圖形的變換篇（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)+題型專訓(xùn)（全國通用）

專題11圖形的變換

知識(shí)回顧

■....一?.......................

1.平移的條件：

平移的方向叫做平移方向，平移的距離叫做平移距離。平移方向與平移距離即為平

移的條件。

2.平移的性質(zhì)：

①平移前后的兩個(gè)圖形全等。即有對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

②對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等，且長度都等于平移距離。

3.平移作圖：

具體步驟：

①確定平移方向與平移距離。

②將關(guān)鍵點(diǎn)按照平移方向與平移距離進(jìn)行平移，得到平移后的點(diǎn)。

③將平移后的關(guān)鍵點(diǎn)按照原圖形連接即得到平移后的圖形。

4.坐標(biāo)表示平移：

①向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x,y）=P（x+a,y）

②向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)尸（x,y）=>P（x-a,y）

③向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x,y）=P（x,y+h）

④向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x,y）=P（x,y~b）

5.軸對稱的性質(zhì)：

①成軸對稱的兩個(gè)圖形全等。即有對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

②對稱軸是任意一組對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

6.關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：

①關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

即（a,為關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（。,-切。

②關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。

即（a,8）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a,b）.

③關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)。

即（a,b）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為b）。

7.關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo):

①關(guān)于直線x=〃z對稱，P（a,/?）=>P（2m-a,b）

②關(guān)于直線y=〃對稱，P（a,切=尸（2a,2n-b）

8.旋轉(zhuǎn)的要素：

①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角。

9.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等。即有對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

②對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線距離相等。

③對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線構(gòu)成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

10.旋轉(zhuǎn)對稱圖形：

若一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一定角度（小于360°）之后與原圖形重合，則這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)

對稱圖形。如正多邊形或圓。

11.中心對稱：

①定義：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么

就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對

應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。

②性質(zhì)：I：關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；

II：關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對

稱中心平分.

12.坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換：

①若點(diǎn)P（x,y）順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則橫縱坐標(biāo)的絕對值互換,符號(hào)看象限。

②若點(diǎn)P（尤，y）順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,即關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則橫縱坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)。即尸（-x,-y）

13.旋轉(zhuǎn)作圖：

基本步驟：①確定旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角；②把圖形的關(guān)鍵點(diǎn)按照旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角進(jìn)

行旋轉(zhuǎn)，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；③將對應(yīng)點(diǎn)按照原圖形連接。

專題練習(xí)

1.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中,

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（1,-1）,B（2,-5）,C（5,-4）.

（1）將△ABC先向左平移6個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到△AIBCI,畫出兩次平

移后的△4B1C1,并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)畫出△4BC1繞點(diǎn)Ci順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△42&CI,并寫出點(diǎn)42的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)42的過程中所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留n).

【分析】(1)利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)4,Bi,。即可;

(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出4,81的對應(yīng)點(diǎn)42,比即可；

(3)利用勾股定理求出4。，再利用弧長公式求解.

【解答】解：(1)如圖，△48C1即為所求，點(diǎn)4的坐標(biāo)(-5,3)；

(2)如圖，282cl即為所求，點(diǎn)42的坐標(biāo)(2,4)；

(3)???36=也2+42=5,

...點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)42的過程中所經(jīng)過的路徑長=9°兀X'5一星L.

1802

2.如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).將AABC

平移后得到△4BC,且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是4(2,3),點(diǎn)8、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是8、C.

(1)點(diǎn)4、A之間的距離是；

(2)請?jiān)趫D中畫出

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)平移的性質(zhì)作出圖形即可.

【解答】解：(1)VA(-2,3),4(2,3),

???點(diǎn)A、之間的距離是2-(-2)=4,

故答案為：4；

3.已知△ABC中，ZACB=90°,4c=BC=4an,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒加

cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿2C方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)如圖①，若PQLBC,求/的值；

(2)如圖②，將△2℃沿BC翻折至△「'QC,當(dāng)r為何值時(shí)，四邊形。PCP'為菱形？

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出A8,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

(2)作于力，PEJ_AC于E,AP=&tcm,BQ=tcm(0Wf<4),由△ABC為

等腰直角三角形，可得/A=NB=45°,則可判斷和為等腰直角三角形,

得出PE=AE=y-^-AP=tcm,BD=PD,貝UCE=AC-AE=(4-/)cm,由矩形和菱形

2

性質(zhì)及勾股定理，即可求得答案.

