變換群置換群與循環(huán)群

一、變換群變換:非空集合S到S的一個(gè)映射,當(dāng)映射是一一對(duì)應(yīng)時(shí),稱(chēng)為一一變換。SS表示S到S的所有映射全體組成的集合,SS={f|f:S

S}，[SS;

]是半群。是擬群。不是群T(S)表示S上所有一一變換組成的集合。T(S)={f|f

SS,且f為一一對(duì)應(yīng)}[T(S);

]是群定義14.5:設(shè)G

T(S),當(dāng)[G;

]為群時(shí),就稱(chēng)該群為變換群,其中

為一一變換的合成(復(fù)合)運(yùn)算,并稱(chēng)為變換的乘法。定理14.9:[T(S);

]是一個(gè)變換群。變換群不一定是交換群二、置換群定義14.6:設(shè)S

,|S|<+

,S上的一個(gè)一一變換稱(chēng)為置換。S上的某些置換關(guān)于乘法運(yùn)算構(gòu)成群時(shí),就稱(chēng)為置換群。若|S|=n,設(shè)S={1,2,

,n},其置換全體組成的集合表示為Sn;[Sn;

]是一個(gè)置換群,n次對(duì)稱(chēng)群。S上的置換

Sn,習(xí)慣上寫(xiě)成這里

(i)即為i在函數(shù)

下的象，這里1,2,

,n次序無(wú)關(guān)，即n次對(duì)稱(chēng)群Sn是有限群,問(wèn)|Sn|=?S上的一一變換個(gè)數(shù)有多少?S上的一一變換個(gè)數(shù)是n!,即|Sn|=n!。下面以三次對(duì)稱(chēng)群S3為例，考察群運(yùn)算。定義14.7:設(shè)|S|=n,

Sn,形如:其中2≤d≤n。這種形式的置換叫做循環(huán)置換,稱(chēng)其循環(huán)長(zhǎng)度為d。上述

可寫(xiě)為

=(i1,…,id)，其中在變換

下的象是自身的元素就不再寫(xiě)出。特別,當(dāng)d=2時(shí)稱(chēng)為對(duì)換。定理14.10:Sn中的任一個(gè)置換均可分解為不含公共元的若干個(gè)循環(huán)置換的乘積。證明:對(duì)n作歸納n=1,成立假設(shè)對(duì)n>1，|S|n-1,結(jié)論成立當(dāng)|S|=n,任取Sn中的置換

由元素1出發(fā)取上的循環(huán)置換推論14.1:任意一個(gè)置換可以分解為若干個(gè)對(duì)換的乘積。說(shuō)明分解不唯一定理14.11：任意一個(gè)置換可分解成對(duì)換的乘積,這種分解是不唯一的,但是這些對(duì)換的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)還是偶數(shù)個(gè)卻完全由置換本身確定。對(duì)一個(gè)置換，它可能有不同的對(duì)換乘積，但它們的對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性則是一致的。定義14.8：一個(gè)置換的對(duì)換分解式中,對(duì)換因子的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)稱(chēng)該置換為偶置換,否則,稱(chēng)它為奇置換。長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換(i1i2

…ik)=(i1i2)(i2i3)…(ik-2ik-1)(ik-1

ik)

共k-1個(gè)對(duì)換所以當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，該循環(huán)為偶置換當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，該循環(huán)為奇置換推論14.2：一個(gè)長(zhǎng)度為k的循環(huán)置換,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),它是一個(gè)偶置換;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),它是一個(gè)奇置換。推論14.3：每個(gè)偶置換均可分解為若干個(gè)長(zhǎng)度為3的循環(huán)置換的乘積,循環(huán)置換中可以含有公共元。證明:對(duì)任兩個(gè)對(duì)換:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)推論14.4：Sn中的奇、偶置換在置換的乘法運(yùn)算下,其奇偶性由下表給出:

偶置換奇置換 偶置換偶置換奇置換奇置換奇置換偶置換

恒等置換看作為偶置換Sn=On∪AnOn∩An=偶置換與偶置換的乘積仍是偶置換，

是An上的運(yùn)算[An;

]是代數(shù)系統(tǒng)。1.封閉性2.結(jié)合律當(dāng)然成立3.恒等置換e

An4.對(duì)于

An,在Sn中有逆元-1,

-1也是偶置換推論14.5：對(duì)稱(chēng)群Sn中所有偶置換組成的集合,記為An,關(guān)于置換的乘法構(gòu)成群。定義14.9：稱(chēng)上述[An;

]為n次交待群。由于An中每個(gè)元素都是置換,因此根據(jù)置換群的定義可知[An;

]

也是置換群.|An|=?若n=1，Sn只有一個(gè)置換——恒等置換，它也是An的元素，|An|=1。若n>1,|An|=|On|=例：G={g1,g2,

gn},[G;

]是群,對(duì)任意g

G,定義映射

g:G

G,使得對(duì)任意x

G,有

g(x)=g

x。設(shè)

={

g|g

G},則[

;

]是置換群。這里是關(guān)于映射的復(fù)合運(yùn)算.證明:(0)

是上的運(yùn)算(1)

是滿足結(jié)合律的.(2)存在單位元(3)對(duì)任意

g

,存在逆元(4)g是G上的置換三、循環(huán)群1.元素的階定義14.10:設(shè)G為群,e是G的單位元，對(duì)于a

G,如果存在最