C,角AB,C所對(duì)的邊分別為。，dc,已知

sinA:sin8:sinC=2:1:應(yīng)，b=亞.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-?J的值.

28.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+cosx(xeR).

(1)求函數(shù)y=[/(x+到的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(x)/卜-幻在0卷上的最大值.

29.(2020?浙江?統(tǒng)考高考真題)在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

且26sinA-Ga=0.

(I)求角B的大?。?/p>

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

30.(2018?北京?高考真題)在ABC中，a=l,h=S,cosB=--.

(1)求NA；

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(2)求AC邊上的高.

31.(2018.浙江?高考真題)已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,

34

它的終邊過(guò)點(diǎn)尸(一點(diǎn)一］)?

(I)求sin(a+兀)的值；

(II)若角夕滿足sin(a+￡)=-j^,求cos￡的值.

32.(2018?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=sin2x+6sinA8SX.

(I)求的最小正周期；

(ID若/(X)在區(qū)間-§,〃？上的最大值為:，求m的最小值.

33.(2018?江蘇?高考真題)已知a,夕為銳角，tana=g,cos(a+￡)=-乎.(1)求cos2a

的值；⑵求tan(a-￡)的值.

34.(2019?江蘇?高考真題)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

(1)若。=3c,b=6,cosB=|,求c的值；

，-、甘sinAcos8,?兀、

(2)若----=-----,求sin(8+-)的值.

a2b2

35.(2019?全國(guó)?高考真題)A3C的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,設(shè)

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若6a+b=2c，求sinC.

36.(2019?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)AABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知

A+C.

asin-----=bsinA.

2

(1)求8;

(2)若A43C為銳角三角形，且c=l,求A48C面積的取值范圍.

37.(2019?北京?高考真題)在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=-；.

(I)求6,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

38.(2019?天津?高考真題)在一ABC中，內(nèi)角48,C所對(duì)的邊分別為。力,c.已知

b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求COS3的值；

(II)求sin(2B+f］的值.

五、雙空題

39.(2022.北京.統(tǒng)考高考真題)若函數(shù)/(x)=4sinx-石cosx的一個(gè)零點(diǎn)為9，則

4=Ti

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】化簡(jiǎn)得出/(x)=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(x)=cos2x-sin2x=cos2x.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)《eV-'時(shí)，r<2x<g則f(x)在卜泉一上單調(diào)遞增，A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一￡<、<=時(shí)，-g<2x<g,則〃x)在(-。之上不單調(diào)，B錯(cuò)；

41226\41ZJ

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<(時(shí)，0<2x<^,則.f(x)在(0,?]上單調(diào)遞減，c對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，y<2x<^,則〃x)在(?,券)上不單調(diào)，D錯(cuò).

故選：C.

2.D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(cos?,sin0),表示出摩，PB，根據(jù)數(shù)量積的

坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0),A(3,0),3(0,4),

因?yàn)镻C=1,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

設(shè)P(cos?,sin0),0e[(),2/r],

答案第1頁(yè)，共32頁(yè)

所以％=(3—cosa—sing),PB=(—cos仇4—sing),

所以PA-=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin

=cos20-3cos0-4sin0+sin20

=l-3cos6-4sin。

=1—5sin(6+夕)，其中sin°=m，cos0=1,

因?yàn)橐籰〈sin(8+0)Wl,所以YW1—5sin(e+0)W6,即B4-P6?-4,6］；

故選：D

3.C

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】［方法一］:直接法

由已知得：sin6Zcos/?+cos。sin夕+cosacos-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/7,

即:sinacosp—cosasin+cosacosJ3+sinasin0=0,

即：sin(a-/?)+cos(a-/7)=0

所以tan(a_/7)=-l

故選：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:設(shè)P=0則sina+cosa=0,取a=g,排除A,B；

jr

再取a=0貝ijsinp+cosp=2sinp,取B=排除D；選C.

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+夕)+cos(a+/)=0sin(a+夕+工)=^2sin［(a+—)+/7］

44

=&sin(a+工)cos/&cos(cr+—)sinP=2夜cos(a+—)sinP

444

sin(a+—)cosB-cos(a+—)sinZ?=0B|Jsin(a+----4)=0

444

/.sin(a-/7+—)=sin(a-y9)cos—+cos(a-/?)sin—=—sin(a-y9)+—cos(cz->?)=0

答案第2頁(yè)，共32頁(yè)

sin(a-fi)=-cos(a->0)即tan(a-￡)=T,

故選：C.

4.D

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.

【詳解】由題意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù),

,(1V9

X/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2lcosx-—I+-,

I9

所以當(dāng)cosx=:時(shí)，/(x)取最大值一.

48

故選：D.

5.D

【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得COS?'-COS2*COS23-Sil?色，再由二倍角公式即可

得解.

(詳解】由題意，cos2--cos2—=cos2--cos2f---=cos2--sin2—

121212(212；1212

nG

=cos—=——.

62

故選：D.

6.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/+sin￡cosy+sinycosaW；,從而可判

斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于3,再結(jié)合特例可得三式中大于3的個(gè)數(shù)的最大值.

【詳解】法1：由基本不等式有sinccos萬(wàn)4,in，a;cos「￡,

工用-csin2^+cos27.sin2y+cos2?

|?J埋sinpcos/<-----------,sin/cosa<---￡—------,

3

故sinacos￡+sin￡cosy+sin/coscr<—,

故sinacossin[3cosy,sinycosc不可能均大于J.

取。=￡，fi=-,y=

634

答案第3頁(yè)，共32頁(yè)

則sinacos夕=；<；,sin0cosy=>g,sin7cosa=~~>~，

故三式中大于T的個(gè)數(shù)的最大值為2,

故選：c.

