山東建筑大學(xué)山東建筑大學(xué)線性代數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題資料及答案期末考試復(fù)習(xí)題資料及答案

《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

一、單選題

A、D

B、2D

C、-2D

D、-3D

2、設(shè)A,8都是〃階方陣，且滿足關(guān)系式（A+3）（A-5）=人2-,

則（C）。超越高度整理

A、AB=O

B、BA=O

C、AB=BA

D、AB=-BA

3、設(shè)A是〃（心3）階方陣，且R（A）=〃-2,A*是A的伴隨矩陣,

則必有⑻。

A、A*wO

B、R（A*）=O

C>A*=|A『T

D、R（A*）W2

4、已知A是4階方陣，A的行列式|A|=0,那么A中（C）。

A、必有一列元素全為零

B、必有兩列元素對應(yīng)成比例

C、必有一個(gè)列向量是其余3個(gè)列向量的線性組合

D、任意一個(gè)列向量都是其余的列向量的線性組合

5、設(shè)4,4是〃階方陣A的兩個(gè)特征值，且4PM分別是

方陣A對應(yīng)于4,4的特征向量，要使KPI+&P?是A的特征向量,

則(D)o

A、k}=k2=0

B、々產(chǎn)0,公w0

C、匕?公=o

D、k產(chǎn)0,k2=0

Q]]〃]2O]3。32%“33

a

6、設(shè)。=%22“23，Q=2a22-44322tZ21-4tZ-312a23—4。33,則。=(B)。

%1a32%3a\2a\\ai3

A、D

B、2D

C、-2D

D、-3D

7、設(shè)A是〃階方陣，則下列命題正確的是(D)。

A>若A2=O,則A=。

2

B、若A=A9則A=O或A=E

C、AX=AY9且AwO,則X=y

D、AX=AY9且國工0,則X=Y

8、設(shè)A=m<n9且R(A)=r,那么(C)o

r<m

B、A的所有〃階子式都不為零

C、A中至少有一個(gè)r階子式不為零

D、A的標(biāo)準(zhǔn)形為仔、

9、設(shè)A是〃階方陣，且R（A）=r<〃，那么在A的〃個(gè)列向量中

（A）o

A、必有r個(gè)列向量線性無關(guān)

B、任意r個(gè)列向量線性無關(guān)

