高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 不等式課堂過關(guān) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第六章不等式第1課時(shí)一元二次不等式及其解法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)84～86頁(yè))掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間關(guān)系并能靈活運(yùn)用．①會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.③會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解程序框圖．1.(必修5P77練習(xí)2(2)改編)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤eq\f(4,3).2.(必修5P75例1(1)改編)不等式2x2－x－1>0的解集是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析：由2x2－x－1>0，∴(2x＋1)(x－1)>0，∴x>1或x<－eq\f(1,2).3.(必修5P79習(xí)題1(3)改編)不等式8x－1≤16x2的解集是________．答案：R解析：原不等式轉(zhuǎn)化為16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，則x∈R，故不等式的解集為R.4.(必修5P80習(xí)題9改編)已知不等式x2－2x＋k2－3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.5.(必修5P80習(xí)題8(2)改編)關(guān)于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，則a＋b＝________．答案：－3解析：由題意知，－1，4為方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的兩根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1.∴a＋b＝－3.1.一元二次不等式的解法在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若將等號(hào)“＝”改為不等號(hào)“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通過y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象與x軸的交點(diǎn)求得一元二次不等式的解，具體如下表：二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a＞0)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)圖象與解Δ>0x＝x1，x＝x2x<x1或x>x2x1<x<x2Δ＝0x＝x0＝－eq\f(b,2a)x≠－eq\f(b,2a)Δ<0無(wú)解R2.用一個(gè)流程圖來(lái)描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法過程[備課札記]題型1一元二次不等式的解法例1解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解：原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0.①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.當(dāng)eq\f(2,a)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；當(dāng)eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1滿足題意；當(dāng)eq\f(2,a)＜－1，即a＞－2，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,a)，或x≤－1))))；當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－a＋2.(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，求實(shí)數(shù)a、b的值；(2)若b＝2，a>0，解關(guān)于x的不等式f(x)>0.解：(1)∵不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的兩根，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－a＋2＝0，,9a＋3b－a＋2＝0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2.))(2)當(dāng)b＝2時(shí)，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，∵a>0，∴(x＋1)(ax－a＋2)>0(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,a)))>0，①若－1＝eq\f(a－2,a)，即a＝1，解集為{x|x≠－1}；②若－1>eq\f(a－2,a)，即0<a<1，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a－2,a)或x>－1))))；③若－1<eq\f(a－2,a)，即a>1，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(a－2,a))))).題型2由二次不等式的解求參數(shù)的值或范圍例2已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.(1)若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；(2)設(shè)不等式對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．解：(1)對(duì)所有實(shí)數(shù)x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋m－2的圖象全部在x軸下方，當(dāng)m＝0時(shí)，－2x－2<0，顯然對(duì)任意x不能恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，由二次函數(shù)的圖象可知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝4－4m（m－2）<0，))解得m<1－eq\r(2).綜上可知m的取值范圍是(－∞，1－eq\r(2))．(2)設(shè)g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù)，由x2＋1>0知g(m)在[－2，2]上為增函數(shù)，則由題意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.所以x的取值范圍是(0，1)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴a的范圍是{a|－6≤a≤2}．(2)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對(duì)任意x∈[－2，2]恒成立，∴Δ≤0，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,f（－2）≥0.))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,f（2）≥0.))解得－7≤a≤2.∴a的范圍為{a|－7≤a≤2}．題型3三個(gè)二次之間的關(guān)系例3若關(guān)于x的不等式(2x－1)2<kx2的解集中整數(shù)恰好有2個(gè)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：因?yàn)樵坏仁降葍r(jià)于(－k＋4)x2－4x＋1<0，從而方程(－k＋4)x2－4x＋1＝0的判別式Δ＝4k>0，且有4－k>0，故0<k<4.又原不等式的解集為eq\f(1,2＋\r(k))<x<eq\f(1,2－\r(k))，且eq\f(1,4)<eq\f(1,2＋\r(k))<eq\f(1,2)，則1，2一定為所求的整數(shù)解，所以2<eq\f(1,2－\r(k))≤3，得k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，\f(25,9))).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，求a的取值范圍．解：原不等式可能為(x－1)(x－a)＜0，當(dāng)a＞1時(shí)得1＜x＜a，此時(shí)解集中的整數(shù)為2，3，4，則4＜a≤5，當(dāng)a＜1時(shí)得a＜x＜1，則－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．題型4一元二次不等式的應(yīng)用例4一個(gè)服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)p(元/件)之間的關(guān)系為p＝160－2x，生產(chǎn)x件的成本R＝500＋30x(元)．