2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 4-2平面 課件（40張）

4.2平面新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解關(guān)于平面的三個(gè)基本事實(shí)．1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用符號(hào)語言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．(直觀想象)3．能用三個(gè)基本事實(shí)證明簡(jiǎn)單的共面、共線問題．(邏輯推理)新知初探·課前預(yù)習(xí)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一平面概念幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的畫法通常用一個(gè)平行四邊形來代替平面表示方法(1)用小寫希臘字母：如α，β，γ，…來表示；(2)用表示平面的平行四邊形頂點(diǎn)字母表示；(3)用表示平面的平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)字母來表示．狀元隨筆(1)平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量；(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．要點(diǎn)二空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的符號(hào)表示數(shù)學(xué)符號(hào)表示文字語言表達(dá)圖形語言表達(dá)________點(diǎn)A在直線l上________點(diǎn)A在直線l外________點(diǎn)A在平面α內(nèi)________點(diǎn)A在平面α外A∈lA?lA∈αA?α________直線l在平面α內(nèi)________直線l在平面α外________直線l，m相交于點(diǎn)A________平面α，β相交于直線ll?αl?α

要點(diǎn)三平面的基本事實(shí)與推論

內(nèi)容圖形符號(hào)推論基本事實(shí)1如果一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l且A∈α，B∈α?______

基本事實(shí)2過_____________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α推論1一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面．推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面．兩個(gè)點(diǎn)AB?α不在一條直線上基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α且

P∈β?____________

狀元隨筆(1)基本事實(shí)1的作用：①用直線檢驗(yàn)平面(常被應(yīng)用于實(shí)踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿)；②判斷直線是否在平面內(nèi)(經(jīng)常被用于立體幾何的證明中).(2)基本事實(shí)2的作用：①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面.基本事實(shí)2中要注意條件“不在同一條直線上的三點(diǎn)”，事實(shí)上，共線的三點(diǎn)是不能確定一個(gè)平面的．同時(shí)要注意經(jīng)過一點(diǎn)、兩點(diǎn)或在同一條直線上的三點(diǎn)可能有無數(shù)個(gè)平面；過不在同一條直線上的四點(diǎn)，不一定有平面．因此，要充分重視“不在同一條直線上的三點(diǎn)”這一條件的重要性．(3)基本事實(shí)3的主要作用：①判定兩個(gè)平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共點(diǎn)問題．基本事實(shí)3強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)不重合的平面，只要它們有公共點(diǎn)，其交集就是一條直線．以后若無特別說明，“兩個(gè)平面”是指不重合的兩個(gè)平面．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m，寬是20m，厚20cm.(

)(2)一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．(

)(3)空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面．(

)(4)四邊形是平面圖形．(

)××××2．如果a?α，b?α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列關(guān)系成立的是(

)A．l?α

B．l?αC．l∩α＝A

D．l∩α＝B答案：A

3．如果空間四點(diǎn)A、B、C、D不共面，那么下列判斷正確的是(

)A．A、B、C、D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B．A、B、C、D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行答案：B解析：A、B、C、D四點(diǎn)中若有三點(diǎn)共線，則必與另一點(diǎn)共面；直線AB與CD既不平行也不相交，否則A、B、C、D共面．題型探究·課堂解透題型1文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化例1

(1)若A，B表示點(diǎn)，a表示直線，α表示平面，則下列敘述中正確的是(

)A．若A?α，B?α，則AB?αB．若A∈α，B∈α，則AB∈αC．若A?a，a?α，則AB?αD．若A∈a，a?α，則A∈α解析：點(diǎn)與面的關(guān)系用符號(hào)∈，而不是?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；直線與平面的關(guān)系用?表示，則AB∈α表示錯(cuò)誤；點(diǎn)A不在直線a上，但只要A，B都在平面α內(nèi)，也存在AB?α，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；A∈a，a?α，則A∈α，所以選項(xiàng)D正確．故選D.答案：D(2)如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．

方法歸納(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示．(2)要注意符號(hào)語言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示；直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．(3)根據(jù)已知符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點(diǎn)．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號(hào)表示為________．P∈l

(2)根據(jù)下列條件畫出圖形：α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB.解析：圖形如圖所示．題型2點(diǎn)、線共面問題例2

已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．

方法歸納證明點(diǎn)線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．跟蹤訓(xùn)練2

如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面．解析：方法一(輔助平面法)因?yàn)閍∥b，所以a，b確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈a，B∈b，所以a∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l?α.因?yàn)镃∈l，所以C∈α，所以直線a與點(diǎn)C同在平面α內(nèi)．又a∥c，所以直線a，c確定一個(gè)平面β.因?yàn)镃∈c，c?β，所以C∈β，即直線a與點(diǎn)C同在平面β內(nèi)．由推論1，可得平面α和平面β重合，則c?α.所以a，b，c，l共面．方法二(納入平面法)因?yàn)閍∥b，所以a，b確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l?α.則a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面內(nèi)．因?yàn)檫^a與l只能確定一個(gè)平面，所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面．題型3三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題例3

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．

方法歸納(1)證明三點(diǎn)共線的方法(2)證明三線共點(diǎn)的步驟跟蹤訓(xùn)練3

已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．

易錯(cuò)辨析忽略基本事實(shí)的重要條件致誤例4已知A，B，C，D，E五點(diǎn)中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點(diǎn)的位置關(guān)系是(

)A．共面B．不共面C．共線D．不確定答案：D解析：分兩類進(jìn)行討論．(1)若B，C，D三點(diǎn)不共線，則它們確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在平面α內(nèi)．因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E在平面α內(nèi)．所以點(diǎn)A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面．(2)若B，C，D三點(diǎn)共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面，但平面不唯一；若A，E中有且只有一個(gè)在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)可能共面，也可能不共面．易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得解本題時(shí)易誤認(rèn)為因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在B，C，D所確定的平面內(nèi)，因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)，所以點(diǎn)A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面．以上錯(cuò)解忽略了基本事實(shí)1中“不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)”這個(gè)重要條件．實(shí)際上B，C，D三點(diǎn)有可能共線．對(duì)于確定平面問題，在應(yīng)用基本事實(shí)1及三個(gè)推論時(shí)一定要注意它們成立的前提條件．課堂十分鐘1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是(

)答案：D解析：畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示．2．空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是(

)A．三個(gè)點(diǎn)

B．四個(gè)點(diǎn)C．三角形

D．四邊形答案：C解析：由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A項(xiàng)中，不共線的三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；在B項(xiàng)中，不共線的四個(gè)點(diǎn)最多能確定四個(gè)平面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；在C項(xiàng)中，由于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，因此三角形能確定一個(gè)平面，故C項(xiàng)正確；在D項(xiàng)中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．3．如果A點(diǎn)在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在α內(nèi)，可以表示為(

)A．A?a，a?α，B∈α