C、任意廠個(gè)列向量都是A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組

D、任意一個(gè)列向量都可以由其它「個(gè)列向量線性表示

10、設(shè)“階方陣A與B相似，則（C）o

A、存在對角矩陣/,使得A與3都與/相似

B、存在正交矩陣P,使得P『AP=5

c、|A|=IM

D、A-AE=B-AE

5a,{+2CL

11、設(shè)仃列式D—a2\。23=39D\—a2x5a1}+2a22a23,則D\

“32a33

的值為（C）。

A、-15

B、-6

C、6

D、15

「210、

12、設(shè)矩陣4=120,矩陣8滿足AK4*=28A*+E,其中A*為

、。0b

A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則因=(A)o

A、,

9

B、」

9

C.-

3

D、」

3

13、設(shè)A,3是〃(〃之2)階方陣，則必有(C)O

A、|4+回=同+固

B、\AB\=\BA\

C、剛=|麻|

D、|A-^=|B-^

14、已知A是4階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若A*的特征值是

L-1,2,4,則不可逆的矩陣是(A)o

A、A-E

B、2A-E

C、A+2E

D、A-4E

15、設(shè)機(jī)＜〃，矩陣4*“行向量組線性無關(guān)，)為非零向量，則

(D)o

A、有唯一解

B、Ax=〃無解

C、心=0僅有零解

D、Ax=0有無窮多解

a\\a\2〃I34。][-3。[2。]3

16、若￡>=a=1,D=

2\a22。23x4。2]2。)]—3。22&23,則2=(B)o

a3\a320334%]2%]_3a32。33

A、8

B、-12

C、24

D、-24

‘123、

17、已知A=23-5,則矩陣A的秩R（A）為（B）。

J71,

A、1

B、2

C、3

D、4

18、設(shè)〃階方陣A滿足A2=O,則必有（B）。

A、A+E不可逆

B、A-E可逆

C、4可逆

DA=O

19、設(shè)A,3是同階正交矩陣，則下列命題箱送的是(D)。

A、一也是正交矩陣

B、A*也是正交矩陣

C、也是正交矩陣

D、A+5也是正交矩陣

20、設(shè)4自是非齊次線性方程組公”的兩個(gè)解，則下列向量

中仍為方程組解的是(D)。

A、Bi+

B、--4

C氏+262

、T~

D31+2A

、5

21、設(shè)四階矩陣4=|?,%，73，知，B=[j3,y2,/3,y4],其中a,尸,外，%，為均

為4維列向量，且已知行列式同=4,忸|=1,則|A+B|=(D)o

A、5

B、4

C、64

D、40

22、設(shè)A,3為〃階方陣，貝|J(A+B)2=A2+2AB+32的充分必要條件

是(C)o

A、A=E

B、A=O或B=O

C、AB=BA

D、A=B

23、設(shè)A是〃階方陣，其A的秩R（A）=〃-3,且.e，%是Ar=O的

三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則為1=0的基礎(chǔ)解系為（A）。

A、a{+a2,a2+a3,a3+a{

B、a2-al,ai-a2,al-a3

C、2%-。2，囚-的

D、,+a?+cx,y,%—a,,―/—2a3

24、設(shè)A是〃階方陣，4區(qū)是A的特征值，《4是A的分別對

應(yīng)于4,4的特征向量，則（D）。

A、丸1=4時(shí),加是一定線性相關(guān)

B、4=4時(shí)，一定線性無關(guān)

C、4班時(shí),全是一定線性相關(guān)

D、4認(rèn)時(shí),配，一定線性無關(guān)

25、設(shè)8是5階方陣,行列式年0,那么6中（B）o

A、必有一列元素全為零

B、必有一個(gè)列向量是其余4列向量的線性組合

C、必有兩列元素對應(yīng)成比例

D、任意一個(gè)列向量是其余列向量的線性組合

二、填空題

3x+Ay+z=0

1、如果4y+z=0有非零解，貝心=(1或3)。

kx-5y-z=0

2、設(shè)A為3階方陣，A*是A的伴隨矩陣，且小"0,則卜*

5、方陣A可逆，X是A的一個(gè)特征值，則可以求得A-JA2的

一個(gè)特征值為（工+儲(chǔ)）。

2

kx+z=0

6、如果v2x+Zy+z=0有惟一零解，則Z的應(yīng)滿足條件（k手2）o

京-2y+z=0

7、設(shè)A為3階方陣，A*是A的伴隨矩陣，且■="（）,則

"12”13‘010、'100、

84=100010

、設(shè)。21。22。23，4=，P[=

。32。33）<00bJ0b

a

，〃已+/\\《3

貝(a22+a23a2}a23)。

1。32+。33。31。33^

9、已知向量組四線性無關(guān)，向量組

=at+aa2-ba2,=a3,Q3=a2+c%,則夕［，昆應(yīng)線性（無關(guān)）。

10、方陣A可逆，4是A的一個(gè)特征值，且|A|=1,則A的伴隨

矩陣A*的一個(gè)特征值為（r1）o

5設(shè)矩陣儀普，H：%則皿（”

00

'300、3

]_

12、已知4=040,則A(00)

4

<005)