(1)該廠月產(chǎn)量多大時(shí)，月利潤(rùn)不少于1300元？(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)由題意知，月利潤(rùn)y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.由月利潤(rùn)不少于1300元，得－2x2＋130x－500≥1300.即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.故該廠月產(chǎn)量在20～45件時(shí)，月利潤(rùn)不少于1300元．(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(65,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3225,2)，由題意知，x為正整數(shù)．故當(dāng)x＝32或33時(shí)，y最大為1612.所以當(dāng)月產(chǎn)量為32或33件時(shí)，可獲最大利潤(rùn)1612元．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，總成本為G(x)(萬(wàn)元)，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)；銷售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足：R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，,10.2，x>5，))假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求下列問題．(1)要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？解：依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，則f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，,8.2－x，x>5.))(1)要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0，即x2－8x＋7<0，得1<x<7，∴1<x≤5.當(dāng)x>5時(shí)，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，∴5<x<8.2.綜上所述，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1<x<8.2，即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于100臺(tái)，小于820臺(tái)的范圍內(nèi)．(2)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，故當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最大值3.6；而當(dāng)x>5時(shí)，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多．1.(2014·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝m2＋m2－1<0，,f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.2.(2014·北京東城模擬)定義在R上的運(yùn)算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))解析：∵(x－y)×(x＋y)＝(x－y)(1－x－y)＝x－x2－y＋y2＜1.∴－y＋y2＜x2－x＋1，要使該不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則需有－y＋y2＜(x2－x＋1)min＝eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)＜y＜eq\f(3,2).3.(2014·南京二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,x2，x<0，))則不等式f(x2)＞f(3－2x)的解集是________．答案：(－∞，－3)∪(1，3)解析：當(dāng)x≤eq\f(3,2)時(shí)，原不等式化為x2＞3－2x，解得x＜－3或1＜x≤eq\f(3,2)；當(dāng)x＞eq\f(3,2)時(shí)，原不等式化為x2＞(3－2x)2，解得eq\f(3,2)＜x＜3.綜上，x＜－3或1＜x＜3.4.(2014·鹽城二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝－x2－3x，則不等式f(x－1)＞－x＋4的解集是________．答案：(4，＋∞)解析：由題意得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x，x≤0，,x2－3x，x>0，))f(x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－1）2－3（x－1），x－1≤0，,（x－1）2－3（x－1），x－1>0，))即f(x－1)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2，x≤1，,x2－5x＋4，x>1，))所以不等式f(x－1)＞－x＋4可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－x＋2>－x＋4，,x≤1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋4>－x＋4，,x>1，))解得x＞4.1.解關(guān)于x的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a2x2－2ax＋1<1，即ax(ax－2)<0.①當(dāng)a＝0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為0<0，故x無(wú)解．②當(dāng)a<0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為x(ax－2)>0，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))<0.∵eq\f(2,a)<0，∴不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<0)))).③當(dāng)a>0時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為x(ax－2)<0，又eq\f(2,a)>0，即原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,a))))).綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)a<0時(shí)，原不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)<x<0))))；當(dāng)a>0時(shí)，原不等式解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(2,a))))).2.函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．解：(1)∵x∈R，f(x)≥a恒成立，∴x2＋ax＋3－a≥0恒成立，則Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，則a的取值范圍為[－6，2]．(2)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋3－eq\f(a2,4).討論對(duì)稱軸與[－2，2]的位置關(guān)系，得到a的取值滿足下列條件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≤－2，,f（－2）≥a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＜－\f(a,2)＜2，,3－\f(a2,4)≥a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥2，,f（2）≥a，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥4，,7－2a≥a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4＜a＜4，,a2＋4a－12≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－4，,7＋2a≥a.))解得－7≤a≤2.∴當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，則a的取值范圍為[－7，2]．3.某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法來(lái)增加利潤(rùn)，已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件，問該商場(chǎng)將銷售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能使得每天所賺的利潤(rùn)最多？