法2：不妨設(shè)a<,則cosa>cosp>cos/,sina<siny9<sin/,

由排列不等式可得:

sinacos/7+sin/3cos/+sinycostz<sin?cos/+sin4cos尸+sinycosa,

13

而sinacos/+sin/cos尸+sinycosa=sin(74-cr)+—sin2/?<—

故sinacos夕,sin力cos/,sinycosa不可能均大于

取。=￡,4=［，

634

則sinacos夕=；<；,sin0cosy=>g,sin7cosa=~~>~，

故三式中大于3的個(gè)數(shù)的最大值為2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問(wèn)題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪

進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.

7.A

【分析】由二倍角公式可得tan2a=電孕=學(xué)?竿，再結(jié)合已知可求得sina=，，利

cos2al-2sin-a4

用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

ccosa

【詳解】tan2a=-~；—

2—sina

八sin2a2sinacosacosa

/.tan2a=------=---------——=-------,

coslal-2sin-a2-sina

41八2sina15口.1

ocG0,—,「.cosawO,------5—=--------，解得sina=一,

I2Jl-2sin~a2-sincr4

r———V15sinaV15

cosa=vl-sina=---，tana=-----=----.

4cosa15

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出

答案第4頁(yè)，共32頁(yè)

sincr.

8.B

【分析】通過(guò)做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得

進(jìn)而得到答案.

過(guò)C作過(guò)B作8DJ.A4，,

故AA'—CC'=44'一(明一8")=A4'—陰+100=AD+100,

由題，易知4汨為等腰直角三角形，所以AD=Z)B.

所以A4'-CC'=Z)3+1(X)=A'8'+1(X).

100

因?yàn)?BCH=15。，所以CH=C'B'=

tan15°

在」A'8'C'中，由正弦定理得:

A'B'_CB'_100_100

sin45°-sin75O-tanl50cosl5°一sin15°

-Jh—y/2,

而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=

4

WO處也

所以=100(退+1)=273,

AB=A一后

所以A4'-CC'=48'+1(X)=373.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將A4'-CC的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為

A'B'+100.

答案第5頁(yè)，共32頁(yè)

9.C

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)/(x),結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和

最大值.

【詳解】由題，/(x)=sin^+cos^=^f^ysin^+^ycos^岳皿仁+斗所以f(x)的

JJI，J，J)\JIJ

里

最小正周期為r=了一=卬6，最大值為血—.

3

故選：C.

10.C

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母(Usi/O+cos2),

進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入tan，=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：

sin^(1+sin20)sin6*(sin26>+cos20+2sin0cos0)

=sind(sine+cos。)

sin0+cos0sin0+cos0

_sin(9(sin+cos_tan26>+tan0_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

故選：C.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用tan”-2,求出sin/cos。的值，可能還需要分象限討論

其正負(fù)，通過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論.

11.A

【分析】利用余弦定理求出tanC=2,并進(jìn)一步判斷C>￡,由正弦定理可得

4

sin(A+C)=4=>sinB=乎，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；

■、必癡八萬(wàn)/十從一sinC,萬(wàn)。

L詳解］cosC—--------------=-------=>tanC=2,..C>一,

2ab24

q=±=」=2R,

sinAsinBsinC

正

，sinAsinB-cosC+sinCsinBcosA=——sinB,

2

/.sin(A+C)=-=>sinB=，:.B=J,

224

tanB=1,

答案第6頁(yè)，共32頁(yè)

tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-=3,

1-tanB-tanC

故選：A.

12.B

【詳解】分析：由公式cos2a=1-2s加2?？傻媒Y(jié)果.

27

詳解：cos2a=1-2sin2a=1-^=—

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.C

【詳解】分析:將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)即可

sinx

詳解：由已知得f（戈）=-"皿）=————=sinxcosx=—sin2^|k7r+—,kGZ

'）\+tairx]?（—）2212

cosx

f（x）的最小正周期丁=與=兀

故選c.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和最小正周期公式，屬于中檔題

14.B

【分析】首先利用余弦的倍角公式，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，將解析式化簡(jiǎn)為

/（%）=|cos2x+1,之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項(xiàng).

1—V3S

【詳解】根據(jù)題意有/（力=8$2犬+1--^+2=全＜?2犬+],

7

所以函數(shù)/（X）的最小正周期為7=芍7r=7，

且最大值為小）皿3=5?4,故選B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式，并且通過(guò)余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)

的性質(zhì)，在解題的過(guò)程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡(jiǎn)結(jié)果.

15.B

2

【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到6=*，利用cos2a=；,利用倍角公式以及

余弦函數(shù)的定義式，求得力=g,從而得到同=手，再結(jié)合b=2a,從而得到

答案第7頁(yè)，共32頁(yè)

項(xiàng).

定選

而確

,從

。=

〃-2

W=|

=2%

得到方

從而

線，

三點(diǎn)共

。4B

】由

【詳解

,

=^

］-1

?(j1

l=2

os2a-

=2c

os2a

因?yàn)閏

石

時(shí)=

(,即

儲(chǔ)=

解得一

5

75

T

〃|=

_2

4=|a

I”_

所以

線的

點(diǎn)有共

的知識(shí)

涉及到

問(wèn)題，

差值的

坐標(biāo)的

點(diǎn)的縱

終邊上

角的

有關(guān)

的是

考查

】該題

【點(diǎn)睛

等量

相應(yīng)的

，得到

條件

中的

據(jù)題

式，根

定義

數(shù)的

弦函

式，余

角公

的倍

，余弦

關(guān)系

標(biāo)的

點(diǎn)的坐

.

結(jié)果

求得

從而

式，

關(guān)系

16.B

.

答案