2023年遼寧省盤(pán)錦市中考數(shù)學(xué)真題試卷(解析版)

2023年遼寧省盤(pán)錦市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)絕對(duì)值和倒數(shù)的定義，可得答案．的倒數(shù)是．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值和倒數(shù)．掌握絕對(duì)值和倒數(shù)的定義，明確分子分母交換位置是求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．2.下圖中的幾何體由五個(gè)完全相同的小正方體組成，它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)俯視圖是從幾何體的上面看到的圖形解答即可.解：幾何體的俯視圖是：；故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查了幾何體的三視圖，熟知俯視圖是從幾何體的上面看到的圖形是解題的關(guān)鍵.3.2022年盤(pán)錦市被評(píng)為“中國(guó)河蟹第一市”，河蟹總產(chǎn)量約為79000t，數(shù)79000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值，在確定n的值時(shí)，看該數(shù)是大于或等于1還是小于1，當(dāng)該數(shù)大于或等于1時(shí)，n為它的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)該數(shù)小于1時(shí)，為它第一個(gè)有效數(shù)字前0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的1個(gè)0）．解：，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟記概念是關(guān)鍵．4.下列事件中，是必然事件的是（）A.任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是 B.任意買一張電影票，座位號(hào)是單號(hào)C.擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3 D.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心【答案】A【解析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．解：A.任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是，是必然事件，故該選項(xiàng)正確；B.任意買一張電影票，座位號(hào)可能是單號(hào)，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)可能是3也可能是1.2.中的任一個(gè)數(shù)，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；【點(diǎn)撥】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，熟記概念是關(guān)鍵．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則分別計(jì)算，即可得出答案．解：A.與不是同類項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B.，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C.，故該選項(xiàng)計(jì)算正確；D.，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方等，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6.為了解全市中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取某校50名學(xué)生的視力情況作為其中一個(gè)樣本，整理樣本數(shù)據(jù)如圖，則這50名學(xué)生視力情況的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.4.8，4.8 B.13，13 C.4.7，13 D.13，4.8【答案】A【解析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解．解：由圖可知，視力為4.8的學(xué)生人數(shù)最多，因此眾數(shù)是4.8，將50名學(xué)生視力情況按從小到大順序排列，第25和26位都是4.8，因此中位數(shù)是4.8，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)，正確從條形統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．7.下列命題正確的是（）A.方差越小則數(shù)據(jù)波動(dòng)越大 B.等邊三角形是中心對(duì)稱圖形C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D.正多邊形的外角和為【答案】D【解析】根據(jù)方差的意義，中心對(duì)稱圖形的定義，矩形的性質(zhì)，正多邊形的外角和定理逐項(xiàng)判斷即可．解：方差越小則數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；正多邊形的外角和為，故D選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查方差，中心對(duì)稱圖形，矩形，正多邊形的外角和等，熟練掌握相關(guān)定義或性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，直線，將一個(gè)含角的直角三角尺按圖中方式放置，點(diǎn)E在上，邊、分別交于點(diǎn)H、K，若，則等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得，問(wèn)題隨之得解．∵，，∴，∵，，，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和為，掌握四邊形內(nèi)角和為是解答本題的關(guān)鍵．9.如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，則，點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為．解：四邊形是矩形，，，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，，則，當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B.C在x軸的正半軸上，，．點(diǎn)M在菱形的邊和上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)M作軸，與菱形的另一邊交于點(diǎn)N，連接，，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分M的橫坐標(biāo)x在0~1，1~2，2~3之間三個(gè)階段，用含x的代數(shù)式表示出的底和高，進(jìn)而求出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷圖象即可．解：菱形的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B.C在x軸的正半軸上，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得，直線的解析式為．軸，N的橫坐標(biāo)為x，（1）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時(shí)，點(diǎn)N在線段上，中上的高為，，，，該段圖象為開(kāi)口向上的拋物線；（2）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時(shí)，點(diǎn)N在線段上，中，上的高為，，該段圖象為直線；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)x在之間時(shí)，點(diǎn)N在線段上，中上的高為，由，可得直線的解析式為，，，，，該段圖象為開(kāi)口向下的拋物線；觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)A滿足條件，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，涉及坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分段求出函數(shù)解析式．