銷售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能保證每天所賺的利潤(rùn)在300元以上？解：設(shè)每件提高x元(0≤x≤10)，即每件獲利潤(rùn)(2＋x)元，每天可銷售(100－10x)件，設(shè)每天獲得總利潤(rùn)為y元，由題意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360.所以當(dāng)x＝4時(shí)，ymax＝360元，即當(dāng)定價(jià)為每件14元時(shí)，每天所賺利潤(rùn)最多．要使每天利潤(rùn)在300元以上，則有－10x2＋80x＋200＞300，即x2－8x＋10＜0，解得4－eq\r(6)＜x＜4＋eq\r(6).故每件定價(jià)在(14－eq\r(6))元到(14＋eq\r(6))元之間時(shí)，能確保每天賺300元以上．4.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對(duì)任意x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,m)))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))解析：由題意得：eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上恒成立．即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－4m2))≤(－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1)min，當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)函數(shù)y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解就是使二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)x的范圍，應(yīng)充分和二次函數(shù)圖象結(jié)合去理解一元二次不等式的解集表．2.解含參數(shù)的不等式(x－a)(x－b)>0，應(yīng)討論a與b的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào))，二算(計(jì)算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集)．3.應(yīng)注意討論ax2＋bx＋c>0的二次項(xiàng)系數(shù)a是否為0.4.要注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想．分類討論要做到“不重”、“不漏”、“最簡(jiǎn)”的三原則．請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練(A)第1課時(shí)(見活頁(yè))．[備課札記]

第2課時(shí)二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)87～88頁(yè))會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．①會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.③會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．1.(必修5P83練習(xí)1改編)若點(diǎn)P(a，3)在2x＋y<3表示的區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：a<0解析：點(diǎn)P(a，3)在2x＋y<3表示的區(qū)域內(nèi)，則2a＋3<3，解得a<0.2.(必修5P86練習(xí)2(1)改編)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))所表示的平面區(qū)域的面積是________．答案：25解析：直線x－y＋4＝0與直線x＋y＝0的交點(diǎn)為A(－2，2)，直線x－y＋4＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為B(3，7)，直線x＋y＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為C(3，－3)，則不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)以點(diǎn)A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)為頂點(diǎn)的三角形，所以其面積為S△ABC＝eq\f(1,2)×5×10＝25.3.(2014·南通期末)設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤3，,2x＋y≤4，))則z＝3x＋2y的最大值是________．答案：7解析：由題設(shè)可知可行域的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．從而(3x＋2y)max＝3×1＋2×2＝7.4.(必修5P34練習(xí)7改編)設(shè)變量x、y滿足約束條件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋2y≤2，,x≥－2，)))則z＝x－3y的最小值為________．答案：－8解析：畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線，如圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(－2，2)處取最小值－8.5.(2014·湖南)若x、y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥k，))且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝________．答案：－2解析：畫出可行域，如圖中陰影部分所示，不難得出z＝2x＋y在點(diǎn)A(k，k)處取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，直線y＝kx＋b把平面分成兩個(gè)區(qū)域，y>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的平面區(qū)域，y<kx＋b表示直線y＝kx＋b下方的平面區(qū)域．(2)選點(diǎn)法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域①任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)；②檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式；③若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的平面區(qū)域，否則，直線的另一側(cè)區(qū)域?yàn)椴坏仁剿硎镜钠矫鎱^(qū)域．(3)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域不等式組中各個(gè)不等式表示平面區(qū)域的公共區(qū)域．2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義約束條件變量x、y滿足的一次不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的線性函數(shù)可行域約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題題型1二元一次不等式表示的平面區(qū)域例1畫出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))表示的平面區(qū)域．解：不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及右下方的點(diǎn)的集合，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及左方的點(diǎn)的集合，所以不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3)))表示的平面區(qū)域如下圖所示．eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a＝________．答案：3解析：不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0，))所圍成的區(qū)域如圖所示．則A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1，∵S△ABC＝2，∴eq\f(1,2)(1＋a)×1＝2，解得a＝3.題型2線性規(guī)劃問題例2已知關(guān)于x、y的二元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤4，,x－y≤1，,x＋2≥0.))(1)求函數(shù)u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函數(shù)z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．