00

15>

13、已知向量組%=1,%的秩為2,則7=(-2)。

[2,

21]、

3正V18

-4

14、設(shè)矩陣A=ab為正交矩陣,則以(0)o

V18

2-11

、3正718,

15、若實(shí)二次型/(X],*2,*3)=X：+4*；+X；+2氏*2正定，則力的取

值范圍是(-2<Z<2)0

16、若ct1,a,線性無關(guān)，而%s，(X3線性相關(guān),則向量組a1,2(X2,3(X3

的一個(gè)最大線性無關(guān)組為(a「2a2)。

1(Xx\

17、設(shè)齊次線性方程組;\口的解空間的維數(shù)是2,

1X2

Ja)u>

則a=(Do

18、設(shè)A=(%,%,a?)為正交陣,則2a」%-3a2%3=(2)。

19、設(shè)向量%=(L2,1)7'和%=(1,1,2)，都是方陣A的屬于特征值

4=2的特征向量,又向量￡=%+2%,求A%=((12,16,20)，)。

20、若方陣A與對角矩陣。=1相似，則屋二(E)。

2x1

21、/(x)=-x-XX中，1的系數(shù)是(-2)。

12x

22、設(shè)A為3階方陣，且同=2,則|3AT-2A*卜(-；)。

23、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列13472

65的逆序數(shù)(6)o

24、設(shè)4為〃階方陣，”23,且&4)=〃_2,則R(A*)=(O)。

25、若四階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為:則

行列式甲-q=(24)o

三、計(jì)算題

4124

1202

1、計(jì)算行列式o【問答題】

10520

0117

【答案】

41244-10-10

4-1-10

12021202

122

105201030-14

103-14

01I70117

<：2一2<14-9-18

1000

10-17-34

【答案】

111

2、計(jì)算行列式;234?！締柎痤}】

3610

141020

【答案】

111111

I23123

136136

123

=136

1410

5」12匕3°

有013=1

014

【答案】

玉+3x2L

王%+3L

3、計(jì)算〃階行列式o【問答題】

MM

王x2L

【答案】

3+Z〃

/=I

3+Z〃

2

M

1x2LX,

03Lx

=(x.+L兌+3)n

MMM

00L3

=3'T這%+3)

i=l

【答案】

1234

2341

4、計(jì)算行列式D=?！締柎痤}】

342

4123

【答案】

12341234

23411341

D==10

34121412

41231123

234

11-3

01I-3

=10=101-31

01-31

-311

0-311

11-3

-8

1040-8=160

4

-404

【答案】

-11a-1

1-1a+1-1

5、計(jì)算行列式?！締柎痤}】

a-11-1

。+1-11-1

【答案】

1-11a—110

1-1a+1a

1a-11-10

a+1-11-1a0

00a

按C1展訊-4)-1a-1

00

【答案】

四、解答題

,1）（1-11、

1、設(shè)4-45=-城,其中x=-1,5=-11-1,求A.o

[IT

、”L

【問答題】

【答案】

A（E-B）=-xr7

0-11

由于忸—用=一10-1=2工0,所以E—5可逆

1-10

A=-xxr（E-B）~'

111、

-2~22

111

~2~2~2

2~2~2,

[j.1_r

，[_]]、222

A,=1-,1,1—,1=11—1

2I1-1U212121

「552?

【答案】

2、設(shè)

'-100、

A=1-10

、11-I

求矩陣X,滿足矩陣方程A（X-E）+2X=O。【問答題】

【答案】

由A（X-E）+2X=O,得

(A+2E)X=A

100

由于|A+2E|=110=1*0,所以A+2E可逆

111

X=A(A+2E『

’100、

(4+2與”=-110

I0-ib

'-100、

2-10

、02-1,

【答案】

3、設(shè)A,B均為〃階方陣，滿足=說明：

R(E+AB)+R(E-AB)^no【問答題】

【答案】

(E+ABXE-AB)=E-ABAB=O

：.R(E+AB)+R(E-AB)<n

Xv(E+AB)+(E-AB)=2E

R(E+AB)4-R(E—AB)之n

?..R(E+AB)+R(E-AB)=n

【答案】

’1or

4、設(shè)A和5都是3階方陣A3+E=A2+8,若A=o20,求5。

J0

【問答題】

【答案】

由AB+E=A2+B^

AB-B^A2-E,(A-E)B=(A-E\A+E)

