2024屆江西奉新縣普通高級中學高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆江西奉新縣普通高級中學高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．12．已知三棱錐的底面是等邊三角形，點在平面上的射影在內（不包括邊界），.記，與底面所成角為，；二面角，的平面角為，，則，，，之間的大小關系等確定的是（）A． B．C．是最小角，是最大角 D．只能確定，3．設全集，集合，，則（）A． B． C． D．4．設曲線及直線所圍成的封閉圖形為區(qū)域，不等式組所確定的區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一點，則該點恰好在區(qū)域內的概率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）6．已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為()A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.757．復數(shù)的虛部為（）A．2 B． C． D．8．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A．30種 B．35種 C．42種 D．48種9．已知向量滿足，且，則的夾角為（）A． B． C． D．10．已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則A． B． C． D．11．已知，若的必要條件是，則a，b之間的關系是（）A． B． C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個碗中有10個籌碼，其中5個都標有2元，5個都標有5元，某人從此碗中隨機抽取3個籌碼，若他獲得的獎金數(shù)等于所抽3個籌碼的錢數(shù)之和，則他獲得獎金的期望為________．14．設集合，，，（1）的取值范圍是；（2）若，且的最大值為9，則的值是．15．如圖，設是棱長為的正方體的一個頂點，過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面，對正方體的所有頂點都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關于此多面體有以下結論：①有個頂點；②有條棱；③有個面；④表面積為；⑤體積為．其中正確的結論是____________．（要求填上所有正確結論的序號）16．直線被圓截得的弦長為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合=，集合=.（1）若，求；（2）若AB，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點，求證：為定值；（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）在四棱錐中,平面平面，,四邊形是邊長為的菱形，,是的中點.(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)，.(1)若曲線與曲線在點處的切線方程相同，求實數(shù)的值；(2)若恒成立，求證：當時，.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）已知，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

令y=，從而求導y′=以確定函數(shù)的單調性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【題目詳解】令y=，則y′=，故當x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負；不妨設t1＜0＜t2，結合y=的性質可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的綜合應用及轉化思想的應用，考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應用．2、C【解題分析】

過作PO⊥平面ABC，垂足為，過作OD⊥AB，交AB于D，過作OE⊥BC，交BC于E，過作OF⊥AC，交AC于F，推導出OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，由此得到結論．【題目詳解】解：如圖，過作PO⊥平面ABC，垂足為，過作OD⊥AB，交AB于D，過作OE⊥BC，交BC于E，過作OF⊥AC，交AC于F，連結OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC為正三角形，PA＜PB＜PC，二面角P?BC?A，二面角P?AC?B的大小分別為，，PA，PB與底面所成角為，，∴＝∠PAO，＝∠PBO，γ＝∠PEO，＝∠PFO，OA＜OB＜OC，AB＝BC＝AC，在直角三角形OAF中，，在直角三角形OBE中，，OA＜OB，∠OAF＜∠OBE，則OF＜OE，同理可得OD＜OF，∴OD＜OF＜OE，且OE＜OB，OF＜OA，∴＜，＜，＞，＜，可得是最小角，是最大角，故選：C．【題目點撥】本題考查線面角、二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．3、A【解題分析】

先化簡集合A,B,再判斷每一個選項得解.【題目詳解】∵，，由此可知，，，，故選：A．【題目點撥】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.4、C【解題分析】分析：求出兩個區(qū)域的面積，由幾何概型概率公式計算可得.詳解：由題意，，∴，故選C.點睛：以面積為測度的幾何概型問題是幾何概型的主要問題，而積分的重要作用正是計算曲邊梯形的面積，這類問題巧妙且自然地將新課標新增內容——幾何概型與定積分結合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點題型．預計對此類問題的考查會加大力度．5、D【解題分析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【題目詳解】設，則的圖象與的圖象關于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【題目點撥】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關系應用及利用導數(shù)求切線方程。6、B【解題分析】

因為某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是，則該射擊運動員射擊4次看做4次獨立重復試驗，則至少擊中3次的概率7、B【解題分析】

根據復數(shù)的運算法則，化簡復數(shù)，即可得到復數(shù)的虛部，得到答案．【題目詳解】由題意，復數(shù)，所以復數(shù)的虛部為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的概念的應用，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、A【解題分析】本小題主要考查組合知識以及轉化的思想.只在A中選有種，只在B中選有種，則在兩類課程中至少選一門的選法有種.9、C【解題分析】

