山東省德州市平原中英文實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

山東省德州市平原中英文實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y≤0x-y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－5C．13D．－2．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，及每個(gè)正方形中的一條對(duì)角線，則該幾何體的表面積是()A．4+2 B．9+32 C．3．下列求導(dǎo)計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A．2 B． C．1 D．05．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．6．設(shè)，則的定義域?yàn)椋?．A．（－4,0)∪（0,4)B．（－4，－1)∪（1,4)C．（－2，－1)∪（1,2)D．（－4，－2)∪（2,4)7．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．8．設(shè)是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．9．二項(xiàng)式的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中的第項(xiàng)的系數(shù)是第項(xiàng)的系數(shù)的倍，則的值為（）A． B． C． D．10．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，多項(xiàng)式可以因式分解為（）A． B．C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，由坐標(biāo)軸和曲線所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．12．已知袋中有編號(hào)為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，則所取3只球的最大編號(hào)是5的概率等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去西安參加自主招生考試，考試結(jié)束后劉老師向四名學(xué)生了解考試情況．四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好．”乙說：“我們四人中有人考的好．”丙說：“乙和丁至少有一人沒考好．”丁說：“我沒考好．”結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則這四名學(xué)生中的______________兩人說對(duì)了．14．一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，每次從袋中摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率為_________．15．若函數(shù)且是偶函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開______．16．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上的一點(diǎn)滿足，則拋物線C的方程為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若，求證：．18．（12分）（1）解不等式:（2）設(shè)，求證：19．（12分）為了了解創(chuàng)建文明城市過程中學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況，相關(guān)部門對(duì)某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．得到如下的統(tǒng)計(jì)表：滿意不滿意合計(jì)男生50女生15合計(jì)100已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人對(duì)創(chuàng)建工作滿意的概率為.(1)在上表中相應(yīng)的數(shù)據(jù)依次為；(2)是否有充足的證據(jù)說明學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)？20．（12分）乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．（1）求乙以4比1獲勝的概率；（2）求甲獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率．21．（12分）為了了解甲、乙兩校學(xué)生自主招生通過情況，從甲校抽取60人，從乙校抽取50人進(jìn)行分析。(1)根據(jù)題目條件完成上面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為自主招生通過情況與學(xué)生所在學(xué)校有關(guān)；(2)現(xiàn)已知甲校三人在某大學(xué)自主招生中通過的概率分別為，，，用隨機(jī)變量X表示三人在該大學(xué)自主招生中通過的人數(shù)，求X的分布列及期望.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=x+y+1x+3=1+y-2x+3表示區(qū)域內(nèi)上的點(diǎn)與點(diǎn)P(-3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時(shí)斜率最?。O(shè)切線方程為y-2=k(x+3)，即2、B【解題分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖：所以幾何體的表面積為：3+3×1故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.3、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)法則得到相應(yīng)的結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)應(yīng)為，C選項(xiàng)應(yīng)為，D選項(xiàng)應(yīng)為.故選B．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，牢記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，然后再求出即可．【題目詳解】由題意得，∴．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是正確求出復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，利用特殊值定義點(diǎn)的位置判斷選項(xiàng)即可．【題目詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=＜0，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，排除A，C；故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．6、B【解題分析】試題分析：要使函數(shù)有意義，則解得，有意義，須確保兩個(gè)式子都要有意義，則，故選.考點(diǎn)：1.函數(shù)的定義域；2.簡(jiǎn)單不等式的解法.7、A【解題分析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.8、B【解題分析】

設(shè)，計(jì)算，變換得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，解得答案.【題目詳解】由題意，得，進(jìn)而得到，令，則，，.由，得，即.當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).函數(shù)是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，解得，又，即，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性和奇偶性是解題的關(guān)鍵.9、B【解題分析】二項(xiàng)式的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：，由題意有：，整理可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：二項(xiàng)式系數(shù)與展開式項(xiàng)的系數(shù)的異同一是在Tr＋1＝an－rbr中，是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負(fù)．二是二項(xiàng)式系數(shù)的最值與增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)，當(dāng)n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值．10、A【解題分析】

將代數(shù)式化為，然后利用平方差公式可得出結(jié)果.【題目詳解】，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，考查平方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，求出積分值即可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

