2024屆安徽省池州市東至第二中學數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆安徽省池州市東至第二中學數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．隨機變量，且，則（）A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.802．中國古代儒家要求學生掌握六種基本才藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)，簡稱“六藝”,某高中學校為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化，分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識競賽，現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐,規(guī)定：每場知識競賽前三名的得分都分別為且；選手最后得分為各場得分之和，在六場比賽后，已知甲最后得分為分，乙和丙最后得分都是分，且乙在其中一場比賽中獲得第一名，下列說法正確的是()A．乙有四場比賽獲得第三名B．每場比賽第一名得分為C．甲可能有一場比賽獲得第二名D．丙可能有一場比賽獲得第一名3．如下圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數(shù)字，若六個三角形上的數(shù)字之和為36，則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個三角形上的數(shù)字之和為二項式的展開式的各項系數(shù)之和.現(xiàn)從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字標在另外兩個三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)的導函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為A． B． C． D．5．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含6．給出四個函數(shù)，分別滿足①；②；③；④，又給出四個函數(shù)圖象正確的匹配方案是（）A.①—?、凇尧邸堋譈.①—乙②—丙③—甲④—丁C.①—丙②—甲③—乙④—丁D.①—?、凇注邸尧堋?．已知復數(shù)z=1-i，則z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i8．根據(jù)中央對“精準扶貧”的要求，某市決定派7名黨員去甲、乙、丙三個村進行調(diào)研，其中有4名男性黨員，3名女性黨員現(xiàn)從中選3人去甲村若要求這3人中既有男性，又有女性，則不同的選法共有（）A．35種 B．30種 C．28種 D．25種9．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%10．擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率等于（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．12．袋中裝有6個紅球和4個白球，不放回的依次摸出兩球，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若，則的值是_____.14．已知離散型隨機變量服從正態(tài)分布，且，則____.15．已知隨機變量的分布列如下，那么方差_____.01216．在長方體中，，，，二面角的大小是_________（用反三角表示）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．18．（12分）某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況，按照分層抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況.現(xiàn)將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行預測.經(jīng)過預測后，兩組各自將預測成績統(tǒng)計分析如下表：分組人數(shù)平均成績標準差正科級干部組806副科級干部組704（1）求；（2）求這40名科級干部預測成績的平均分和標準差；（3）假設(shè)該區(qū)科級干部的“黨風廉政知識”預測成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值.利用估計值估計：該區(qū)科級干部“黨風廉政知識”預測成績小于60分的約為多少人？附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；；.19．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，點在直線上．（1）求角的值；（2）若，求的面積．20．（12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)若當時，恒有，試確定的取值范圍；(Ⅲ)當時，關(guān)于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個相異的實根，求實數(shù)b的取值范圍．21．（12分）《福建省高考改革試點方案》規(guī)定：從2018年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2021年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構(gòu)成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六門選考科目進行測試，其中化學考試原始成績基本服從正態(tài)分布．（1）求化學原始成績在區(qū)間（57，96）的人數(shù)；（2）以各等級人數(shù)所占比例作為各分數(shù)區(qū)間發(fā)生的概率，按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間[71，90]的人數(shù)，求事件的概率(附：若隨機變量，,）22．（10分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（Ⅰ）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程并預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（Ⅱ）交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系，得到如下列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)？參考公式：，，（其中）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由及可得．詳解：∵，∴．故選B．點睛：本題考查正態(tài)分布，若隨機變量中，則正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，因此有，（）．2、A【解題分析】

先計算總分，推斷出，再根據(jù)正整數(shù)把計算出來，最后推斷出每個人的得分情況，得到答案.【題目詳解】由題可知,且都是正整數(shù)當時，甲最多可以得到24分，不符合題意當時，，不滿足推斷出，最后得出結(jié)論:甲5個項目得第一,1個項目得第三乙1個項目得第一,1個項目得第二，4個項目得第三丙5個項目得第二,1個項目得第三,所以A選項是正確的.【題目點撥】本題考查了邏輯推理,通過大小關(guān)系首先確定的值是解題的關(guān)鍵,意在考查學生的邏輯推斷能力.3、B【解題分析】

先求得二項式的展開式的各項系數(shù)之和為.然后利用列舉法求得在一共個數(shù)字中任選兩個，和為的概率，由此得出正確選項.【題目詳解】令代入得，即二項式的展開式的各項系數(shù)之和為.從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字方法有：共種，其中和為的有共兩種，所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為，故選B.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查列舉法求古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

依次對選項求導，再判斷導數(shù)的奇偶性即可得到答案?！绢}目詳解】對于A，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。5、B【解題分析】

