甘肅省臨夏市臨夏中學2024屆數(shù)學高二下期末考試試題含解析

甘肅省臨夏市臨夏中學2024屆數(shù)學高二下期末考試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．2．設,則（）A． B． C． D．3．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A． B． C． D．4．直線的斜率為（）A． B． C． D．5．為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進行檢驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5D．7，17，27，37，476．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．37．已知點P(x，y)的坐標滿足條件那么點P到直線3x－4y－13＝0的距離的最小值為()A．2 B．1 C． D．8．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)的“新駐點”分別為那么的大小關系是（）A． B． C． D．9．曲線在點處的切線方程是()A． B．C． D．10．同學聚會時，某宿舍的4位同學和班主任老師排隊合影留念，其中宿舍長必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．56 C．60 D．12011．已知（ax）5的展開式中含x項的系數(shù)為﹣80，則（ax﹣y）5的展開式中各項系數(shù)的絕對值之和為（）A．32 B．64 C．81 D．24312．已知復數(shù)，則（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，，，且，則與的夾角等于________14．已知為橢圓的左、右焦點，若橢圓C上恰有6個不同的點P，使得為直角三角形，則橢圓的離心率為__________.15．已知，則展開式中的系數(shù)為__________．16．顏色不同的個小球全部放入個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的方法有__________．（用數(shù)值回答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間與極值.18．（12分）如圖，底面，四邊形是正方形，.(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)（1）計算；（2）若在上單調遞減，求實數(shù)的范圍20．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）現(xiàn)有9名學生，其中女生4名，男生5名.（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？（3）從中選4人分別擔任四個不同崗位的志愿者，每個崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內，有多少種安排方法？22．（10分）設函數(shù)的導函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導函數(shù)”.（1）請舉一個“超導函數(shù)”的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導函數(shù)”，且其中一個在R上單調遞增，另一個在R上單調遞減，求證：函數(shù)是“超導函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導函數(shù)”且方程無實根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

首先可換元，，通過再利用基本不等式即可得到答案.【題目詳解】由題意，可令，，則，，于是，而，，故的最小值為，故答案為D.【題目點撥】本題主要考查基本不等式的綜合應用，意在考查學生的轉化能力，計算能力，難度中等.2、A【解題分析】

利用中間值、比較大小，即先利用確定三個數(shù)的正負，再將正數(shù)與比較大小，可得出三個數(shù)的大小關系．【題目詳解】由于函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則，且，，由于函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則，因此，，故選A.【題目點撥】本題考查指對數(shù)混合比大小，常用方法就是利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，結合中間值法來建立橋梁來比較各數(shù)的大小關系，屬于?？碱}，考查分析問題的能力，屬于中等題．3、D【解題分析】

利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【題目詳解】解：D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，可得，x，，則，當且僅當時取等號，并且，函數(shù)的開口向下，對稱軸為：，當或時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．4、A【解題分析】

將直線方程化為斜截式，可得出直線的斜率．【題目詳解】將直線方程化為斜截式可得，因此，該直線的斜率為，故選A．【題目點撥】本題考查直線斜率的計算，計算直線斜率有如下幾種方法：（1）若直線的傾斜角為且不是直角，則直線的斜率；（2）已知直線上兩點、，則該直線的斜率為；（3）直線的斜率為；（4）直線的斜率為.5、D【解題分析】此題考查系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的間隔為：k=50答案D點評：掌握系統(tǒng)抽樣的過程6、D【解題分析】

因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”時，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機事件的概率計算公式，即可計算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時，所有的基本事件有4個，符合“抽到紅心”的基本事件有2個，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點撥】本題給出無放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機事件的概率等知識，屬于基礎題．7、A【解題分析】

由約束條件作出可行域，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，由點到直線的距離公式求得點到直線的最小值，即可求解．【題目詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，由圖可知，當與重合時，點到直線的距離最小為．故選：A．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．8、D【解題分析】

由已知得到：，對于函數(shù)h（x）=lnx，由于h′（x）=

令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2

，且，選D.9、D【解題分析】

求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（0）＝﹣2，再求出f（0），由直線方程的點斜式得答案．【題目詳解】f′（x）＝，∴f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣1∴函數(shù)圖象在點（0，f（0））處的切線方程是y+1＝﹣2（x﹣0），即故選：D【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題．10、A【解題分析】