設的夾角為，兩邊平方化簡即得解.【題目詳解】設的夾角為，兩邊平方，得，即，又，所以，則，所以.故選C【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和向量夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.10、D【解題分析】

，選D.11、A【解題分析】試題分析：不等式的解集為，不等式的解集為，根據題意可知是的子集，所以有，故選A．考點：絕對值不等式，充要條件的判斷．12、B【解題分析】

模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化即可得到答案.【題目詳解】由題意，輸入值，，第一次執(zhí)行，，，不成立；第二次執(zhí)行，，，不成立；第三次執(zhí)行，，，不成立；第四次執(zhí)行，，，不成立；第五次執(zhí)行，，，成立，輸出.故選：B【題目點撥】本題主要考查循環(huán)框圖的應用，按照框圖的程序運行即可得出正確答案，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先確定隨機變量取法，再分別求對應概率，最后根據數(shù)學期望公式求期望.詳解：獲得獎金數(shù)為隨機變量ξ，則ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列為：ξ691215PE(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.點睛：本題考查數(shù)學期望公式，考查基本求解能力.14、（1）（2）【解題分析】

由圖象可得由圖象得15、①②⑤【解題分析】解：如圖，原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形，再添了八個頂點各對應的一個三角形的面，所以總計6+8=14個面，故③錯；每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對應兩個面，所以實際只有×48=24條棱．②正確；所有的頂點都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點位置，原來的棱的數(shù)目是1，所以現(xiàn)在的頂點的數(shù)目是1．或者從圖片上可以看出每個頂點對應4條棱，每條棱很明顯對應兩個頂點，所以頂點數(shù)是棱數(shù)的一半即1個．①正確；三角形和四邊形的邊長都是a，所以正方形總面積為6××a2=3a2，三角形總面積為8××a2sin60°=a2，表面積（3+）a2，故④錯；體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積，每個三棱錐體積為8×（）3=a2，剩余總體積為a3-a3=a3⑤正確．故答案為①②⑤．16、4【解題分析】

將圓的方程化為標準方程，求出圓心坐標與半徑，利用點到直線的距離公式，運用勾股定理即可求出截得的弦長【題目詳解】由圓可得則圓心坐標為，半徑圓心到直線的距離直線被圓截得的弦長為故答案為【題目點撥】本題主要考查了求直線被圓所截的弦長，由弦長公式，分別求出半徑和圓心到直線的距離，然后運用勾股定理求出弦長三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：（1）先化簡集合A,B，再求.(2)先化簡集合A,B，再根據AB得到，解不等式得到實數(shù)的取值范圍.詳解：（1）當時，，解得.則.由，得.則.所以.（2）由，得.若AB，則解得.所以實數(shù)的取值范圍是.點睛：（1）本題主要考查集合的運算和集合的關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本計算能力.(2)把分式不等式通過移項、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式組→解不等式組得解集.18、（1）見解析（2），詳見解析【解題分析】

（1）設，，由橢圓對稱性得，把點，的坐標都代入橢圓得到兩個方程，再相減，得到兩直線斜率乘積的表達式；（2）設，，，則，由得：，進而得到直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到坐標之間的關系，最后整體代入消元，得到為定值.【題目詳解】（1）當過原點時，設，，由橢圓對稱性得，則．∵，都在橢圓上，∴，，兩式相減得：，即．故．（2）設，，，則，∵，∴，設直線的方程為()，聯(lián)立方程組消去，整理得．∵在橢圓上，∴，上式可化為．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的位置關系，對綜合運算能力要求較高，對坐標法進行深入的考查，要求在運算過程中要大膽、耐心、細心地進行運算.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）推導出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能證明PA⊥平面ABCD．（2）以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】(1)因為,所以,即.同理可得.因為.所以平面.(2)由題意可知,兩兩垂直,故以A為原點,分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則，所以.設平面的法向量為，則，不妨取則易得平面,所以平面的一個法向量為，記平面與平面所成銳二面角為,則故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)連接，根據幾何關系得到,由平面平面，可得平面，進而得到,再由三角形ABE的角度及邊長關系得到，進而得到結果;(2)建立空間坐標系得到面的法向量為，面的一個法向量為，根據向量夾角運算可得結果【題目