第二部分非選擇題（共120分）二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.計(jì)算：_______．【答案】1【解析】先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算減法．解：，故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．12.分解因式：______．【答案】【解析】先提取公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．13.不等式的解集是_______．【答案】##【解析】按解一元一次不等式的步驟解不等式即可．解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是關(guān)鍵．14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問(wèn)雞兔各幾何．”設(shè)有只雞，只兔，根據(jù)題意，可列方程組為_(kāi)______．【答案】【解析】根據(jù)“雞的數(shù)量兔的數(shù)量，雞的腳的數(shù)量兔子的腳的數(shù)量”可列方程組．解：根據(jù)題意可得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組．15.如圖，的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，，以點(diǎn)O為位似中心，將縮小為原來(lái)的，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______．【答案】或##或【解析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)計(jì)算．解：以點(diǎn)O為位似中心，將縮小為原來(lái)的，得到，，當(dāng)在第一象限時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；當(dāng)在第三象限時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；綜上可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查圖標(biāo)與圖形、位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，注意分情況計(jì)算．16.關(guān)于x的一次函數(shù)，若y隨x的增大而增大，且圖象與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【解析】由一次函數(shù)性質(zhì)得，，，求解即可．解：∵y隨x的增大而增大，∴．∴．時(shí)，∵圖象與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，∴．∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)；掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17.如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交和于點(diǎn)P，Q，以點(diǎn)P，Q為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線交邊于點(diǎn)E；分別以點(diǎn)A，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線交邊于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)G，連接．若，，則_______．【答案】【解析】由作圖得平分，垂直平分，再根據(jù)三角形面積公式求出和面積關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．解：由作圖得平分，垂直平分，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了基本作圖，掌握三角形的面積公式和相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．18.如圖，四邊形是矩形，，．點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，將四邊形沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，若，則的長(zhǎng)是_______．【答案】##【解析】設(shè)交與點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作，則四邊形為矩形，，由折疊可知，，，由平行線的性質(zhì)可得，，利用勾股定理求得，即可證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，于是，，則代入計(jì)算即可．解：設(shè)交與點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作，如圖，則，∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∴四邊形為矩形，∴，由折疊可知，，，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，在中，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共96分）19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】【解析】先將括號(hào)內(nèi)的部分通分，再將分式分子、分母因式分解并化簡(jiǎn)，再計(jì)算出x的值后，將代入即可求解．解：原式，，，，當(dāng)時(shí)，原式，．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值及實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，熟悉通分、約分和分母有理化是解題的關(guān)鍵．20.某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表（如下圖所示）．學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)x/min人數(shù)學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況扇形統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)表中______．（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)．（3）若全校共有名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)，（4）該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書(shū)中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書(shū)分別用相同的卡片，，，標(biāo)記，先隨機(jī)抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．【答案】（1）100，30（2）（3）名（4）【解析】（1）將組的人數(shù)除以其百分比即可求出抽取的人數(shù)；將抽取的人數(shù)乘以組的百分比即可求出的值；（2）將組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）將組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以即可估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)；（4）用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．（1）解：∵組的人數(shù)為，占比為，且，∴本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生；∵組占比，，∴，故答案為：，．（2）解：∵樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”有名，且，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為．（3）解：∵樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”學(xué)生人數(shù)為人，且（名），∴估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“”的學(xué)生人數(shù)為名．