采用捆綁法，然后全排列【題目詳解】宿舍長必須和班主任相鄰則有種可能，然后運用捆綁法，將其看成一個整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【題目點撥】本題考查了排列中的位置問題，運用捆綁法來解答即可，較為基礎11、D【解題分析】

由題意利用二項展開式的通項公式求出的值，可得即

，本題即求的展開式中各項系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項系數(shù)的和．【題目詳解】的展開式的通項公式為令，求得，可得展開式中含項的系數(shù)為，解得，則所以其展開式中各項系數(shù)的絕對值之和，即為的展開式中各項系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項系數(shù)的和為.故選D項.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題12、D【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的模長公式進行計算即可．【題目詳解】z＝8+6i，則8﹣6i，則||10，故選：D．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的模長的計算，根據(jù)條件求出是解決本題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由平面向量數(shù)量積的運算的：，即與的夾角等于【題目詳解】由，，所以，，，所以，即與的夾角等于，故答案為：【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算、向量的夾角公式、向量模的求法，屬于基礎題。14、【解題分析】

由題意，問題等價于橢圓上存在兩點使直線與直線垂直，可得，從而得到橢圓的離心率?！绢}目詳解】一方面，以為直角頂點的三角形共有4個；另一方面，以橢圓的短軸端點為直角頂點的三角形有兩個，此時，則橢圓的離心率為.【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質，考查學生的分析轉化能力，解題的關鍵是把問題轉化為橢圓上存在兩點使直線與直線垂直，屬于中檔題。15、448.【解題分析】由題意可得：,則展開式的通項公式為：，令可得：,則的系數(shù)為：.16、1【解題分析】分析：利用擋板法把4個小球分成3組，然后再把這3組小球全排列，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得所有的不同放法的種數(shù)．詳解：在4個小球之間插入2個擋板，即可把4個小球分成3組，方法有種．

然后再把這3組小球全排列，方法有種．

再根據(jù)分步計數(shù)原理可得所有的不同方法共有種，

故答案為1．點睛：本題主要考查排列、組合以及簡單計數(shù)原理的應用，利用擋板法把4個小球分成3組，是解題的關鍵，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；極小值為，無極大值.【解題分析】

首先求得；（1）將代入求得且點坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，利用點斜式可得切線方程；（2）令導函數(shù)等于零，求得，從而可得導函數(shù)在不同區(qū)間內的符號，進而得到單調區(qū)間；根據(jù)極值的定義可求得極值.【題目詳解】由得：（1）在處切線斜率：，又所求切線方程為：，即：（2）令，解得：當時，；當時，的單調遞減區(qū)間為：；單調遞增區(qū)間為：的極小值為：；無極大值【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求解曲線在某一點處的切線方程、求解導數(shù)的單調區(qū)間和極值的問題，考查學生對于導數(shù)基礎應用的掌握.18、（1）見解析；（2）直線與平面所成角的余弦值為.【解題分析】分析：(1)先根據(jù)線面平行判定定理得平面，平面.，再根據(jù)面面平行判定定理得結論，(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解得平面的一個法向量，利用向量數(shù)量積求得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系得結果.詳解：(Ⅰ)因為，平面，平面，所以平面.同理可得，平面.又,所以平面平面.（Ⅱ）（向量法）以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，由已知得，點，,,.所以，.易證平面，則平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，則。則.即直線與平面所成角的余弦值為.點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.19、（1）（2）【解題分析】

（1）直接求導得到答案.（2）在上恒成立，即恒成立，得到答案.【題目詳解】（1），則；（2）在上恒成立，故在上恒成立，故.【題目點撥】本題考查了求導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）零點分段解不等式即可（2）等價于，由，得不等式即可求解【題目詳解】（1）當時，，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價于.又因為，所以，即.解得，結合，所以實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉化思想，是中檔題21、（1）26；（2）60；（3）2184【解題分析】

（1）采用間接法；（2）采用直接法；（3）先用間接法求出從中選4人，男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內的選法種數(shù)，再分配到四個不同崗位即可.【題目詳解】（1）從中選2名代表，沒有女生的選法有種，所以從中選2名代表，必須有女生的不同選法有種.（2）從中選出男、女各2名的不同選法有種.（3）男生中的甲與女生中的乙至少有1人被選的不同選法有種，將這4人安排到四個不同的崗位共有種方法，故共有種安排方法.【題目點撥】本題考查排列與組合的綜合