001

Q|A-E|=010=—Iwo-E可逆

100

5=(A-EL(A-E[A+E)

‘201、

=4+E=030

J02,

【答案】

5、設(shè)矩陣

14000、

1300010230、

A=00110B=20120求AL及U。

00350J100

00008,

【問答題】

【答案】

由分塊法可求得

4oOo

-13

O0o

o-O151

--o

A22

=o31

o-o

22

O1

OOO

8-

12o

73

o

52-

AT

11?-31

O

22

01

O-

87

6、已知”階矩陣滿足關(guān)系式2A(A-E)=@,證明：E—A可逆,

并求(E-A)L【問答題】

【答案】

由2A(A—E)=/P得：A3-2A2+2A=O

改寫為A3—2A2+2A-E=-E

KP(E-A/A2-A+E)=E,則E—A可逆

且(E-A)T=A2-A+E

【答案】

7、設(shè)〃階矩陣A和B滿足條件：A+B=AB.

⑴證明：A-E是可逆矩陣，其中E是〃階單位.

’1-30、

(2)已知矩陣8=210,求矩陣A?！締柎痤}】

、002,

【答案】

(1)由等式A+B=AB,得A+B—AB+E=E,即

(A-E)(B-E)=E

因此矩陣A-E可逆，而且(A-E)T=B-E.

⑵由⑴知,A-E=(B-E)-1,即A=(B-E)T+E

A=（B-E）*'+E或A=B（B-后尸

00

’0-30Y'100、2q00、

200+010,100+010

3

0001,001,00

/

/_1_

10

2

I

10

002

7

【答案】

1-1

8、已知A=011,且A2—AB=E,其中E是3階單位矩陣,

00-1J

求矩陣B?！締柎痤}】

【答案】

由A2-AB=￡,得A（A-B）=E,而且

11-1

陽=011=—1*0

00-1

'1-1-2、

因此矩陣A可逆，且A」=011

,00

所以，由A（A-B）=,得A-B=A

11-P-102n

因此，B=A-A10110100o【答案】

00f、0000

'5200、

9、求方陣A=2100的逆矩陣。【問答題】

0083

052,

【答案】

..52..83

⑷=21川闋=52j

-2>

2-3>

4T=4*=

-5

‘1-200

-2500

L=

002-3

、00-58

【答案】

’400、,36、

10、解矩陣方程AX^2X+B,其中A=01-1B=11

、014,2一3)

【問答題】

【答案】

'200、

因?yàn)锳-2E=0-1-1

、。12,

(1

-00

2

求得其逆矩陣為(A-2￡1=0-2-1

011

7

于是所求的矩陣X=（A-2/）T8=-41

3-2

\7

【答案】

五、問答題

1、設(shè)有線性方程組

（2—4）芭+24—2x、—1

<2百+（5—%2—4七=2

-2%1-4%2+（5—4）毛二一義一］

問4取何值時(shí)，線性方程組有惟一解？無解？無窮多個(gè)解?

當(dāng)有無窮解時(shí)，求出方程組的通解。【問答題】

【答案】

2—42-2

系數(shù)行列式25-2-4=-(2-1)2(/1-10),

-2-45-2

(1)當(dāng);IH1且;IW10時(shí),由于方程組有惟一解;

（2）當(dāng)2=10時(shí)，由于

'-82-2r'2-5-42、

增廣矩陣5=2-5-420111

、—2-4-5、00023,

R（A）wR（8）,所以方程組無解。

（3）當(dāng);1=1時(shí)，由于

'-12-21、"1-22-1、

B=24-420000

、—2-44-2)、0000,

R(A)=H(5)=1<3

對應(yīng)的方程為玉-2々+2W=-1,方程的通解為

X]—2c)—2c2—1

<X2=Cx(Cj,c2GR).

X3=C2

【答案】

3、設(shè)有線性方程組

(2+3)%]+x2+2x3=2

<Ax,+(/l-l)x2+x3=A

3(2+1)%1+AX2+(4+3)犬3=3

問4取何值時(shí)，線性方程組有惟一解？無解？無窮多個(gè)解?