【解答】解：(1)如圖①，：/4。3=90°,AC=BC=4cm,

.?.48=〃'2+8,2=山2+42=4a(cm),

由題意得，AP=E11cm,BQ=icm,

貝ljBP=(4A/2-近力cm,

'JPQLBC,

：.ZPQB=90a,

：.NPQB=ZACB,

：.PQ//AC,

.BP=BQ

'"BABC'

.4V2-V2t_t

,472~一了

解得：r=2,

.?.當(dāng)：=2時(shí)，PQ±BC.

(2)作于力，PEJ_4C于E,如圖②,

AP—y/2tcm,BQ—tcm(0Wf<4),

VZC=90°,4C=8C=4cm,

二.△ABC為等腰直角三角形，

N4=/B=45°,

.?.△APE和△P8Q為等腰直角三角形，

?.PE=AE=y~^-AP=tcm,BD=PD,

2

：.CE=AC-AE=(4-r)cm,

???四邊形PECO為矩形，

：.PD=EC=(4-f)cm,

BD—(4-r)cm,

：.QD=BD-BQ=(4-2力cm,

在Rt/XPCE中，PC1=PE2+CE2=r+(4-/)2,

在RtZXPOQ中，P^=PD1+DQ1=(4-/)2+(4-2r)2

???四邊形QPCP'為菱形，

:.PQ=PC,

.,/+(4-r)2=(4-f)2+(4-2/)2

.?.。=2，2=4（舍去）.

3

...當(dāng)f的值為且時(shí)，四邊形QPCP'為菱形.

3

4.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1,ZVIBC的頂點(diǎn)和線段EF的端點(diǎn)均在小正

方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中畫出△4OC,使△AOC與△A8C關(guān)于直線AC對稱（點(diǎn)。在小正方形

的頂點(diǎn)上）；

（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點(diǎn)G,點(diǎn)H均在小正方形

的頂點(diǎn)上），且平行四邊形EFG4的面積為4,連接。，，請直接寫出線段。”的長.

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△AOC；

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形，利用勾股定理可得OH的長.

【解答】解：⑴如圖，△AQC即為所求；

5.圖①，圖②均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).其中點(diǎn)A,B,C

均在格點(diǎn)上，請?jiān)诮o定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形.

（1）在圖①中，找一格點(diǎn)。，使以點(diǎn)A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是軸對稱圖形;

（2）在圖②中，找一格點(diǎn)E,使以點(diǎn)A,B,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對稱圖形.

-------------1------------L-------------------1----------I

1?t-

1It

_______?__________」_________1

1ii

1ii

A1Aii

1-------Y—L------3------------—h---1-----------1------------t

1I?

11?

t1_____4____J

B：：

B-??

圖①圖②

【分析】（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)D,四邊形ABCD為箏形.

（2）將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可得點(diǎn)E,四邊形A8CE為平行四

邊形.

【解答】解：（1）作點(diǎn)8關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)。，連接4BCD四邊形A8C。為箏形,

符合題意.

（2）將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可得點(diǎn)E,連接ABCE,AE//BC

且AE=BC,

四邊形48CE為平行四邊形，符合題意.

6.如圖，已知四邊形ABCO為矩形，AB=26,BC=4,點(diǎn)E在BC上，CE=AE,將4

ABC沿AC翻折到△AFC,連接EF.

（1）求E尸的長；

（2）求sin/CEF的值.

【分析】（1）根據(jù)翻折變換的特點(diǎn)和勾股定理結(jié)合方程思想解答即可;

（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：（1）；CE=AE,

：.ZECA=ZEAC,

根據(jù)翻折可得：ZECA=ZFCA,ZBAC^ZCAF,

???四邊形ABCO是矩形，

：.DA//CB,

：.ZECA=ZCAD,

：.ZEAC=ZCADf

：.ZDAF=ZBAE,

9：ZBAD=90°,

ZEAF=90°,

CE=AE=x,貝IJ3E=4-JG

在△BAE中，根據(jù)勾股定理可得：

212

BA+BE=AE9

即：（W^）2+（4-X）2=x2,

解得：x=3,

在RtZXEA尸中，EF=VAF2+AE2=■

（2）過點(diǎn)F作尸GLBC交BC于點(diǎn)G,

設(shè)CG=y,則GE=3-y,

:FC=4,FE=V17，

:.FU=FU-CG2=FW-EG2,

即：16-，=]7-（3-y）2,

解得:y=匡,

-3

FG=4FC2-CG2="^-'

/.sinZCEF=幽=畫.