解：(1)作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤4，,x－y≤1，,x＋2≥0))表示的平面區(qū)域，如圖所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率為3，在y軸上的截距為－u，隨u變化的一組平行線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的C點(diǎn)時(shí)，截距－u最大，即u最小，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x＋2＝0，))得C(－2，3)，∴umin＝3×(－2)－3＝－9.當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的B點(diǎn)時(shí)，截距－u最小，即u最大，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x－y＝1，))得B(2，1)，∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤4，,x－y≤1，,x＋2≥0))表示的平面區(qū)域，如圖所示．由z＝x＋2y＋2，得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z－1，得到斜率為－eq\f(1,2)，在y軸上的截距為eq\f(1,2)z－1，隨z變化的一組平行線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的A點(diǎn)時(shí)，截距eq\f(1,2)z－1最小，即z最小，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝1，,x＋2＝0，))得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.當(dāng)直線與直線x＋2y＝4重合時(shí)，截距eq\f(1,2)z－1最大，即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)若x、y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－4，2)解析：可行域?yàn)椤鰽BC，如圖，當(dāng)a＝0時(shí)，顯然成立．當(dāng)a＞0時(shí)，直線ax＋2y－z＝0的斜率k＝－eq\f(a,2)＞kAC＝－1，a＜2.當(dāng)a＜0時(shí)，k＝－eq\f(a,2)＜kAB＝2，∴a＞－4.綜上可得－4＜a＜2.題型3線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1kg、B原料2kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2kg，B原料1kg.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12kg.解：設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，公司共可獲得利潤(rùn)為z元/天，則由已知，得z＝300x＋400y，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，,y≥0，))畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y可變形為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,400)，這是隨z變化的一族平行直線，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,x＋2y＝12，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即A(4，4)，∴zmax＝1200＋1600＝2800(元)．故公司每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4桶、生產(chǎn)乙產(chǎn)品4桶時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)為2800元．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)某家俱公司生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的組合柜，每種柜的制造白坯時(shí)間，油漆時(shí)間及有關(guān)數(shù)據(jù)如下：工藝要求產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙生產(chǎn)能力/(臺(tái)/天)制白坯時(shí)間/天612120油漆時(shí)間/天8464若甲每臺(tái)可獲利20元，乙每臺(tái)可獲利24元．問該公司如何安排甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量可獲最大利潤(rùn)，并且最大利潤(rùn)是多少？解：設(shè)x，y分別為甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量，可將此題歸納為求如下線性目標(biāo)函數(shù)z＝20x＋24y的最大值．其中線性約束條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋12y≤120，,8x＋4y≤64，,x≥0，y≥0，))由圖可得最優(yōu)解為(4，8)，zmax＝272.答：該公司安排甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量分別為4臺(tái)和8臺(tái)可獲最大利潤(rùn)272元．1.已知0＜a＜1，loga(2x－y＋1)＞loga(3y－x＋2)，且λ＜x＋y，則λ的最大值為________．答案：－2解析：2x－y＋1<3y－x＋2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－1<0，,2x－y＋1>0，))作出可行域，則z＝x＋y經(jīng)過點(diǎn)(－1，－1)時(shí)最小，故x＋y>－2，所以λ的最大值為－2.2.(2014·常州期末)已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3，,y≤3，,x≤3，))則z＝5－x2－y2的最大值為________．答案：eq\f(1,2)解析：目標(biāo)函數(shù)z＝5－(x2＋y2)最大值，即求eq\r(x2＋y2)最小值．由幾何意義知在可行域中找點(diǎn)P(x，y)使得點(diǎn)P離原點(diǎn)距離最?。c(diǎn)P到直線l距離為eq\f(3,2)eq\r(2)時(shí)最短，則zmax＝5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\r(2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2).3.(2014·南師附中沖刺)設(shè)實(shí)數(shù)x、y、b滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))若z＝2x＋y的最小值為3，則實(shí)數(shù)b的值為________．答案：eq\f(9,4)解析：畫出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b))對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，可見當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過兩條直線y＝2x與y＝－x＋b的交點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)，\f(2b,3)))時(shí)，直線y＝－2x＋z的截距z取最小值eq\f(4b,3)，所以eq\f(4b,3)＝3，解得b＝eq\f(9,4).4.(2014·無(wú)錫期末)已知變量x、y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≤－x＋3，,y≥2x))則eq\f(y,x－2)的取值范圍是________．答案：[－2，0]解析：畫出可行域如圖，eq\f(y,x－2)等價(jià)于點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(2，0)連線的斜率；又kAB＝－2，kBO＝0，從而eq\f(y,x－2)∈[－2，0]．5.(2014·徐州二模)已知實(shí)數(shù)x、y滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥0，,x≤1，))則y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的最大值為________．答案：eq\f(1,2)解析：令z＝y(tǒng)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，作出指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，平移函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，如圖可見當(dāng)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋z的圖象經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z取最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＝1，))得A(1，1)，所以x＝y(tǒng)＝1時(shí)y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)取最大值eq\f(1,2).1.