（4）解：《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書(shū)分別用相同的卡片，，，標(biāo)記，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：一共有種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游記》即有種可能的情況，∴．【點(diǎn)撥】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，能從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取有用信息，掌握用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．21.如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當(dāng)他路過(guò)A，B兩點(diǎn)時(shí)，一架無(wú)人機(jī)從空中的C點(diǎn)處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°，，，，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，CE是無(wú)人機(jī)到平路DF的距離，求CE的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】的長(zhǎng)約為【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為G，可得，，從而，，設(shè)，則，分別在直角和直角中求出的長(zhǎng)，最后利用平角定義可得，從而在中，求出的長(zhǎng)，再利用線段的和差關(guān)系計(jì)算即可解答．解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為G，由題意得：，，，，設(shè)，，則，在中，，在中，，，解得：，,，，在中，，，，，的長(zhǎng)約為．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)已知條件結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，，，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，交y軸于點(diǎn)E．（1）求反比例函數(shù)的解析式．（2）若點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），的平分線交直線于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】（1）作軸于點(diǎn)G，如圖，證明四邊形是矩形，得到，推出，證明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A.B的坐標(biāo)求出，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為，再代入反比例函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到，進(jìn)而得出，即得，即可求解．（1）作軸于點(diǎn)G，如圖，∵軸，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴矩形是正方形，∴，∵，，∴，設(shè)，則，解得：，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，代入，得；∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵，，∴，∵，，∴，∵軸，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是．【點(diǎn)撥】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、矩形和正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，具有一定的綜合性，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．23.如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：與相切．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進(jìn)而可得，問(wèn)題隨之得證；（2）過(guò)C點(diǎn)作于點(diǎn)K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進(jìn)而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問(wèn)題隨之得解．（1）連接，如圖，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過(guò)C點(diǎn)作于點(diǎn)K，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)撥】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．24.某工廠生產(chǎn)種產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每月的銷售量y（件）與售價(jià)x（萬(wàn)元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：每件售價(jià)x/萬(wàn)元…2426283032…月銷售量y/件…5248444036…（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不寫(xiě)自變量的取值范圍）．（2）該產(chǎn)品今年三月份的售價(jià)為35萬(wàn)元/件，利潤(rùn)為450萬(wàn)元．①求：三月份每件產(chǎn)品的成本是多少萬(wàn)元？②四月份工廠為了降低成本，提高產(chǎn)品質(zhì)量，投資了450萬(wàn)元改進(jìn)設(shè)備和革新技術(shù)，使每件產(chǎn)品的成本比三月份下降了14萬(wàn)元．若四月份每件產(chǎn)品的售價(jià)至少為25萬(wàn)元，且不高于30萬(wàn)元，求這個(gè)月獲得的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于售價(jià)x（萬(wàn)元/件）的函數(shù)關(guān)系式，并求最少利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？【答案】（1）（2）①20萬(wàn)元；②，950萬(wàn)元【解析】（1）從表格中任選兩組數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求解；（2）利用（1）中結(jié)論求出3月份銷量，根據(jù)利潤(rùn)、銷量、成本、售價(jià)之間的關(guān)系列方程即可；②列關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合自變量的取值范圍求出函數(shù)的最值即可．（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入，得：，解得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：①將代入，得（件），設(shè)三月份每件產(chǎn)品的成本是a萬(wàn)元，由題意得，解得，即三月份每件產(chǎn)品的成本是20萬(wàn)元；②四月份每件產(chǎn)品的成本比三月份下降了14萬(wàn)元，四月份每件產(chǎn)品的成本為萬(wàn)元，由題意得：，，拋物線的圖象開(kāi)口向下，拋物線的對(duì)稱軸為，，時(shí)，取最小值，此時(shí)，綜上可知，關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式是，最少利潤(rùn)是950萬(wàn)元．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)利潤(rùn)、銷量、成本、售價(jià)之間的關(guān)系正確列出函數(shù)關(guān)系式．25.如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上，，連接，，點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)E在線段上，且，將線段繞點(diǎn)E