江蘇省無錫市太湖高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

江蘇省無錫市太湖高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．3．“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線垂直于平面”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計(jì)，如果年該公司的收入為億元時(shí)，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元5．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-46．給出下列三個(gè)命題：(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；(2)一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面不相交，則這兩個(gè)平面平行；(3)一個(gè)平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行；其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．37．已知向量滿足，且，則的夾角為（）A． B． C． D．8．已知為等差數(shù)列,,則（）A．42 B．40 C．38 D．369．若數(shù)據(jù)的均值為1，方差為2，則數(shù)據(jù)的均值、方差為（）A．1，2 B．1+s，2 C．1，2+s D．1+s，2+s10．若的展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是()A．792 B．-792 C．330 D．-33011．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽車的準(zhǔn)時(shí)到站的概率為，則他在3天乘車中，此班車恰有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．矩陣的逆矩陣為__________.14．已知非零向量，，滿足：，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________.15．若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是___.16．設(shè)、兩隊(duì)進(jìn)行某類知識(shí)競賽，競賽為四局，每局比賽沒有平局，前三局勝者均得1分，第四局勝的一隊(duì)得2分，各局負(fù)者都得0分，假設(shè)每局比賽隊(duì)獲勝的概率均為，且各局比賽相互獨(dú)立，則比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）已知點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)．（1）記雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若，求點(diǎn)到軸的距離；（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，記，求的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)（1）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，.20．（12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)．（1）求的分布列（結(jié)果用數(shù)字表示）；（2）求所選3個(gè)中最多有1名女生的概率．21．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）求直線與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).22．（10分）學(xué)校為了對教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計(jì).其中對教師教學(xué)水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，對教師管理水平給出好評(píng)的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的，其中對教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評(píng)的有120人.（1）填寫教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表：對教師管理水平好評(píng)對教師管理水平不滿意合計(jì)對教師教學(xué)水平好評(píng)對教師教學(xué)水平不滿意合計(jì)請問是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān)？（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評(píng)價(jià)，設(shè)對教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)為隨機(jī)變量.①求對教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)的人數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②求的數(shù)學(xué)期望和方差.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關(guān)系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關(guān)系和雙曲線性質(zhì)得到的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.2、A【解題分析】

設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝3、B【解題分析】

由“直線垂直于平面”可得到“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”，反之不成立（如與無數(shù)條平行直線垂直時(shí)不成立），所以“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線垂直于平面”的必要而不充分條件，故選B.考點(diǎn)：充分條件與必要條件4、B【解題分析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當(dāng)時(shí)，支出為億元，故選B.5、D【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【題目詳解】由，得，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-4，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)算，求解問題的關(guān)鍵，在于對所給極限表達(dá)式進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上的點(diǎn)的切線斜率，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)面面平行的位置關(guān)系的判定依次判斷各個(gè)命題的正誤，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條互相平行的直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面可能相交，則（1）錯(cuò)誤；（2）平面內(nèi)任意一條直線與另一個(gè)平面不相交，即任意一條直線均與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行，（2）正確；（3）若不共線的三點(diǎn)中的兩點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)分別位于平面的兩側(cè)，此時(shí)雖然三點(diǎn)到平面距離相等，但兩平面相交，（3）錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查面面平行相關(guān)命題的辨析，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

設(shè)的夾角為，兩邊平方化簡即得解.【題目詳解】設(shè)的夾角為，兩邊平方，得，即，又，所以，則，所以.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和向量夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析：由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求，然后由即可求解.詳解：，，，，故選：B.點(diǎn)睛：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．9、B【解題分析】

由題意利用均值和方差的性質(zhì)即可確定新的數(shù)據(jù)的方差和均值.【題目詳解】由題意結(jié)合均值、方差的定義可得：數(shù)據(jù)的均值、方差為,.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型數(shù)據(jù)的均值與方差的性質(zhì)和計(jì)算，屬于中等題.10、C【解題分析】

由題可得，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求得，進(jìn)而求得答案?！绢}目詳解】因?yàn)榈恼归_式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以通項(xiàng)為，令得所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出，屬于簡單題。11、B【解題分析】由題意，恰有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為，故選擇B。12、C【解題分析】

根據(jù)圖像最低點(diǎn)求得，根據(jù)函數(shù)圖像上兩個(gè)特殊點(diǎn)求得的值，由此求得函數(shù)解析式，進(jìn)而求得的值.【題目詳解】根據(jù)圖像可知，函數(shù)圖像最低點(diǎn)為，故，所以，將點(diǎn)代入解析式得，解得，故，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，并求三角函數(shù)值，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案.【題目詳解】由逆矩陣的定義知：,設(shè)，由題意可得：，即解得，因此.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)計(jì)算，難度不大.14、4.【解題分析】

