2024屆廣東省七校聯(lián)合體數(shù)學高二第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆廣東省七校聯(lián)合體數(shù)學高二第二學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．2．下列命題正確的是（）A．若，則B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”、“”、“”中至少有一個為假命題D．“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”3．若，則“復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，5．的展開式中的系數(shù)是（）A．16 B．70 C．560 D．11206．某班4名同學參加數(shù)學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是（）A． B． C． D．9．已知，設函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若方程有兩個相異實根，且，則實數(shù)的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．011．已知為雙曲線的右焦點，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若且的周長為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，則、、滿足（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，.已知矩陣，其中，，那么B=________.14．有甲、乙、丙三項不同任務，甲需由人承擔，乙、丙各需由人承擔，從人中選派人承擔這三項任務，不同的選法共有__________種．（用數(shù)字作答）15．在極坐標系中，若過點（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則="______________________."16．已知復數(shù)z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在矩形中，，，是的中點，以為折痕將向上折起，變?yōu)?，且平面平面．?）求證：；（2）求二面角的大?。?8．（12分）已知．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，證明對于任意的成立．19．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α120．（12分）已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;（Ⅱ）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點，，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線，求的最小值.22．（10分）（．在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒獎．某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布列．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求導，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，即導數(shù)的零點在上，計算得到答案.【題目詳解】設函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C【題目點撥】本題考查了函數(shù)的最大值和最小值問題，將最值問題轉(zhuǎn)為二次函數(shù)的零點問題是解題的關鍵.2、C【解題分析】分析：根據(jù)命題條件逐一排除求解即可.詳解：A.若，則,當a為0時此時結論不成立，故錯誤；B.“”是“”的必要不充分條件，當x=4時成立，故正確結論應是充分不必要；D.“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”應該是若，不全為0，故錯誤，所以綜合可得選C點睛：考查對命題的真假判定，此類題型逐一對答案進行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以輕心，屬于易錯題.3、C【解題分析】

先將復數(shù)化簡成形式，得其共軛復數(shù)，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關系．【題目詳解】，所以共軛復數(shù)，因為共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限所以，解得所以“復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點撥】本題考查復數(shù)的基本運算與充要關系，解題的關鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．4、C【解題分析】

含有一個量詞命題的否定方法：改變量詞，否定結論.【題目詳解】量詞改為：，結論改為：，則，.故選：C.【題目點撥】本題考查含一個量詞命題的否定，難度較易.含一個量詞命題的否定方法：改量詞，否結論.5、D【解題分析】

設含的為第，所以，故系數(shù)為：，選D．6、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據(jù)題意得到X～B（4，）是解決本題的關鍵．7、A【解題分析】

先將復數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念確定對應點，最后根據(jù)對應點坐標確定象限.【題目詳解】解：∵，∴，∴復數(shù)z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為8、C【解題分析】

根據(jù)只有第5項系數(shù)最大計算出，再計算展開式中含項的系數(shù)【題目詳解】只有第5項系數(shù)最大,展開式中含項的系數(shù),系數(shù)為故答案選C【題目點撥】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.9、C【解題分析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析．10、C【解題分析】分析：利用導數(shù)法，可得當x=﹣1時，函數(shù)取極大值m+2，當x=1時，函數(shù)取極小值m﹣2，結合方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當x＜﹣1，或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；故當x=﹣1時，函數(shù)取極大值m+2，當x=1時，函數(shù)取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點睛：本題考查的知識點是利用導數(shù)法研究函數(shù)的極值，方程根的個數(shù)判斷，難度中檔．對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，如果是一個常函數(shù)一個含參的函數(shù)，注意讓含參的函數(shù)式子盡量簡單一些。11、D【解題分析】

設雙曲線的另一個焦點為，則根據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【題目詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由.根據(jù)雙曲線的對稱性得為矩形，如圖，.又的周長為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D【題目點撥】本題考查雙曲線的對稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.12、B【解題分析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，并比較出三個正數(shù)、、的大小關系，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關系.【題目詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，，故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關系，解題時要利用自變量的大小關系并結合函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)條件列方程組，解得結果.【題目詳解】由定義得，所以故答案為：【題目點撥】本題考查矩陣運算，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、60【解題分析】分析：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人。詳解：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一樣故要排列）。共有60種。點睛：分配問題，先分組（組合）后分派（排列）。15、【解題分析】

解：過點（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=216、-1.【解題分析】分析：由復數(shù)的實部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故答案為-1.點睛：本題考查了復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)是純虛數(shù)的條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）90°【解題分析】

（1）利用垂直于所在的平面，從而證得；（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，再分別求出兩個面的法向量，，最后求法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的大小.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如圖建立空間直角坐標系，則、、、、，從而，，.設為平面的法向量，則令，所以，設為平面的法向量，則，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小為.【題目點撥】證明線線垂直的一般思路：證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，所以根據(jù)題目所給的圖形，觀察并確定哪一條線垂直于哪一條線所在的平面，是證明的關鍵.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）求的導函數(shù)，對a進行分類討論，求的單調(diào)性；（Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解.試題解析：（Ⅰ）的定義域為；.當，時，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當時，.（1），，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；（2）時，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增；（3）時，，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，，，令，.則，由可得，當且僅當時取得等號.又，設，則在單調(diào)遞減，因為，所以在上存在使得時，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當且僅當取得等號，所以，即對于任意的恒成立?！究键c】利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想.【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的計算、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數(shù)是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.19、A=【解題分析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結果，較為簡單20、（Ⅰ），（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得直線的直角坐標方程，消去參數(shù)，即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）求得直線的參數(shù)方程，代入橢圓的方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，即可求解．【題目詳解】（Ⅰ）由直線極坐標方程為，根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，可得直線直角坐標方程：，由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則，整理得，即橢圓的普通方程為．（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）把直線的參數(shù)方程代入得：，故可設，是上述方程的兩個實根，則有又直線過點，故由上式及的幾何意義得：.【題目點撥】本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線參數(shù)的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．21、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數(shù)與相切于點，切線即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線，設切點，表達函數(shù)的切線方程，表達，構造新函數(shù)，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數(shù)，則，，.所以，.（2）設切點，則切線方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；∴∴的最小值為.【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關鍵是熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬于中檔題.22、（1）；（2）分布列見解析.【解題分析】

⑴運用古典概率方法，從有獎