將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對值和兩半徑之和進行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系.【題目詳解】在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，，，，因此，曲線與相交，故選：B.【題目點撥】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標方程與普通方程的互化，對于這類問題，通常將圓的方程化為標準方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、D【解題分析】四個函數(shù)圖象，分別對應(yīng)甲指數(shù)函數(shù)，乙對數(shù)函數(shù)，丙冪函數(shù)，丁正比例函數(shù)；而滿足①是正比例函數(shù)；②是指數(shù)函數(shù)；③是對數(shù)函數(shù)；④是冪函數(shù)，所以匹配方案是①—丁②—甲③—乙④—丙，選D。7、A【解題分析】解：因為z=1-i，所以z28、B【解題分析】

首先算出名黨員選名去甲村的全部情況，再計算出全是男性黨員和全是女性黨員的情況，即可得到既有男性，又有女性的情況.【題目詳解】從名黨員選名去甲村共有種情況，名全是男性黨員共有種情況，名全是女性黨員共有種情況，名既有男性，又有女性共有種情況.故選：B【題目點撥】本題主要考查組合的應(yīng)用，屬于簡單題.9、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點：正態(tài)分布10、B【解題分析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點數(shù)之和為5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）這四種，因此所求概率為，選B．考點：概率問題11、B【解題分析】

根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，負數(shù)不能開偶次方根，分母不能為零求解.【題目詳解】因為函數(shù)，所以，所以，解得，所以的定義域為.故選：B【題目點撥】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

通過條件概率相關(guān)公式即可計算得到答案.【題目詳解】設(shè)“第一次摸到紅球”為事件A，“第二次摸到紅球”為事件B，而，，故，故選D.【題目點撥】本題主要考查條件概率的相關(guān)計算，難度不大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

當時，，求出；當時，無解.從而，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：由時，是減函數(shù)可知，當，則，所以，由得，解得，則.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】∵隨機變量X服從正態(tài)分布，∴μ=1，得對稱軸是x=1．∵，∴P（1<ξ<3）==0.468，∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．故答案為．點睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－1σ<X≤μ＋1σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.15、【解題分析】

由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)求出，然后求出，即可求出.【題目詳解】解：由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)得：，解得：，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量方差的求法，是基礎(chǔ)題，注意離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的合理運用.16、【解題分析】

根據(jù)二面角平面角的定義可知為二面角的平面角，在直角三角形中表示出，進而求得結(jié)果.【題目詳解】由長方體特點可知：平面又平面，平面，即為二面角的平面角又，，即二面角的大小為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)二面角平面角的定義確定平面角，將平面角放到直角三角形中來進行求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項公式（2）下面用數(shù)學歸納法證明.①當時，滿足通項公式；②假設(shè)當時，命題成立，即由（1）知即證當時命題成立；由①②可證成立.【題目點撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學歸納法證明與數(shù)列的通項公式.18、（1）8,32；（2）72，6；（3）36.【解題分析】

（1）首先求得樣本容量與總體的比為，根據(jù)比例可求得；（2）根據(jù)平均數(shù)計算公式可求得平均數(shù)；根據(jù)正科級和副科級干部組的標準差可分別求得正科級和副科級干部組每個人成績的平方和；代入方差公式可求得總體的方差，進而得到標準差；（3）首先確定的估計值，的估計值；根據(jù)原則求得；根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得，從而可求得預測成績小于分的人數(shù).【題目詳解】（1）樣本容量與總體的比為：則抽取的正科級干部人數(shù)為；副科級干部人數(shù)為，（2）這名科級干部預測成績的平均分：設(shè)正科級干部組每人的預測成績分別為，副科級干部組每人的預測成績分別為則正科級干部組預測成績的方差為：解得：副科級干部組預測成績的方差為：解得：這名科級干部預測成績的方差為這名科級干部預測成績的平均分為，標準差為（3）由，，得的估計值，的估計值由得：所求人數(shù)為：人【題目點撥】本題考查統(tǒng)計中的頻數(shù)的計算、平均數(shù)和方差、標準差的求解、正態(tài)分布中的概率求解問題，是對統(tǒng)計知識的綜合考查，屬于常規(guī)題型.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）代入點到直線的方程，根據(jù)正弦定理完成角化邊，對比余弦定理求角；（2）將等式化簡成“平方和為零”形式，計算出的值，利用面積公式計算的面積.【題目詳解】解：（1）由題意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，結(jié)合，得.（2）由，得，從而得，所以的面積.【題目點撥】本題考查正、余弦定理的簡單應(yīng)用，難度較易.使用正弦定理進行角化邊或者邊化角的過程時，一定要注意“齊次”的問題.20、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）求導，并求出函數(shù)的極值點，列表分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值和極大值；（Ⅱ）由條件得知，考查函數(shù)的單調(diào)性知，得知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是得出，解該不等式組即可；（Ⅲ）將代入函數(shù)的解析式，利用導數(shù)研究該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為解出不等式即可得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.當x變化時，的變化情況如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘極小↗極大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．當時，取得極小值，；當時，取得極大值，；（Ⅱ），其對稱軸為.因為，所以.所以在區(qū)間上是減函數(shù)．當時，取得最大值，；當時，取得最小值，.于是有即.又因為，所以.（Ⅲ）當時，.，由，即，解得，即在上是