當(dāng)有無窮解時(shí)，求出方程組的通解?！締柎痤}】

【答案】

2+312

系數(shù)行列式22-11=22(/1-1),

3(4+1)A2+3

(1)當(dāng)/LHO且/Iwl時(shí)，由于方程組有惟一解；

(2)當(dāng)/1=0時(shí)，由于

’3120)“3120、

增廣矩陣5=0-1100-110

、3033；(0003,

R(A)wR(6),所以方程組無解。

(3)當(dāng)4=1時(shí)，由于

'4121、‘1011、

101101-2-3

、6143,、0000,

R(A)=K(b)=2<3

對應(yīng)的方程為仁;方程的通解為

X)=1-c

x2=2q—3(ce/?).

【答案】

4、已知向量組

o

-i

(1)討論該向量組的線性相關(guān)性，并求向量組的秩；

(2)求出向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并用最大無關(guān)組表示

其它向量?！締柎痤}】

【答案】

(1)由于向量組中的向量是3維的，即

所以向量組一定線性相關(guān)

4=(',%烏，。4)=040

-130

向量組的秩為/?(4)=a2,a3,a4)=2,

(2)所以知見就是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組

對矩陣5繼續(xù)施行初等行變換，得

01110

00000

貝?。輆,=a,+2a2,a4=a,+a2.

【答案】

5、設(shè)6=(—1,1,4)。%=(―2,1,5),,%=(a,2,10)',P=(1,0,爐，試問：當(dāng)a,b

滿足什么條件時(shí),

(1)/可由%,a2,火線性表示，且表示惟一；

(2)￡不能由a”%,%線性表不;

(3)/可由4,陽,a3線性表示，但表示不惟一，寫出/可由

斯%,出線性表示的一般表達(dá)式?！締柎痤}】

【答案】

-2aHp120、

(外,％,白3，夕)=1120->0-12+a1

,4510b)〔00a+4)+1,

(1)awT且分取任意值時(shí)，??(即％。3)=RQL.,⑶方程組有

力可由%,a2a3線性表示，且表示惟一;

(2)當(dāng)a=T且Aw-l時(shí)，/?(?,,a2,a3)=2</?(a1,a2,a3,^)=3,夕不

能由6，%，火線性表不;

(3)當(dāng)當(dāng)a=T且)=-1時(shí)，設(shè)尸=*必+x2a2+x3a3

"-1-2-41]poo1、

(四,4,4，夕)=1120-?012-1

、4510-\)10000J

p]

解得X2k-2+-1,k&R

J，、0>

p=ai+(-2k-l)a2+ka3,kwR

【答案】

7,r

6、設(shè)q=(1,1,1-l),a2=(1,3-1,if,a3=(l-l,*,l),a4=(1,1,1,3),，對參數(shù)人

取不同值時(shí)，求出向量組的秩，并求出一個(gè)相應(yīng)的最大無關(guān)

組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量，用最大無關(guān)組表示?！締?/p>

答題】

【答案】

’111r'1111、

13-1101-10

（明也,。,“）T

i-iA：i0011

、—1113,、0003—A,

(1)IL3時(shí),a2,a3,a4)=4,就是一個(gè)最大

無關(guān)組

(2)當(dāng))=3時(shí),R(at,a2,a3,a4)=3,a1,a2,a3是向量組的一個(gè)