EF51

7.為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地A、B、C、。四個(gè)位置安裝四個(gè)自動(dòng)噴灑

裝置（如圖1所示），A、B、C、。四點(diǎn)恰好在邊長為50米的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，為

了用水管將四個(gè)自動(dòng)噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)水管鋪設(shè)方案（各圖中實(shí)

線為鋪設(shè)的水管）.

方案一：如圖2所示，沿正方形48CC的三邊鋪設(shè)水管；

方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對角線鋪設(shè)水管.

（1）請通過計(jì)算說明上述兩方案中哪個(gè)方案鋪設(shè)水管的總長度更短；

（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂巢原理”重新設(shè)計(jì)了一個(gè)方案（如圖4所示）.

滿足乙4EB=/CED=120°,AE=BE=CF=DF,EF//AD.請將小明的方案與爸媽的

方案比較，判斷誰的方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：V2弋1.4,

百~1.7)

圖2圖3圖4

【分析】（1）分別算出兩種方案中鋪設(shè)水管的總長度，再比較即可得答案;

(2)過E作EG1.AB于G,過產(chǎn)作FHLCD于H,由AE=BE,GELAB,可得AG=

RG=—AB=25米=DH=CH,NAEG=NBEG=L/AEB=60。=NDFH=NCFH=

22

60。，在RtZSAEG中，GE=—典丁_=空叵（米），AE=_AG_=_5oV3_（米），

tan603cos603

故EF=GH-GE-FH=（50-毀叵）米，從而可得方案中鋪設(shè)水管的總長度為5（）舊

3

+50^135（米），即知小明的方案中鋪設(shè)水管的總長度最短.

【解答】解：（1）方案一：鋪設(shè)水管的總長度為50X3=150（米），

方案二：鋪設(shè)水管的總長度為245。2+502=100&=140（米），

Vl40<150,

方案二鋪設(shè)水管的總長度更短：

（2）小明的方案中鋪設(shè)水管的總長度最短，理由如下：

如圖：

?：AE=BE,GE1AB,

，AG=BG=LB=25米，/4EG=NBEG=—AEB=60。，

22

同理OH=CH=25米，NDFH=NCFH=60°,

在RtAAEG中,

「AG-(米)，=E-A。_（米）,

tan6003cos6003

同理廠”=至叵米，BE^CF^DF^AE^^J^-^i

33

，EF=GH-GE-FH=(50-皿立-)米，

3

二方案中鋪設(shè)水管的總長度為四巨X4+50-毀巨=50禽+50七135(米)，

33

V135<140<150,

：?小明的方案中鋪設(shè)水管的總長度最短.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，形如英文字母“V”的圖形三個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,3),

B(1,0),C(0,3).

(1)畫出“V”字圖形向左平移2個(gè)單位后的圖形；

(2)畫出原“V”字圖形關(guān)于x軸對稱的圖形；

(3)所得圖形與原圖形結(jié)合起來，你能從中看出什么英文字母？(任意答一個(gè)即可)

【分析】(1)根據(jù)要求直接平移即可；

(2)在第四象限畫出關(guān)于x軸對稱的圖形;

(3)觀察圖形可得結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1.

圖1

圖2

（3）圖1是W,圖2是X.

9.如圖，是邊長為1的小正方形組成的8義8方格，線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上.建立平面直

角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2,1）和（-1,3）.

（1）畫出該平面直角坐標(biāo)系xOy；

（2）畫出線段AB關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的線段4Bi；

（3）畫出以點(diǎn)A、8、。為其中三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形.（畫出一個(gè)即可）

(2)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可畫出線段4B；

(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形.

【解答】解：(1)如圖，即為所求；

(2)如圖，線段4用即為所求；

(3)如圖，平行四邊形A08。即為所求(答案不唯一).

10.如圖，在△ABC中，A3=AC=26，BC=4,D,E,尸分別為AC,AB,BC的中

點(diǎn)，連接DE,DF.

(1)如圖1,求證：DF=—￡>￡；

2

(2)如圖2,將NEQF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NP。。，當(dāng)射線。尸交A3于

點(diǎn)G,射線OQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接EE并延長交射線OP于點(diǎn)M,判斷FN與EM的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)。尸_LA8時(shí)，求￡W的長.

