2024屆山西省汾陽市汾陽中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆山西省汾陽市汾陽中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)則（）A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于22．小紅和小明利用體育課時(shí)間進(jìn)行投籃游戲，規(guī)定雙方各投兩次，進(jìn)球次數(shù)多者獲勝．已知小紅投籃命中的概率為，小明投籃命中的概率為，且兩人投籃相互獨(dú)立，則小明獲勝的概率為（）A． B． C． D．3．已知，則滿足成立的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形5．在等差數(shù)列{an}中，，角α頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)（a2，a1+a3），則cos2α＝（）A． B． C． D．6．某市委積極響應(yīng)十九大報(bào)告提出的“到2020年全面建成小康社會(huì)”的目標(biāo)，鼓勵(lì)各縣積極脫貧，計(jì)劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個(gè)貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個(gè)縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)（）的所有零點(diǎn)之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．72種 B．52種 C．36種 D．24種9．若某校研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計(jì)劃同時(shí)參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個(gè)展廳，6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在每個(gè)展廳參觀一小時(shí)后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲，乙，丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人；事件B為：在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人，則（）．A． B． C． D．10．為了落實(shí)中央提出的精準(zhǔn)扶貧政策，永濟(jì)市人力資源和社會(huì)保障局派人到開張鎮(zhèn)石橋村包扶戶貧困戶，要求每戶都有且只有人包扶，每人至少包扶戶，則不同的包扶方案種數(shù)為（）A． B． C． D．11．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，則下列假設(shè)中正確的是（）A．方程沒有實(shí)根 B．方程至多有一個(gè)實(shí)根C．方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．方程至多有兩個(gè)實(shí)根二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若甲、乙兩人從5門課程中各選修2門，則甲、乙所選修的課程都不相同的選法種數(shù)為___．14．為定義在上的奇函數(shù)，且，則_____．15．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．16．已知一個(gè)總體為：、、、、，且總體平均數(shù)是，則這個(gè)總體的方差是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128.（1）求展開式中的有理項(xiàng)；（2）求展開后所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和.18．（12分）某大學(xué)學(xué)生會(huì)為了調(diào)查了解該校大學(xué)生參與校健身房運(yùn)動(dòng)的情況，隨機(jī)選取了100位大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：參與不參與總計(jì)男大學(xué)生30女大學(xué)生50總計(jì)45100（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為參與校健身房運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？請(qǐng)說明理由.附：，其中.0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，求a的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知集合，．(1)分別求，；(2)已知集合，若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．22．（10分）已知1．（1）求tan（）的值；（1）求3sin1θ+4cos1θ的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由基本不等式，a，b都是正數(shù)可解得．【題目詳解】由題a，b，c都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式可得，若，，都小于2，則與不等式矛盾，因此，至少有一個(gè)不小于2；當(dāng)，，都等于2時(shí)，選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤，都等于3時(shí)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式，此類題干中有多個(gè)互為倒數(shù)的項(xiàng)，一般都可以先用不等式求式子范圍，再根據(jù)題目要求解題．2、D【解題分析】

由題意可知，用表示小明、小紅的進(jìn)球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時(shí)，進(jìn)球情況應(yīng)該是，由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可求得?！绢}目詳解】由題意可知，用表示小明、小紅的進(jìn)球數(shù)，所以當(dāng)小明獲勝時(shí)，進(jìn)球情況應(yīng)該是，小明獲勝的概率是故選D?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類討論思想意識(shí)以及運(yùn)算能力。3、B【解題分析】由題意，函數(shù)，滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以，解得或，故選B.4、B【解題分析】分析：根據(jù)題意利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡得到A=B，即可確定出三角形形狀．詳解：設(shè)已知方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC為等腰三角形．故選B．點(diǎn)睛：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識(shí)有：根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．5、A【解題分析】

利用等差數(shù)列的知識(shí)可求的值，然后利用的公式可求.【題目詳解】由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可知，所以，所以.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)求值，注意齊次式的轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6、B【解題分析】

由古典概型及其概率計(jì)算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【題目詳解】由已知有分別從，兩個(gè)縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意與古典概率模型的聯(lián)系.7、D【解題分析】分析：首先根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)稱性畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像，再根據(jù)函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)來求得函數(shù)的零點(diǎn)的和.詳解：因?yàn)楣屎瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，令，即，畫出函數(shù)與函數(shù)圖像如下圖所示，由于可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于對(duì)稱，兩個(gè)函數(shù)圖像一共有個(gè)交點(diǎn)，對(duì)稱的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為，故函數(shù)的個(gè)零點(diǎn)的和為.故選D.點(diǎn)睛：本小題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)的零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.解決函數(shù)的零點(diǎn)問題有兩個(gè)方法，一個(gè)是利用零點(diǎn)的存在性定理，即二分法來解決，這種方法用在判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間很方便.二個(gè)是令函數(shù)等于零，變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)來得到函數(shù)的零點(diǎn).8、C【解題分析】