法一：采用數(shù)形結(jié)合，可判斷的終點(diǎn)是在以AB為直徑的圓上，從而分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題即可得到答案.法二：（特殊值法）可先設(shè)，，，利用找出的軌跡，從而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.【題目詳解】法一：作出相關(guān)圖形，設(shè),，由于，所以，且這兩個(gè)向量共起點(diǎn)，所以的終點(diǎn)是在以AB為直徑的圓上，可設(shè)，所以由圖可知，，所，等價(jià)于,,所以，答案為4.法二：（特殊值法）不妨設(shè)，，，則，，，由于可得整理得，可得圓的參數(shù)方程為：，則相當(dāng)于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案為4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的相關(guān)運(yùn)算，參數(shù)方程的運(yùn)用，不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的綜合轉(zhuǎn)化能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，難度較大.15、【解題分析】

將題意轉(zhuǎn)化為：，使得，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可?！绢}目詳解】，其中，則。由于函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得，即，，構(gòu)造函數(shù)，則。，令，得。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則，所以，，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，一般來講，函數(shù)的單調(diào)性可以有如下的轉(zhuǎn)化：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；（3）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，；（5）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)。16、【解題分析】

比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分是指前3局比賽中兩勝一負(fù)，第4局比賽勝，由此能求出比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分的概率．【題目詳解】比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分是指前3局比賽中兩勝一負(fù)，第4局比賽勝，比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分的概率：．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）首先根據(jù)曲線的參數(shù)方程先化為直角坐標(biāo)方程，再把直接直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．根據(jù)即可把直線化為直角坐標(biāo)方程．（2）把射線帶入曲線和直線的極坐標(biāo)方程得出點(diǎn)的坐標(biāo)，把射線帶入曲線的極坐標(biāo)得出點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)即可求出面積．【題目詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為所以所以曲線的極坐標(biāo)方程為：又直線的極坐標(biāo)方程為所以直線的直角坐標(biāo)系方程為綜上所述：（2）由（1）知曲線的極坐標(biāo)方程為所以聯(lián)立射線與曲線及直線的極坐標(biāo)方程可得所以聯(lián)立射線與曲線的極坐標(biāo)方程可得所以所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程直接的互化，主要掌握．屬于基礎(chǔ)題．18、（1）（2）【解題分析】

(1)利用，結(jié)合向量知識(shí)，可得的軌跡方程，結(jié)合雙曲線方程，即可得到點(diǎn)到軸的距離．(2)用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)雙曲線的范圍，可求得的取值范圍．【題目詳解】(1)設(shè)點(diǎn)為，，而，，則，，，．，，即，整理，得①又，在雙曲線上，②聯(lián)立①②，得，即因此點(diǎn)到軸的距離為.(2)設(shè)的坐標(biāo)為，，則的坐標(biāo)為，，．的取值范圍是，．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的運(yùn)算，考查雙曲線中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法和范圍問題的解法，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）解法一：求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)并通分，對分成兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結(jié)論，證得當(dāng)時(shí)成立.再利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時(shí)，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，進(jìn)而證得，也即證得.【題目詳解】解：（1）【解法一】由得：①當(dāng)時(shí)，由知，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).這時(shí)當(dāng)時(shí)，，令，則即在上為減函數(shù)，所以即在上的最小值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，不可能恒成立，即有不滿足題意.綜上可知，當(dāng)，使恒成立時(shí)，的取值范圍是.【解法二】當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令，則只須使設(shè)在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由洛必達(dá)法則知即當(dāng)時(shí)，，所以有即當(dāng)，使恒成立時(shí)，則的取值范圍是（2）解法一：由（1）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又成立故只須在證明，當(dāng)時(shí)，即可當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，所以，只須證明即可；設(shè)由得：當(dāng)，時(shí)當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，成立綜上可知，當(dāng)時(shí)，成立.（2）解法二：由（1）知當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)由得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，.所以所以成立.綜上可知，當(dāng)時(shí)，成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大，屬于難題.20、（1）見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由于總共只有2名女生，因此隨機(jī)變量的取值只能為0,1，2，計(jì)算概率為，可寫出分布列；（2）顯然事件是互斥的，因此．試題解析：（1）由題意知本題是一個(gè)超幾何分步，隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)，可能取的值為0，1，2，的分布列為：012（2）由（1）知所選3人中最多有一名女生的概率為：．考點(diǎn)：隨機(jī)變量分布列，互斥事件的概率．21、（I）；（II）.【解題分析