先求出袋中有編號(hào)為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有多少種取法，再求出所取3只球的最大編號(hào)是5有多少種取法，最后利用古典概型概率計(jì)算公式，求出概率即可.【題目詳解】袋中有編號(hào)為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有種方法.所取3只球的最大編號(hào)是5，有種方法，所以所取3只球的最大編號(hào)是5的概率等于，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型概率計(jì)算方法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙，丙【解題分析】甲與乙的關(guān)系是對(duì)立事件，二人說話矛盾，必有一對(duì)一錯(cuò)，如果選丁正確，則丙也是對(duì)的，所以丁錯(cuò)誤，可得丙正確，此時(shí)乙正確。故答案為：乙，丙。14、【解題分析】試題分析：口袋中五個(gè)球分別記為從中摸出兩球的方法有：共種，其中顏色相同的有共四種，有古典概率的求法可知．考點(diǎn)：古典概率的求法．15、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可構(gòu)造方程求得，利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值，從而得到函數(shù)值域.【題目詳解】由為偶函數(shù)可得：即，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的值域?yàn)椋罕绢}正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值域的求解，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的解析式.16、【解題分析】

由在拋物線C上,結(jié)合拋物線的定義,即可求拋物線C的方程.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;當(dāng)時(shí),,解得,則拋物線C的方程為:;故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用拋物線的定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,難度較易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解題分析】

引入函數(shù)，展開，其中，，是整數(shù)，，注意說明的唯一性，這樣有，，然后計(jì)算即可.【題目詳解】證明：因?yàn)椋?，由題意，首先證明對(duì)于固定的，滿足條件的是唯一的．假設(shè)，則，而，矛盾。所以滿足條件的是唯一的．下面我們求及的值：因?yàn)?，顯然．又因?yàn)?，故，即．所以令，，則，，又，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，展開，其中，，是整數(shù)，，于是可表示出.本題有一定的難度.18、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)零點(diǎn)分段法，分三段建立不等式組，解出各不等式組的解集，再求并集即可.（2）運(yùn)用柯西不等式，直接可以證明不等式，注意考查等號(hào)成立的條件，.【題目詳解】（1）解：原不等式等價(jià)于或或即：或或故元不等式的解集為：（2）由柯西不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式得解法、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力.含絕對(duì)值不等式的解法：（1）定義法；即利用去掉絕對(duì)值再解（2）零點(diǎn)分段法：通常適用于含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；19、(1)5,30,80,20,55,45；(2)有.【解題分析】分析：（1）根據(jù)列聯(lián)表得關(guān)系確定數(shù)值，（2）根據(jù)公式求K2，再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠性.詳解：(1)填表如下：滿意不滿意合計(jì)男生50555女生301545合計(jì)80201005,30,80,20,55,45(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2的觀測(cè)值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)．點(diǎn)睛：本題考查卡方公式，考查基本求解能力.20、（1）（2）【解題分析】

（1）記“乙以4比1獲勝”為事件A，，則A表示乙贏了3局甲贏了1局，且第五局乙贏，再根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求得的值．（2）利用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求得甲以4比2獲勝的概率，以及甲以4比3獲勝的概率，再把這2個(gè)概率值相加，即得所求．【題目詳解】解：（1）由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是，記“乙以4比1獲勝”為事件A，則A表示乙贏了3局甲贏了一局，且第五局乙贏，∴．（2）記“甲獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B，則B表示甲以4比2獲勝，或甲以4比3獲勝．因?yàn)榧滓?比2獲勝，表示前5局比賽中甲贏了3局且第六局比賽中甲贏了，這時(shí)，無需進(jìn)行第7局比賽，故甲以4比2獲勝的概率為．甲以4比3獲勝，表示前6局比賽中甲贏了3局且第7局比賽中甲贏了，故甲以4比3獲勝的概率為，故甲獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率為．【題目點(diǎn)撥】問題（1）中要注意乙以4比1獲勝不是指5局中乙勝4局，而是要求乙在前4局中贏3局輸一局，然后第5局一定要贏，要注意審題．問題（2）有“多于”這種字眼的，可以進(jìn)行分類討論．21、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

(1)由題可得表格，再計(jì)算，與6.635比較大小即可得到答案；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，分別利用乘法原理計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，從而求得分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）2×2列聯(lián)表如下通過未通過總計(jì)甲校402060乙校203050總計(jì)6050110由算得，，所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過情況與所在學(xué)校有關(guān)（2）設(shè)A，B，C自主招生通過分別記