2024屆湖北省大冶市一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆湖北省大冶市一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．z是z的共軛復(fù)數(shù)，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i2．在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A． B． C． D．4．某中學(xué)元旦晚會共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A．720種 B．600種 C．360種 D．300種5．設(shè)集合，，則A． B． C． D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．7．函數(shù)fx=aexx，x∈1,2，且?x1A．-∞,4e2 B．4e8．設(shè)函數(shù)滿足則時(shí)，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值9．在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)與之間的距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，，則（）A．-5 B．5 C．-4+i D．-4-i11．二面角為，、是棱上的兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，且，，則的長為A．1 B． C． D．12．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，面積的最大值為__________.14．觀察下列算式：，，，，…，，則____．15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為.16．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話的意思是說皮都沒有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎(chǔ),就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.19．（12分）羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負(fù)方得0分，每回合由上回合的勝方發(fā)球．設(shè)在甲、乙的比賽中，每回合發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．若在一局比賽中，甲先發(fā)球．（1）求比賽進(jìn)行3個(gè)回合后，甲與乙的比分為的概率；（2）表示3個(gè)回合后乙的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知函數(shù)（且，e為自然對數(shù)的底數(shù).）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.21．（12分）解關(guān)于的不等式.22．（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求．（2）若，求面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：設(shè)z=a+bi,z=a-bi，依題意有2a=2,-2b=2，故考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算．【易錯點(diǎn)晴】在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算上,經(jīng)常由于疏忽而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯.除了加減乘除運(yùn)算外,有時(shí)要結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的相關(guān)知識,綜合起來加以分析.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,只對加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運(yùn)算.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類似合并同類項(xiàng);復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,除法類似分母有理化;用類比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中的運(yùn)算問題.2、D【解題分析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再求即可.【題目詳解】，.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正切二倍角的計(jì)算，同時(shí)考查三角函數(shù)的定義，屬于簡單題.3、C【解題分析】

利用函數(shù)的周期求出的值，利用逆向變換將函數(shù)的圖象向左平行個(gè)單位長度，得出函數(shù)的圖象，根據(jù)平移規(guī)律得出的值.【題目詳解】由于函數(shù)的周期為，，則，利用逆向變換，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以，因此，，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)周期的計(jì)算，同時(shí)也考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，本題利用逆向變換求函數(shù)解析式，可簡化計(jì)算，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.4、D【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況，②5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有60×5＝300種不同的順序，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】由，得：∴；∵，∴∴故選C6、C【解題分析】

由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，得周期，，得出圖像關(guān)于對稱，可求出，，得出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合對稱中心和周期的范圍，求出周期，即可求解.【題目詳解】設(shè)的最小正周期為，在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，即，由知，有對稱中心，所以.由，且，所以有對稱軸.故.解得，于是，解得，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦函數(shù)圖象的對稱性、單調(diào)性和周期性及其求法，屬于中檔題.7、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)Fx=fx-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到F'x≤0在1,2【題目詳解】不妨設(shè)x1<x2，令Fx=fx-x，則Fx在1,2F'x當(dāng)x=1時(shí)，a∈R，當(dāng)x∈1,2時(shí)，a≤x2所以gx在1,2單調(diào)遞減，是gxmin【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)Fx=f8、D【解題分析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.9、B【解題分析】

可先求出判斷為等邊三角形即可得到答案.【題目詳解】解析：由與,知,所以為等邊三角形,因此【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)間的距離，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，難度不大.10、A【解題分析】試題分析：由題意，得，則，故選A．考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的幾何意義．11、C【解題分析】試題分析：考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算12、C【解題分析】試題分析：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則必有解得：，所以答案為C．考點(diǎn)：1．純虛數(shù)的定義；2．解方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過將面積轉(zhuǎn)化為以AB為底，P到AB的距離為高即可求解.【題目詳解】直線的直角坐標(biāo)方程為：，圓的直角坐標(biāo)方程為：，即圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1.因此圓心到直線的距離為，因此，設(shè)P到線段AB的高為h，則，因此.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，面積最值問題.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.14、142；【解題分析】

觀察已知等式的規(guī)律，可猜想第行左邊第一個(gè)奇數(shù)為后續(xù)奇數(shù)依次為：由第行第一個(gè)數(shù)為，即：，解得：，可得：，即可得解.【題目詳解】第行等號左邊第一個(gè)加數(shù)為第個(gè)奇數(shù)，即，于是第一個(gè)加數(shù)為，所以第個(gè)等式為，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納與推理，猜想第行左邊第一個(gè)奇數(shù)為進(jìn)而后續(xù)奇數(shù)依次為：是解題的關(guān)鍵.15、1【解題分析】

由程序框圖知該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【題目詳解】模擬執(zhí)行如圖所示的程序框圖如下，判斷，第1次執(zhí)行循環(huán)體后，，，；判斷，第2次執(zhí)行循環(huán)體后，，，；判斷，第3次執(zhí)行循環(huán)體后，，，；判斷，退出循環(huán)，輸出的值為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，模擬程序運(yùn)算可以較好地幫助理解程序的算法功能．16、①【解題分析】分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．詳解：由題意知“無皮”?“無毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點(diǎn)睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解題分析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)得，又，所以，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得極值；（2）由，得．因此分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．試題解析：（1）∵，∴，因?yàn)?，所以，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：100遞增極大值遞減極小值遞增由表可得當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.（2）由（1）得．∵，∴.①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減又因?yàn)樗栽冢?,1）和（1,2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以上有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，又因?yàn)樗栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，所以在上有且只有只有一個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的方法研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．18、(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)見證明，【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟即可求出；（2）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)以及圖像的交點(diǎn)問題，通過構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可?！绢}目詳解】解：（1）∵，∴.當(dāng)時(shí)，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，不妨設(shè)，由條件知即構(gòu)造函數(shù)，則，由，可得.而，∴.知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，可知，欲證，即證.考慮到在上遞增，只需證，由知，只需證.令，則.所以為增函數(shù).又，結(jié)合知，即成立，所以成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)零點(diǎn)的常用解法，涉及到分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等基本數(shù)學(xué)思想，意在考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和運(yùn)算能力。19、（1）0.1（2）見解析【解題分析】

（1）記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立，設(shè)“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，由互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法公式求出比賽進(jìn)行2個(gè)回合后，甲與乙的比分為2比1的概率；（2）的可能取值為0，1，2，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立．（1）記“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，則事件發(fā)生表示事件或或發(fā)生，且，，互斥．又，，．由互斥事件概率加法公式可得．答：2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1的概率為0.1．（2）因表示2個(gè)回合后乙的得分，則0，1，2，2．，，．．所以，隨機(jī)變量的概率分布列為01220.2160.10.2040.144故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為=．答：的數(shù)學(xué)期望為1.276．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點(diǎn)斜式，即可得到切線方程；（2）分和兩種情況，考慮函數(shù)的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，∴切線方程為;（2），，令，得，1）當(dāng)時(shí)，，x－0＋極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，.因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，所以，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以此方程無解.2）當(dāng)時(shí)，，x－0＋極小值所以當(dāng)時(shí)，有最小值，.因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，所以，即（）（*），設(shè)（），則，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，，所以方程（*）有且只有一解.綜上，時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查在曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.21、當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【解題分析】

將原不等式因式分解化為，對