AAA

P.

C

NF

圖2圖3

【分析】（1）連接AR可得根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可

得DF^ACf而，根據(jù)中位線定理可得口￡=?1^=2,即可得證;

（2）證明△￡WFS^￡>ME,根據(jù)（1）的結(jié)論即可得

IEM=

（3）連接4尸，過點(diǎn)C作CH148于H,證明△AG￡>SA1A”C,可得GD^HCh^區(qū)，

25

勾股定理求得GE,AG,根據(jù)tanNADG，"=3，NEMG=NADG,可得

GD4

tanZEMG=^-^--進(jìn)而求得MG,根據(jù)MD=MG+GD求得MD,根據(jù)（2）的結(jié)論

MG4

【解答】（1）證明：如圖1.連接AF,

圖1

VAB=AC=2V5>BC=4,D,E,尸分別為AC,AB,8c的中點(diǎn),

?**DE=^-BC=2-A/U8C,

?*-DF-1AC=V5，

DE：

(2)解:EM-

理由如下：

連接AF,如圖2,

圖2

VAB=AC=2V5,BC=4,D,E,F分別為AC,AB,8c的中點(diǎn),

-■?EF^1-AC=CD,EFIIDC'

四邊形CDEF是平行四邊形，

:.NDEF=NC,

DF-^AC=DC'

：.ZDFC=4C,

:.NDFC=/DEF,

180°-ZDFC=1800-NDEF,

：.ZDFN=4DEM,

?.,將NEZ?'繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到NPDQ,

：.ZEDF=ZPDQ,

'：NFDN+NNDE=NEDM+NNDE,

ZFDN=ZEDM,

：.ADNFS/\DME,

.NF_DF_V5

"EM"DE

(3)解：如圖，連接A凡過點(diǎn)C作C〃J_A8于”,

A

M

RLFC中，F(xiàn)C總BC=2，

-'-AF=VAC2-FC2=4,

..&融存，佛亭50，

?TT?BC-AF4X48A/5

'：DPLAB,

△AGDs/XAHC,

.GDAD1

??——f

HCAC2

4V5

?■-GD-yHC-

~5~

RtAGED中,GE=VED2-GD2=

5

3V5

RtAAGD中，AG=VAD2-GD2=

5~T~

3」

/iAG53

..tanZ.ADG=777=-----

GU4

'：EF//AD,

：.ZEMG=ZADG,

???tan/EMG嗡-1'

?4M4y2V5_8二

??MG-GE-X—

?“D.儂.華曄，

IDDO

■:叢DNFs/\DME,

.DN_DF_V5

"DM"DE"T"

???D噂DH夸X孚苧

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°，點(diǎn)。在直線AC上，連接B。，將。B

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段。E,連接BE,CE.

(1)求證：BC=△AB；

CE

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上(點(diǎn)。不與點(diǎn)A,C重合)時(shí)，求——的值；

AD

AN

(3)過點(diǎn)A作4V〃OE交8力于點(diǎn)M若AO=2C￡>,請直接寫出——的值.

CE

【分析】(1)作于，，可得返A(chǔ)8,BC=2BH,進(jìn)而得出結(jié)論；

2

(2)證明進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BFLAC,交CA的延長線于凡作AGL3。于G,設(shè)

A8=4C=3a,則4￡)=2a,解直角三角形BOF,求得BZ)的長，根據(jù)△D4Gs/sO8/求

得AQ,進(jìn)而求得AN,進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)。在4c的延長線上時(shí)，設(shè)A8=AC=2a,

則AO=4m同樣方法求得結(jié)果.

【解答】(1)證明:如圖1,

作A”J_8c于H,

；AB=AC,

：.ZBAH=ZCAH=^Z.^KC=—X120°=60°，BC=2BH,

??=詈AB，

:.BC=2BH=M俎;

(2)解：'：AB=AC,

：.AABC=NACB=180°-NBACW-120。=30

22

由(1)得，

同理可得，

ZDBE=3O°,黑花，

BD

ZABC=ZDBE,-,

ABBD

，ZABC-NDBC=NDBE-ZDBC,

：.ZABD=ZCBE,

:.△ABDsMBE,

作BF_LAC,交CA的延長線于F,作AG_LBO于G,

設(shè)AB=AC=3a,則AD=2a,

由(1)得，CE=EAD=2百a，

在RtZ\48尸中，180°-/BAC=60°,A8=3a,

尸=3a?cos60°=3a，BF=3a.sin60°=-^^a，

在RtABDF中，DF=AD+AF=2a+^-a=l-a,

22

=22

BDVBF+DF(3.3a)2+(ya)2=,/19?.