(2014·浙江)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))解析：作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))所表示的區(qū)域，由1≤ax＋y≤4得，由圖可知，a≥0，且在(1，0)點(diǎn)取得最小值，在(2，1)取得最大值，故a≥1，2a＋1≤4，故a取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).2.(2014·山東)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2eq\r(5)時(shí)，a2＋b2的最小值為________．答案：4解析：畫出約束條件表示的可行域(如圖所示)．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by過點(diǎn)A(2，1)時(shí)，z取得最小值，即2eq\r(5)＝2a＋b，所以2eq\r(5)－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2eq\r(5)－2a)2＝5a2－8eq\r(5)a＋20，構(gòu)造函數(shù)m(a)＝5a2－8eq\r(5)a＋20(eq\r(5)>a>0)，利用二次函數(shù)求最值，函數(shù)m(a)＝5a2－8eq\r(5)a＋20的最小值是eq\f(4×5×20－（8\r(5)）2,4×5)＝4，即a2＋b2的最小值為4.3.(2014·北京)若x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：若k≥0,z＝y(tǒng)－x沒有最小值；當(dāng)k<0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)線過可行域內(nèi)A點(diǎn)時(shí)z有最小值.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,kx－y＋2＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))，故zmin＝0＋eq\f(2,k)＝－4，即k＝－eq\f(1,2).4.制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能出的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬(wàn)元，問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元？才能使可能的盈利最大？解：設(shè)分別向甲、乙兩項(xiàng)目投資x萬(wàn)元、y萬(wàn)元，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0，))目標(biāo)函數(shù)z＝x＋0.5y，作出可行域，作直線l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直線l0的一組直線x＋0.5y＝z，z∈R，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，且與直線x＋0.5y＝0的距離最大，這里M點(diǎn)是直線x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交點(diǎn)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,0.3x＋0.1y＝1.8，))解得x＝4，y＝6，此時(shí)z＝1×4＋0.5×6＝7(萬(wàn)元)∵7>0，∴當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)z取得最大值．答：投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大．1.確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域，常用兩種方法：一是在直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)；二是將不等式化為y>kx＋b(<，≥，≤)．2.在線性約束條件下，當(dāng)b>0時(shí)，求目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最值的求解步驟(1)作出可行域；(2)作出直線l0：ax＋by＝0；(3)平移直線l0：ax＋by＝0，依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點(diǎn)；(4)解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最值．3.常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義(1)eq\r(x2＋y2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)的距離；(2)eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；(3)eq\f(y,x)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率值；(4)eq\f(y－b,x－a)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率值．請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練(B)第2課時(shí)(見活頁(yè))．[備課札記]

第3課時(shí)基本不等式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)89～90頁(yè))掌握基本不等式，能利用基本不等式推導(dǎo)不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．①了解基本不等式的證明過程.②會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題．1.(必修5P99練習(xí)4改編)若實(shí)數(shù)a、b滿足a＋b＝2，則3a＋3b答案：6解析：由基本不等式，得3a＋3b≥2eq\r(3a·3b)＝2eq\r(3a＋b)＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，所以3a＋3b的最小值是6.2.(必修5P105復(fù)習(xí)題9改編)若f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，則f(x)的最大值為________．答案：－4解析：∵x＜0，∴f(x)＝－[(－x)＋eq\f(1,（－x）)]－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時(shí)取等號(hào)．3.(必修5P105復(fù)習(xí)題10改編)若x>－3，則x＋eq\f(2,x＋3)的最小值為________．答案：2eq\r(2)－3解析：∵x＋3>0，∴x＋eq\f(2,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(2,x＋3)－3≥2eq\r(（x＋3）×\f(2,x＋3))－3＝2eq\r(2)－3.4.(必修5P107測(cè)試3改編)對(duì)任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))解析：由eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，所以a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋3x＋1)))eq\s\do7(max)，而eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)等號(hào)成立，∴a≥eq\f(1,5).5.(必修5P106復(fù)習(xí)題10改編)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，則m的最大值等于________．答案：9解析：原不等式恒成立等價(jià)于m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)的最小值，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，所以m≤9，即m的最大值為9.1.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對(duì)于正數(shù)a、b，我們把eq\f(a＋b,2)稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為a、b的幾何平均數(shù)．2.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0；(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)；(3)結(jié)論：兩個(gè)非負(fù)數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)．3.拓展：若a＞0，b＞0，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．[備課札記]

