北京市昌平區(qū)昌平二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

北京市昌平區(qū)昌平二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，（e為自然對數(shù)的底）則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．2．因?yàn)閷?shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是對數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，上面的推理錯(cuò)誤的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是3．若函數(shù)無極值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．-2 B．2 C．4 D．66．對于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.7．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．28．某研究機(jī)構(gòu)對兒童記憶能力和識圖能力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力識圖能力由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為12時(shí)，則他的識圖能力約為()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．109．已知中，，，，則B等于（）A． B．或 C． D．或10．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．11．已知集合，，則（）A． B．C． D．12．若，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明“若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)______．14．，其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍是____．15．北緯圈上有A，B兩點(diǎn)，該緯度圈上劣弧長為（R為地球半徑），則A，B兩點(diǎn)的球面距離為________.16．若隨機(jī)變量，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）學(xué)校某社團(tuán)參加某項(xiàng)比賽，需用木料制作如圖所示框架，框架下部是邊長分別為的矩形，上部是一個(gè)半圓，要求框架圍成總面積為.（1）試寫出用料（即周長）關(guān)于寬的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）求用料（即周長）的最小值，并求出相應(yīng)的的值.18．（12分）設(shè).（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有1個(gè)，分別編號為1，2，3，1．現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球．（Ⅰ）若兩個(gè)球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；（Ⅱ）在（1）的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點(diǎn).（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的值.21．（12分）近日，某地普降暴雨，當(dāng)?shù)匾淮笮吞釅伟l(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩而每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟(jì)損失約為元，且滲水面積以每天的速度擴(kuò)散．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門在發(fā)現(xiàn)的同時(shí)立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補(bǔ)貼費(fèi)為每人元，勞務(wù)費(fèi)及耗材費(fèi)為每人每天元．若安排名人員參與搶修，需要天完成搶修工作．寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；應(yīng)安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小．（總損失＝因滲水造成的直接損失+部門的各項(xiàng)支出費(fèi)用）22．（10分）函數(shù)（1）若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)條件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的換底公式，考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

由于三段論的大前提“對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，所以選A.【題目詳解】由于三段論的大前提“對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)a>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)才是增函數(shù)，故答案為：A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查三段論，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)一個(gè)三段論，只有大前提正確，小前提正確和推理形式正確，結(jié)論才是正確的.3、A【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系即得解.【題目詳解】由題得，因?yàn)楹瘮?shù)無極值點(diǎn)，所以，即.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解題分析】

利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值，可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)陰影部分區(qū)域的面積為，則，，其中，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分計(jì)算曲邊多邊形的面積，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時(shí)，要確定被積函數(shù)和被積區(qū)間，結(jié)合定積分公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．5、D【解題分析】分析：由題意知隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關(guān)于對稱，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于對稱，得到關(guān)于的方程，解方程求得詳解：由題隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則與關(guān)于對稱，則故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點(diǎn)：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點(diǎn)7、A【解題分析】

利用二項(xiàng)式定理的展開式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．【題目詳解】二項(xiàng)式（ax+）6的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+2=（ax）r，令r=2，則T6=××a2x2．∵x2的系數(shù)為，∴×a2=，解得a=2．則x2dx=x2dx==．故選：A．【題目點(diǎn)撥】用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加8、B【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)考點(diǎn)：回歸方程9、D【解題分析】

根據(jù)題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關(guān)系、內(nèi)角的范圍、特殊角的三角函數(shù)值求出B．【題目詳解】由題意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sinB，又b＞a，0°＜B＜180°，則B＝60°或B＝120°，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，以及邊角關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積?！绢}目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

求解不等式可得，據(jù)此結(jié)合交集、并集、子集的定義考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【題目詳解】求解不等式可得，則：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定義及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、A【解題分析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立。【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，所以應(yīng)假設(shè)，填。【題目點(diǎn)撥】反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．14、【解題分析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，列出不等式組求解.【題目詳解】由已知得：，且在第二象限，所以：，解得：，所以故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念和其對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角，得到線段的長，設(shè)地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長公式求、這兩地的球面距離．【題目詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應(yīng)的劣弧長等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角），故，線段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識，球面距離，弧長公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16、4【解題分析】

由隨機(jī)變量，且，可得的值，計(jì)算出,可得的值.【題目詳解】解：由隨機(jī)變量，且，可得，，，.故答案為：4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，熟悉二項(xiàng)分布的期望和方差的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），此時(shí)【解題分析】

（1）根據(jù)面積可得到與的關(guān)系，寫出周長即可（2）根據(jù)（1）寫出的，利用均值不等式求解即可.【題目詳解】（1），，，由得.（2），，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，均值不等式，屬于中檔題.18、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）利用零點(diǎn)分段法將去絕對值，分成三段，令每一段大于，求解后取并集；（2）由（1）時(shí)，，分離常數(shù)得，右邊函數(shù)為增函數(shù)，所以，解得.試題解析：（1）,所以當(dāng)時(shí),,滿足原不等式；當(dāng)時(shí),,原不等式即為,解得滿足原不等式；當(dāng)時(shí),不滿足原不等式；綜上原不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí),,由于原不等式在上恒成立,,在上恒成立,,設(shè),易知在上為增函數(shù),.考點(diǎn)：不等式選講.19、（1）96（2）見解析【解題分析】

（1）兩個(gè)球顏色不同的情況共有12＝96(種).（2）隨機(jī)變量X所有可能的值為0，1，2，2．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝2)＝所以隨機(jī)變量X的概率分布列為：X0122P所以E(X)＝0＋1＋2＋2＝．點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

(1)要證，可證平面，利用線面垂直即可得到線線垂直.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式即可得到答案.【題目詳解】(1)平面，又，為平面上相交直線，平面，而等腰三角形中有平面而平面，.(2)易知兩兩垂直，故分別以其所在直線為坐標(biāo)軸建系則求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量平面與平面所成銳二面角為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查立體幾何中線線垂直，二面角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力，難度中等.21、（1）（2）應(yīng)安排名民工參與搶修，才能使總損失最小【解題分析】

（1）由題意得要搶修完成必須使得搶修的面積等于滲水的面積，即可得，所以；（2）損失包＝滲水直接經(jīng)濟(jì)損失+搶修服裝補(bǔ)貼費(fèi)+勞務(wù)費(fèi)耗材費(fèi)，即可得到函數(shù)解析式，再利用基本不等式，即可得到結(jié)果．【題目詳解】由題意，可得，所以．設(shè)總損失為元，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以應(yīng)安排名民工參與搶修，才能使總損失最小．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題是關(guān)鍵，以及合理運(yùn)用函數(shù)與不等式方程思想的有機(jī)結(jié)合，及基本不等式的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題，著重考查了分析問題和解答問題的能力．22、（1）或．（2）【解題分析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)、然后因式分解，根據(jù)函數(shù)在在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)