?.,NAGQ=NF=90°,ZADG=ZBDF,

:.ADAGs^DBF,

?.A?G-=2AD,

BFBD

?AG?2a

■,3V3

~n-a

?:AN"DE,

AZAND=^BDE=\20°,

/.ZANG=60°,

.AN-AG_3VS2〃_6V19

sin60V19V319

?AN=19a_歷

"CE=2V3a19'

如圖3,

設(shè)AB=4C=2a,則4）=4。，

由（1）得，

CE=MAD=4?a，

作BR_LCA,交。的延長線于R,作4Q_LBf）于Q,

同理可得，

AR—a,a，

,BD=yj(V3a)2+(5a)2=，

?AQ4a

..Ma;即a

?A2y

0。-7F、a，

.AN-矩2_4〃

4

.AN-V21

CE4>/3a21

綜上所述：叵或返L.

1921

12.如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部，連接AD,將線段4。繞點(diǎn)A按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AE,連接80,DE,CE.

(1)判斷線段8力與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明;

(2)延長E￡>交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關(guān)系

為

(2)①AE=DE=BE-BD=BE-CE；

(3)連接AF,作AG_LDE于G,先證明△A8FS/\A￡)G,從而坐NBAF=N

AFAG

DAG,進(jìn)而/BAD=NF；4G,再證明△A5QS2\AFG.

【解答】解：(1)BD=CE,理由如下：

「△ABC是等邊三角形，

.../BAC=60°,AB^AC,

'：AE是由AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的,

：.ZDAE=6QQ,AD=AE,

：.ZBAC=NDAE,

，ABAC-ZDAC=ADAE-ADAC,

BP：ZBAD^ZCAE,

在△84。和△CAE中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE-

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

：.BD=CEi

(2)①由(1)得：ZDAE=60Q,AD=AE,BD=CE,

/\ADE是等邊三角形，

：.DE^AE,

:.AE=DE=BE-BD=BE-CE,

故答案為：AE=BE-CE；

②如圖，

連接AF,作AGLOE于G,

AZAGD=90°,

?.?尸是BC的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，△AQE是等邊三角形,

：.AF±BC,NA8P=NADG=60°,

：.ZAFB=ZAGD,

：./\ABF^/\ADG,

AAB=AD>NBAFJDAG,

AFAG

NBAF+NDAF=ZDAG+ZDAF,

:.NBAD=NFAG,

：./\ABD^/\AFG,

...NAOB=NAG尸=90°,

由(1)得：BD=CE,

VCE=DE=AD,

:.AD=BD,

：.ZBAD=45°.

13.如圖所示的萬格紙(1格長為一個(gè)單位長度)中，△408的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,0),

O(0,0),B(3,4).

(1)將△A08沿x軸向左平移5個(gè)單位，畫出平移后的△40181(不寫作法，但要標(biāo)出

頂點(diǎn)字母)；

(2)將△A08繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2O2B2(不寫作法，但要標(biāo)出

頂點(diǎn)字母)；

(3)在(2)的條件下，求點(diǎn)B繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)&所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留TT).

【分析】(I)利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,O,8的對應(yīng)點(diǎn)4,01,所即可;

(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A,O,8的對應(yīng)點(diǎn)A2,02,82即可；

(3)利用弧長公式求解.

【解答】解：(1)如圖，△401劭即為所求；

(2)如圖,△A2O2B2即為所求;

(3)在RtAAOB中，OB=VoA2+AB2=5'

14.在△4BC中，NBAC=90°,AB=AC,線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A。(4。不與4c

重合)，旋轉(zhuǎn)角記為a,/D4C的平分線AE與射線8。相交于點(diǎn)E,連接EC.

(1)如圖①，當(dāng)a=20°時(shí)，NAE8的度數(shù)是；

(2)如圖②，當(dāng)0°<a<90°時(shí)、求證：BD+2CE=6AE；

當(dāng)0°<a<180°,AE=2CE時(shí)，請直接寫出g2的值.