題型1利用基本不等式證明不等式例1已知x>0，y>0，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(4,x＋y).證明：(證法1)作差法．(證法2)等價(jià)于(x＋y)2≥4xy.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)(1)若a>b>c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)；(2)若a>b>c，求使得eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(k,a－c)恒成立的k的最大值．提示：(1)令a－b＝x，b－c＝y(tǒng)后同例1(2)4題型2利用基本不等式求最值例2過點(diǎn)(1，2)的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)OA＋OB最小時(shí)，求直線l的方程．解：(解法1)設(shè)點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)(a，b>0)，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.由題意知，點(diǎn)(1，2)在此直線上，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1.OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝1＋2＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)時(shí)取“＝”.又eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，解得a＝eq\r(2)＋1，b＝2＋eq\r(2).因此，當(dāng)OA＋OB最小時(shí)，直線l的方程為eq\f(x,\r(2)＋1)＋eq\f(y,2＋\r(2))＝1，即eq\r(2)x＋y－2－eq\r(2)＝0.(解法2)直線l過點(diǎn)(1，2)且斜率存在，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1).令y＝0得x＝1－eq\f(2,k)；令x＝0得y＝2－k，故得點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)，0))，B(0，2－k).因A，B分別在x，y軸正半軸上，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,k)>0，,2－k>0，))解得k<0.OA＋OB＝1－eq\f(2,k)＋2－k≥3＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))×（－k）).當(dāng)且僅當(dāng)－eq\f(2,k)＝－k時(shí)取“＝”.由于k<0解得k＝－eq\r(2)，所以直線l的方程為eq\r(2)x＋y－2－eq\r(2)＝0.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)正數(shù)x，y滿足eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解：(1)由1＝eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)≥2eq\r(\f(1,x)·\f(9,y))得xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,x)＝eq\f(9,y)，即y＝9x＝18時(shí)取等號(hào)，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝19＋eq\f(2y,x)＋eq\f(9x,y)≥19＋2eq\r(\f(2y,x)·\f(9x,y))＝19＋6eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2y,x)＝eq\f(9x,y)，即9x2＝2y2時(shí)取等號(hào)，故x＋2y的最小值為19＋6eq\r(2).題型3利用基本不等式解應(yīng)用題例3(2014·蘇北三市期末)某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)O的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30m，其中大圓弧所在圓的半徑為10m．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，y取得最大值？解：(1)設(shè)扇環(huán)的圓心角為θ，則30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝eq\f(10＋2x,10＋x).(2)花壇的面積為eq\f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)．裝飾總費(fèi)用為9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比y＝eq\f(－x2＋5x＋50,170＋10x)＝－eq\f(x2－5x－50,10（17＋x）).令t＝17＋x，則y＝eq\f(39,10)－eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(324,t)))≤eq\f(3,10)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝1，θ＝eq\f(12,11).答：當(dāng)x＝1時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)如圖，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點(diǎn)O處交匯，且它們的夾角為90°.已知OC＝4km，OC與公路l1夾角為60°.現(xiàn)規(guī)劃在公路l1，l2上分別選擇A，B兩處作為交匯點(diǎn)(異于點(diǎn)O)直接修建一條公路通過C城，設(shè)OA＝xkm，OB＝y(tǒng)(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出它的定義域；(2)試確定點(diǎn)A，B的位置，使△AOB的面積最?。猓?1)∵S△AOC＋S△BOC＝S△AOB，∴eq\f(1,2)x·4sin60°＋eq\f(1,2)y·4sin30°＝eq\f(1,2)xy，整理得y＝eq\f(2\r(3)x,x－2)，過C作OB平行線與OA交于D，OA>OD，故x>2.定義域?yàn)閧x|x>2}．(2)S△AOB＝eq\f(1,2)xy＝eq\r(3)eq\f(x2,x－2)，(x>2)，S△AOB＝eq\r(3)eq\f(x2,x－2)＝eq\r(3)eq\f(（x－2）2＋4（x－2）＋4,x－2)＝eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－2）＋\f(4,x－2)＋4)).∵x－2>0，∴x－2＋eq\f(4,x－2)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＝4即x＝4時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)x＝4時(shí)，S△AOB有最小值為8eq\r(3).答：當(dāng)OA＝4km，OB＝4eq\r(3)km時(shí)1.(2014·蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知正數(shù)x、y滿足x＋2y＝2，則eq\f(x＋8y,xy)的最小值為________．答案：9解析：eq\f(x＋8y,xy)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(8,x)))(x＋2y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋8＋\f(x,y)＋\f(y,x)·16))≥eq\f(1,2)(10＋2eq\r(16))＝eq\f(1,2)×18＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,y)＝4，x＋2y＝2，即y＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(4,3)時(shí)“＝”成立．2.(2014·蘇州期末)已知正實(shí)數(shù)x、y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________．答案：2eq\r(6)－3解析：由xy＋2x＋y＝4，解得y＝eq\f(4－2x,x＋1)，則x＋y＝x－2＋eq\f(6,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(6,x＋1)－3≥2eq\r(6)－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\r(6)時(shí)“＝”成立．