2024屆湖北武漢武昌區(qū)武漢大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆湖北武漢武昌區(qū)武漢大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“?n∈N*,f(n)∈NA．?n∈N*B．?n∈N*C．?n0D．?n02．已知某射擊運動員，每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為()A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.753．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．3 B．9 C．18 D．274．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．5．若離散型隨機變量的分布如下：則的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．16．已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前項和為，，則（）A． B． C．2 D．47．在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n（）個整點，則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)．有下列函數(shù):①②③④其中是一階整點的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④8．設(shè)全集為，集合，，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，且,若,則展開式中常數(shù)項()A．32 B．24 C．4 D．811．已知曲線的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標(biāo)為()A．1 B．ln2 C．2 D．e12．已知，則復(fù)數(shù)（）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點到底面的距離為_________14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．15．已知函數(shù)，若在處取得極小值，則實數(shù)的值為______.16．若點的柱坐標(biāo)為，則點的直角坐標(biāo)為______；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若，求的取值范圍．18．（12分）某種子培育基地新研發(fā)了兩種型號的種子，從中選出90粒進(jìn)行發(fā)芽試驗，并根據(jù)結(jié)果對種子進(jìn)行改良.將試驗結(jié)果匯總整理繪制成如下列聯(lián)表：（1）將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為發(fā)芽和種子型號有關(guān)；（2）若按照分層抽樣的方式，從不發(fā)芽的種子中任意抽取20粒作為研究小樣本，并從這20粒研究小樣本中任意取出3粒種子，設(shè)取出的型號的種子數(shù)為，求的分布列與期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．Ⅰ證明：；Ⅱ設(shè)H為線段PD上的動點，若線段EH長的最小值為，求直線PD與平面AEF所成的角的余弦值．20．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知橢圓：與拋物線有公共的焦點，且公共弦長為，（1）求，的值.（2）過的直線交于，兩點，交于，兩點，且，求.22．（10分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象在點處的切線方程為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的：，存在零點，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“?n∈N*,fn∈N故選D.考點：命題的否定2、B【解題分析】

因為某射擊運動員，每次擊中目標(biāo)的概率都是，則該射擊運動員射擊4次看做4次獨立重復(fù)試驗，則至少擊中3次的概率3、D【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為.∵∴，即∴∴故選D.4、D【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，求解，再根據(jù)題意，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可，屬于常考題型.5、C【解題分析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，進(jìn)而使用期望公式先求出數(shù)學(xué)期望，再代入方差公式求出方差．詳解：由題意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故選：C．點睛：本題主要考查離散型隨機變量的分布和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，熟記期望、方差的公式是解題的關(guān)鍵．6、A【解題分析】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求的公比，進(jìn)而可求解，得到答案．【題目詳解】由題意得，，，公比，則，故選A．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】

根據(jù)新定義的“一階整點函數(shù)”的要求，對于四個函數(shù)一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可．【題目詳解】對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當(dāng)x∈Z時，一定有g(shù)（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，當(dāng)x=0，-1，-2，時，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)；

對于函數(shù)，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數(shù)．

故選D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數(shù)”．8、C【解題分析】

利用分式不等式的解法求出集合，求出兩個集合的公共部分即為兩個集合的交集.【題目詳解】由集合可知；因為，,故選C.【題目點撥】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.9、C【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)有最小值，則導(dǎo)函數(shù)在小于0有解，于是轉(zhuǎn)化為斜率問題求解得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，得，若有最小值，即在上先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設(shè)切點為，則切線方程為：，將代入切線方程得：，故切點為，切線的斜率為1，只需即可，解得：，故答案為C.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的最值問題，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力，難度較大.10、B【解題分析】

先由二項展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，求出；再由求出，由二項展開式的通項公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相同，所以，因此，又，所以，令，則，又，所以，因此，所以展開式的通項公式為，由得，因此展開式中常數(shù)項為.故選B【題目點撥】本題主要考查求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.11、D【解題分析】

對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于2，最后求出切點的橫坐標(biāo).【題目詳解】，由題意可知，因此切點的橫坐標(biāo)為e，故選D.【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查了數(shù)學(xué)運算能力.12、A【解題分析】

由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，則.本題選擇A選項.【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，復(fù)數(shù)的模的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解題分析】

根據(jù)法向量的求法求得平面的法向量，利用點到面的距離的向量求解公式直接求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)平面的法向量則，令，則，點到底面的距離：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查點到面的距離的向量求法，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出平面的法向量，考查學(xué)生對于點到面距離公式掌握的熟練程度.14、【解題分析】

先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【題目詳解】由解得或，由于在其定義域上遞減，而在時遞減，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.【題目點撥】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查對數(shù)函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解題分析】

先求出導(dǎo)數(shù)，建立方程求出的值，并驗證能否取得極小值【題目詳解】解：由題意知，，則，解得.經(jīng)檢驗，時，函數(shù)在處取得極小值.故答案為:.【題目點撥】本題考查函數(shù)極小值的概念.要注意對求出值的驗證．令導(dǎo)數(shù)為0，求出的方程的根不一定是極值點，還應(yīng)滿足在解的兩邊函數(shù)的單調(diào)性相反.16、【解題分析】

由柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標(biāo)?！绢}目詳解】由柱坐標(biāo)可知，所以，所以直角坐標(biāo)為。所以填。【題目點撥】空間點P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)題意，先計算出，再由即可求出結(jié)果；（2）先由（1）知，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，解得或，因為，所以．（2）由（1）知，因為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為以（0,1）為圓心，以2為半徑的圓．故在復(fù)平面內(nèi)表示對應(yīng)的點到坐標(biāo)原點的距離，所以的取值范圍即：以（0,1）為圓心，以2為半徑的圓上的點到坐標(biāo)原點的距離，所以，即．故的取值范圍為．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，熟記概念和幾何意義即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.18、(1)有99%的把握認(rèn)為發(fā)芽和種子型號有關(guān)(2)見解析【解題分析】

根據(jù)表格完成表格的填空并計算出做出判斷的可能值為0，1，2，3分別計算出概率，然后計算期望【題目詳解】（1）所以有99%的把握認(rèn)為發(fā)芽和種子型號有關(guān).（2）按分層抽樣的方式抽到的20粒種子中，型號的種子共4粒，型號的種子共16粒，所以的可能值為0,1,2,3，，，，所以的分布列為.【題目點撥】本題考查了的計算和分布列與期望，只要將聯(lián)表補充完整，按照計算方法即可求出，繼而可以求出分布列與期望，較為基礎(chǔ)。19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正三角形性質(zhì)得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根據(jù)PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面AEF一個法向量，由向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系得結(jié)果.【題目詳解】（1）連接AC，因為底面ABCD為菱形，所以三角形ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，所以AE⊥AD，則又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由線面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD（2）過A作AH⊥PD于H，連HE，由（1）得AE⊥平面PAD所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A為原點，AE，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2）∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直線PD與平面AEF所成的角的余弦值為【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定和性質(zhì)及利用空間向量求線面角，屬中等難度題．20、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線面角各點對應(yīng)的坐標(biāo)，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【題目詳解】證明：（1）取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.（2）設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，由（1）可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量可表示為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點撥】證線線垂直一般是通過線面垂直進(jìn)行證明，本題其實還可以采用射影逆定理進(jìn)行證明，通過證明與斜線垂直即，推出與射影垂直，，不妨一試；對于像本題中第二問不太