最大無關(guān)組

’111rq00-P

13-110101

(四,4,%,。4)=->

1-1310011

「1113)、o000,

所以CZ4=一4+%+?3

【答案】

7、已知三維向量空間相的兩個(gè)基為

I]’1、rn仔、

0=0看2=-14=-1及〃=1,%=1，小

~2>、0>

求由基34看3到基7,%,小過渡矩陣P?！締柎痤}】

【答案】

設(shè)4=（以《43），3=（7，%,%），則3="。

由于A可逆,則P=A'B

?111123、100234、

(A,5)=0-1-11110100-10

、0-20020,001-1o7

’234、

:.P=0-10

「10-I

【答案】

8、設(shè)向量組：

名=(2,3,1,-2)，;%=(IT,4,0)T;%=(3,_3,12,0)T；%=(5,10,-1,-6)r,求該向量

組的秩網(wǎng)即見..),并求出該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并

把不屬于最大無關(guān)組的向量用該最大無關(guān)組來線性表示。

【問答題】

:.RQI，%，%，%)=2

???/，生即為該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組

’1003、

,、013-1

(a,,a,a,,a.)—

122370000

、0000,

所以%=2a2，%=3%-a2

【答案】

x}4-3X24-2X3

9、ag取何值時(shí)，線性方程組區(qū)+4%+3w=2,（1）有惟一解;

2x]+ax2+=b

（2）無解；（3）有無窮多個(gè)解？并在有無窮多個(gè)解時(shí)求其通

解?！締柎痤}】

【答案】

2a3bJ1005-a4-a+h

（1）當(dāng)”工5且〃取任意值時(shí)，R（A）=R（A,4）=3,方程組有惟

一解；

（2）當(dāng)a=5且小1時(shí),R（A）=2#R（A/）=3,方程組無解

（3）當(dāng)。=5且g1時(shí)，R（A）=R（A/）=2,方程組有無窮多解

這時(shí)，B=（A明）

得同解方程組［陽一石=一2，。所以，方程的通解為

x2+x3=1,

即x,=c-1+1,（ce7?）

【答案】

10、在3維線性空間甯中給出兩組基

芻=Qo,O）r；&=（0,l,0）r；4=（1,0,爐及7=（2,0,-1巴小=（1,2,-2巴/=（2U），

（1）求由基久乙,或到基7,%,%過渡矩陣P

（2）若向量a在基％〃2,%下坐標(biāo)為（2,2,-2）7,求Q在基&看2,&下

的坐標(biāo)?！締柎痤}】

【答案】

(1)設(shè)4=(44/3),5=(〃,%,%),則B^APo

由于A可逆,則P=A'B

01212、0033n

八一「;

(A,b)=010021■>010021

01-1-2I、001-1-2I

33、

所以021

-1-2

(2)由坐標(biāo)變換公式得a在基人3后下的坐標(biāo)為

‘花、2、331、210、

%202I22

X-2-1-21-2-8

<37777

【答案】

11、設(shè)3維向量

q+儲(chǔ)'1]1、「0、

1+丸1

1+A

1Akx7

問：當(dāng)力取何值時(shí)

(1)夕可由即a?,%線性表示，且表示惟一？

(2)夕可由%，a1,%線性表示，但表示不惟一？【問答題】

【答案】

設(shè)存在使得勺/+&2a2+k3。3=/，即

(1++左2+左3=0

<￡+(1+丸)友2+及臺(tái)—丸

k[+k2+(1+—下

1+Z11

其系數(shù)行列式11+21=丸2(4+3)

111+/1

(1)當(dāng)/iwO且；1彳-3時(shí)，方程組有惟一解，即夕可由囚,a2,a3線

性表示，且表示惟一。

(2)當(dāng)幾=0時(shí)，方程組是齊次線性方程組，由于系數(shù)行列式

等于零，.可由%,%,線性表示,但表示不惟一。

【答案】

12、設(shè)a是非齊次線性方程組的解，a4L4,是其對應(yīng)

的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。說明a,4氏L，網(wǎng)線性無關(guān)。

【問答題】

【答案】

法一：

設(shè)存在44,演L,2.使得/ta+M+4A+L4月=0,貝I」

A(4a+44++L4力)=彳Aa+4A分]+4A四+L4、A&=0

由題設(shè)可得Aa=b,A/3i=0(/=1,2,L,5),

即勸=0,由于)力0,貝|]4=。，即44+%2+L4月=0。

由于用應(yīng),L,女是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，必線性無關(guān)