當(dāng)丙在第一或第五位置時(shí)，有種排法；當(dāng)丙在第二或第四位置時(shí)，有種排法；當(dāng)丙在第三或位置時(shí)，有種排法；則不同的排法種數(shù)為36種.9、A【解題分析】

先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【題目詳解】由于6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，總的基本事件有個(gè)；事件A包含的基本事件有個(gè)；在事件A發(fā)生的條件下，在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人的基本事件為個(gè)，而總的基本事件為，故所求概率為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率的求解，注意使用縮小事件空間的方法求解.10、C【解題分析】

先分組再排序，可得知這人所包扶的戶數(shù)分別為、、或、、，然后利用分步計(jì)數(shù)原理可得出所求方案的數(shù)目.【題目詳解】由題意可知，這人所包扶的戶數(shù)分別為、、或、、，利用分步計(jì)數(shù)原理知，不同的包扶方案種數(shù)為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的綜合問題，考查分配問題，求解這類問題遵循先分組再排序的原則，再分組時(shí)，要注意平均分組的問題，同時(shí)注意分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11、C【解題分析】

先求出的外接圓的半徑，然后取的外接圓的圓心，過作，且，由于平面，故點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，為外接球半徑，求解即可.【題目詳解】在中，，，可得，則的外接圓的半徑，取的外接圓的圓心，過作，且，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則，即外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球表面積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.12、C【解題分析】

由二次方程實(shí)根的分布，可設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根．【題目詳解】證明“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”，由反證法的步驟可得第一步假設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的運(yùn)用，注意解題步驟，以及假設(shè)及否定的敘述，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解題分析】

根據(jù)題意知，采用分步計(jì)數(shù)方法，第一步，甲從５門課程中選２門，有種選法；第二步乙從剩下的３門中選２門，有種選法，兩者相乘結(jié)果即為所求的選法種數(shù)．【題目詳解】．故答案為３０．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，分步要做到“步驟完整”，各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)立”確保不重復(fù)．14、【解題分析】

根據(jù)已知將x=x+2代入等式可得，可知為周期T=4的周期函數(shù)，化簡，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得其值．【題目詳解】由題得，則有，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，那么，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)，屬于常見考題．15、【解題分析】

根據(jù)題意，可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝+1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【題目詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝+1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）max＝f（﹣）＝，如圖所示：則0＜+1＜，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣2＜＜．故答案為（﹣2，）．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．16、【解題分析】

利用總體平均數(shù)為求出實(shí)數(shù)的值，然后利用方差公式可求出總體的方差.【題目詳解】由于該總體的平均數(shù)為，則，解得.因此，這個(gè)總體的方差為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的計(jì)算，利用平均數(shù)和方差公式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，，，(2)21【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，求的，寫出二項(xiàng)展示的通項(xiàng)，即可得到展開式的有理項(xiàng)；（2）由題意，展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和，即為展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，即可求解.詳解：根據(jù)題意，，（1）展開式的通項(xiàng)為.于是當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)為有理項(xiàng)，即有理項(xiàng)為（2）展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和，即為展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，在中令x＝1得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1＋2）7＝37＝21．所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為21.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題，二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．18、（1）見解析（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為參與校健身房運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)【解題分析】

（1）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.（2）將表格中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算即可求出k的取值，根據(jù)參考值得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）參與不參與總計(jì)男大學(xué)生302050女大學(xué)生153550總計(jì)4555100（2）因?yàn)榈挠^測值，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為參與校健身房運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）或【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間以及，時(shí)的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先利用有解求出的大致范圍，再證明在該范圍內(nèi)即可?！绢}目詳解】（1）當(dāng)，，所以，由于，可得．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（2）由題意知必有解，即有解，所以，即直線與曲線有交點(diǎn)．則，令得和；令得和．所以和，為增函數(shù)；和，為減函數(shù)．，當(dāng)時(shí)，恒成立；所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，；，即時(shí)，，的圖像如圖所示．直線與曲線有交點(diǎn)，即或，所以或，下證，先證，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即；當(dāng)時(shí)，若，因?yàn)樵跁r(shí)的值域是，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以：；當(dāng)時(shí)，若，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)；所以時(shí)，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以，綜上，或．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。20、（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）【解題分析】

試題分析：第一問，將代入中確定函數(shù)的解析式，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時(shí)，函數(shù)有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數(shù)的定義域；第二問，對(duì)求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對(duì)和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，，又是一個(gè)恒成立，整理表達(dá)式，即對(duì)任意恒成立，所以再求即可.試題解析：（1）