3.(2014·鎮(zhèn)江期末)已知x>0，y>0，若不等式x3＋y3≥kxy(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為________．答案：1解析：由題設(shè)知k≤eq\f(（x＋y）（x2－xy＋y2）,（x＋y）（xy）)，∴k≤eq\f(x2－xy＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1恒成立．∵eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)－1≥2－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)“＝”成立，從而k≤1，即k的最大值為1.4.(2014·南通一模)設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2＋b2≤c≤1，則a＋b＋c的最小值為________．答案：－eq\f(1,2)解析：由題意知a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2，∵eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，∴a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)，從而a＋b＋c≥eq\f(（a＋b）2,2)＋(a＋b)＝eq\f(1,2)(a＋b＋1)2－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2)，“＝”當(dāng)且僅當(dāng)c＝a2＋b2，a＝b，a＋b＝－1即a＝b＝－eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)時(shí)成立．5.(2014·江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，則cosC的最小值是________．答案：eq\f(\r(6)－\r(2),4)解析：由已知sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋eq\r(2)b＝2c，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(2)b,2)))\s\up12(2),2ab)＝eq\f(3a2＋2b2－2\r(2)ab,8ab)≥eq\f(2\r(6)ab－2\r(2)ab,8ab)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝2b2，即eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),\r(3))時(shí)等號(hào)成立，所以cosC的最小值為eq\f(\r(6)－\r(2),4).1.設(shè)a>0，b>0，且不等式eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為________．答案：－4解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(k,a＋b)≥0得k≥－eq\f(（a＋b）2,ab)，而eq\f(（a＋b）2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋2≥4(a＝b時(shí)取等號(hào))，所以－eq\f(（a＋b）2,ab)≤－4，因此要使k≥－eq\f(（a＋b）2,ab)恒成立，應(yīng)有k≥－4，即k的最小值等于－4.2.已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－4，2)解析：由x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，得x＋2y＝(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)時(shí)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)．又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此時(shí)x＝4，y＝2，所以(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.3.(2014·鎮(zhèn)江期末)過去的2013年，我國(guó)多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來(lái)每只成本為6元，售價(jià)為8元，月銷售5萬(wàn)只．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬(wàn)只，要使月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)(月總利潤(rùn)＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價(jià)最多為多少元？(2)為提高月總利潤(rùn)，廠家決定下月進(jìn)行營(yíng)銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x(x≥9)元，并投入eq\f(26,5)(x－9)萬(wàn)元作為營(yíng)銷策略改革費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少eq\f(0.2,（x－8）2)萬(wàn)只．則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn)．解：(1)設(shè)每只售價(jià)為x元，則月銷售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))萬(wàn)只，由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))(x－6)≥(8－6)×5，∴eq\f(2,5)x2－eq\f(53,5)x＋eq\f(296,5)≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得8≤x≤eq\f(37,2)，即每只售價(jià)最多為18.5元．(2)下月的月總利潤(rùn)y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×\f(0.2,（x－8）2)))(x－6)－eq\f(26,5)(x－9)＝eq\f(2.4－0.4x,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(234－150,5)＝eq\f(－0.4（x－8）－0.8,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(84,5)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5（x－8）)＋\f(x－8,5)))＋eq\f(74,5).∵x≥9，∴eq\f(4,5（x－8）)＋eq\f(x－8,5)≥2eq\r(\f(4,25))＝eq\f(4,5)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,5（x－8）)＝eq\f(x－8,5)，即x＝10，ymax＝14.答：當(dāng)x＝10時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為14萬(wàn)元．4.某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)時(shí)決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分)，水塘可近似看作一個(gè)等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，經(jīng)測(cè)量得到AE＝10m，EF＝20m．為保證安全同時(shí)考慮美觀，健身廣場(chǎng)周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個(gè)保護(hù)欄．設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)過點(diǎn)G作一直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場(chǎng)(1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，市民健身廣場(chǎng)的面積最大？并求出最大面積．解：(1)作GH⊥EF，垂足為H，因?yàn)镈N＝x，所以NH＝40－x，NA＝60－x.因?yàn)閑q\f(NH,HG)＝eq\f(NA,AM)，所以eq\f(40－x,10)＝eq\f(60－x,AM)，所以AM＝eq\f(600－10x,40－x).過M作MT∥BC交CD于T，則SMBCDN＝SMBCT＋SMTDN＝(40－AM)×60＋eq\f(1,2)(x＋60)×AM，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(600－10x,40－x)))×60＋eq\f(1,2)×eq\f(（x＋60）（600－10x）,40－x)＝2400－eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－x))2,40－x).