貝14=4=L=4=4=0,因此a,4,&L,月線性無關(guān)。

法二：反證法

假設(shè)a,自應(yīng),L,女線性相關(guān)，由于凡4L,立是齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系，必線性無關(guān)，則?？捎捎醚?L,鳳線性表示。

則存在一組數(shù)4，4，L，4,使得&=4自+4⑸+L3

兩邊同左乘矩陣A,得：4。=444+為4色+14/以

由題設(shè)Aa=b,A4=0(i=l,2,L,s),

得。=0,矛盾。因此a,綜&L血線性無關(guān)。

【答案】

六、解答題

1、設(shè)方陣

‘-211、

A=021

、-413,

(1)方陣A是否可以對角化？

(2)如果A可以對角化，求可逆矩陣P,將A化為對角矩

陣/。

(3)求口。|?！締柎痤}】

【答案】

(1)4的特征多項(xiàng)式

-2-Z11

\A-AE\=05-20=-(/1+1)(2-2)2

-413-2

得特征值：4=-1,4=4=2

當(dāng)4=-1,解方程組(A+E)x=0

‘-111、"-101、得特征向量Pl=pj

由A+E=030010

、-414,、00°>

當(dāng)4=4=2,解方程組(A-2E)x=0

'-411、'-411、

由A-2E=000000,

<-41L、000,

'o)

得特征向量P?=1,P3

由于方陣A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量P”P2，P3,所以，可以

對角化。

(2)取

‘101、

P=(P］，P2，P3)=010

(1—14

'-100、

則有P'AP=020=/

(3)由于屋=PyfpT，則

-10o10

|AIO|=|P||ZIO||P-'|=020=410

002

【答案】

2、判斷二次型

/(%,W,&)=2%；++5石+-4xix3-8x2x3

的正定性。【問答題】

【答案】

’22-2、

二次型的矩陣為A=25-4

、一2-45，

|2|=2>0,

22

=6>0,

25

22-2

25-4=5>0

-2-45

所以該二次型正定

注：方法不唯一，特征值法、配方法等判斷二次型的正定性，都可以。

【答案】

3、設(shè)方陣

’460、

A=-3-50

、-3-61,

(1)方陣A是否可以對角化？為什么？

(2)如果A可以對角化，求可逆矩陣P,將A對角矩陣

(3)求忖―3同?！締柎痤}】

【答案】

(1)A的特征多項(xiàng)式

4-260

\A-AE\=-3-5-20=-(2-1)2(/1+2)

-3-6-21-2

得特征值：4=%=1，4=-2

當(dāng)4=4=1,解方程組(A-E)x=0

‘360、‘120、

由4-E=-3-60000,求得特征向量

、—3-6O,、000,

當(dāng)々=-2,解方程組（A+2E）x=0

660),(10p

由A+2E=-3-30o1-1,得特征向量

、—3-63,、°0

r-r

P3=i

、I

由于方陣A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量P1，P2，P3,所

以，可以對角化。

(2)取

20-A

P=(P]，P2，P3)="I01

01I

00、

則j有PAP=010A

、00-2>

(3)由于A=A2=PAP',貝!]4—3E=p/2pT—3E,故

|A2-3E|=|p(/l2-3E)p-||=|P||712-3E||p-,|=4

【答案】

4、判定二次型

/(%,工2，工3)=-5%：-6xf-4片+4%%2+%退

的正定性?！締柎痤}】

【答案】

’-522、

二次型的矩陣為A=2-60

、20-4,

|-5|=-5<0,

-522

-52

=26>0,2-60=-80<0

2-6

20-4

所以該二次型負(fù)定

注：方法不唯一，特征值法、配方法等判斷二次型的正定性,

都可以。

【答案】

5、設(shè)有二次型

2

/(X1,X2,X3)=5XI+5xf+3x；-2x^2+6xix3-6x2x3

(1)寫出二次型的矩陣；

(2)求一正交變換，將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。【問答題】

【答案】

(1)二次型的矩陣為4=-15-3

、3