(3)

ED

AA

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出N34￡>=20°,A8=A。，求出NOAE=^/D4C=35°,

2

由三角形外角的性質(zhì)可求出答案：

(2)延長08到凡使BF=CE,連接A片證明(S4S),由全等三角形

的性質(zhì)可得出NOEA=NCEA,ZADE^AACE,DE=CE,證明△A8F會(huì)△△(?￡：(SAS),

由全等三角形的性質(zhì)可得出AF=AE,/APB=Z4EC=45°,由等腰直角三角形的性質(zhì)

可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案.

【解答】(1)解：,?,線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。至4),a=20°,

.,.ZfiAD=20°,AB=AD,

：.ZADB^ZABD=^-X(180°-20°)=80°,

2

又；N3AC=90°,

AZDAC=70°,

平分/D4C,

AZDAE=—ZDAC^3>5a,

2

AZAEB^ZADB-ZDAE=80°-35°=45°,

故答案為：45°；

(2)證明：延長OB到F,使8F=CE,連接AF,

'：AB=AC,AD=AB,

：.AD=ACf

???AE平分ND4C,

:"DAE=/CAE,

^：AE=AEf

E(SAS),

：.ZDEA=ZCEA,ZADE=ZACE,DE=CE,

*：AB=AD,

：.ZABD=ZADB9

VZADE+ZADB=]SO<>,

/.ZACE+ZABD=\SO0,

'/ZBAC=90°,

ZBEC=360°-(NACE+NABD)-ZBAC=360°-180°-90°=90°,

VZDE4=ZC￡A,

AZDE4=ZCEA=—X90°=45°,

2

VZABF+ZABD=180°,ZACE+ZABD=l80°,

，ZABF=ZACEf

u

：AB=ACfBF=CE,

：.(SAS),

：.AF=AE,ZAFB=ZAEC=45°,

AZME=180°-45°-45°=90°,

在中，ZME=90°,

TcosN4M=嶇，

EF

...EF=——學(xué)——=~虺/-=/2AE^

cosNAEFCOS45

,?EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE,

:?BD+2CE=?AE；

(3)解：如圖3,當(dāng)00<a<90°時(shí)，

A

VAE=2CEf

:?BD+2DE=2近DE,

?嚼=2&-2；

在8。上截取連接AF,方法同(2)可證△AOEg/XACE(SAS),

：.DE=CE,

：45=AC=AO,

NABF=ZADE,

：.^ABF^^ADE(SAS),

：.AF=AE,NBAF=NDAE,

又,.?NZME=NCA￡,

：.ZBAF=ZCAE,

：.NEAF=ZFAC+ZCAE=ZFAC+ZBAF=ZBAC=90°,

.?.△AEF是等腰直角三角形，

:.EF=?AE,

：.BD=BF+DE+EF=2DE+如AE,

■:AE=2CE=2DE,

:.BD=2DE+2版DE,

=2\/2+2-

DEv

綜上所述，毀的值為2&+2或2&-2.

DE

15.【特例感知】

(1)如圖1,ZWOB和△COO是等腰直角三角形，/AOB=/COO=90°,點(diǎn)C在。4

上，點(diǎn)。在BO的延長線上，連接AD,BC,線段AD與BC的數(shù)量關(guān)系是；

【類比遷移】

(2)如圖2,將圖1中的△COD繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),那么第(1)

問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

(3)如圖3,若AB=8,點(diǎn)C是線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，AC=3百，連接BC.

①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,連接AD,則AD的最大值是；

②若以BC為斜邊作RtaBCO(B,C,。三點(diǎn)按順時(shí)針排列)，NCDB=90°,連接AD,

當(dāng)NCBD=NDAB=30°時(shí)，直接寫出AO的值.

【分析】(1)證明△4。。也△80C(SAS),即可得出結(jié)論；

(2)利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證得/8OC=/AOD,再證明△AOZXABOC(SAS),即可得出結(jié)

論；

⑶①過點(diǎn)4作AT_LAB,AT=AB,連接B7,AD,DT,BD,先證得

得出。T=3逐，即點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，3加為半徑的圓，當(dāng)。在AT的延

長線上時(shí)，A。的值最大，最大值為8+3%；

②如圖4,在A8上方作乙487=30°,過點(diǎn)A作于點(diǎn)7,連接AO、BD、DT,

過點(diǎn)T作7H_LA。于點(diǎn)”,可證得△BACs/iBTT),得出。7=返A(chǔ)C=YZx3j§=9,