由于N與F重合時(shí)，AM＝AF＝30適合條件，故x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，30)).(2)y＝2400－eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－x))2,40－x)＝2400－5[(40－x)＋eq\f(400,40－x)＋40]．所以當(dāng)且僅當(dāng)40－x＝eq\f(400,40－x)，即x＝20∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，30))時(shí)，y取得最大值2000.答：當(dāng)DN＝20m時(shí)，得到的市民健身廣場(chǎng)面積最大，最大面積為20005.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前2011項(xiàng)和等于2011，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)的最小值為________．答案：2解析：由題意得S2011＝eq\f(2011（a1＋a2011）,2)＝2011，∴a1＋a2011＝2.又a2＋a2010＝a1＋a2011＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,a2010)))(a2＋a2010)＝eq\f(1,2)(eq\f(a2010,a2)＋eq\f(a2,a2010))＋1≥2.1.a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a≥0，b≥0，使用時(shí)要注意公式成立的前提條件．2.在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“一正”(即條件中字母為正數(shù))，“二定”(不等式的另一邊必須為定值)，“三相等”(等號(hào)取得的條件)．3.正確理解定理：“和一定，相等時(shí)積最大；積一定，相等時(shí)和最小”．4.連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．5.函數(shù)y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的單調(diào)性要掌握，特別是運(yùn)用基本不等式不能滿足“三相等”時(shí)．請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練(A)第3課時(shí)(見活頁(yè))．[備課札記]

第4課時(shí)不等式的綜合應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)91～92頁(yè))掌握不等式的綜合應(yīng)用；掌握基本不等式的綜合應(yīng)用；掌握不等式與其他函數(shù)方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用．應(yīng)用性問題的基本思路：讀題(背景、結(jié)論)——條件——建?！忸}——反思——作答．1.(必修5P102習(xí)題7改編)函數(shù)y＝x＋eq\f(4,x)(x≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：當(dāng)x>0時(shí)，y＝x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，當(dāng)x<0時(shí)，y＝x＋eq\f(4,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))≤－2eq\r(（－x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝－4.2.(必修5P102習(xí)題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價(jià)．方案甲：第一次提價(jià)p%，第二次提價(jià)q%；方案乙：第一次提價(jià)q%，第二次提價(jià)p%；方案丙：第一次提價(jià)eq\f(p＋q,2)%，第二次提價(jià)eq\f(p＋q,2)%.其中p>q>0，上述三種方案中提價(jià)最多的是________．答案：方案丙解析：設(shè)原來(lái)價(jià)格為A，方案甲：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,100)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(q,100)))＝Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,100)＋\f(pq,10000)))；方案乙：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,100)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(q,100)))；方案丙：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,200)))eq\s\up12(2)＝A[1＋eq\f(p＋q,100)＋eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)）2·\f(1,10000))).因?yàn)閑q\f(p＋q,2)>eq\r(pq)，所以方案丙提價(jià)最多．3.設(shè)x∈R，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)，若不等式f(x)＋f(2x)≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案：k≥2解析：不等式化為k≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|2x|)，因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)∈(0，1]，所以k≥2.4.(必修5P106復(fù)習(xí)題16改編)已知x>0，y>0且滿足eq\f(2,x)＋eq\f(8,y)＝1，則x＋y的最小值是________.答案：18解析：∵x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(8,y)))＝2＋8＋eq\f(2y,x)＋eq\f(8x,y)，x>0，y>0，∴eq\f(2y,x)>0，eq\f(8x,y)>0，x＋y≥10＋2eq\r(16)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2y,x)＝eq\f(8x,y)時(shí)等號(hào)成立．又eq\f(2,x)＋eq\f(8,y)＝1,∴當(dāng)x＝6，y＝12時(shí)，x＋y有最小值18.5.(必修5P98練習(xí)2(2)改編)若正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．答案：[9，＋∞)解析：由a，b∈R＋，得a＋b≥2eq\r(ab)，則ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，即ab－2eq\r(ab)－3≥0(eq\r(ab)－3)(eq\r(ab)＋1)≥0eq\r(ab)≥3，∴ab≥9.[備課札記]題型1含參數(shù)的不等式問題例1若不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,2x2＋（5＋2k）x＋5k＜0))的解集中所含整數(shù)解只有－2，求k的取值范圍．解：由x2－x－2>0有x＜－1或x＞2，由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0.因?yàn)椋?是原不等式組的解，所以k＜2.由(2x＋5)·(x＋k)＜0有－eq\f(5,2)＜x＜－k.因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有－2，所以－2＜－k≤－1，即1≤k＜2，故k的取值范圍是[1，2)．eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知函數(shù)f(x)＝lg[(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1]的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，∴對(duì)于任意x∈R，恒有(m2－3m＋2)x2＋(m－1)x＋1>0，①若m2－3m＝2＝0，則m＝2或1，當(dāng)m＝1時(shí)，不等式即為1>0，符合題意，當(dāng)m＝2時(shí)，不等式即為2x＋1>0，不恒成立，∴m＝2不合題意，舍去．②若m2－3m＋2≠0，由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2>0，,Δ＝（m－1）2－4（m2－3m＋2）<0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1或m>2，,m<1或m>\f(7,3)，))即m<1或m>eq\f(7,3).綜上可得，m的取值范圍是m≤1或m>eq\f(7,3).題型2基本不等式的靈活運(yùn)用例2設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)eq\f(xy,z)取得最大值時(shí)，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值為________．答案：