2023-2024學年湘教版必修第二冊 1-6解三角形1-6-2正弦定理第2課時正弦定理2 學案

1．6.2正弦定理第2課時正弦定理(2)教材要點要點一擴充的正弦定理在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則asinA＝bsin要點二幾個常用結(jié)論(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝(4)asinA＝bsinB＝要點三三角形的面積公式在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ha，hb，hc分別為三條邊上的高，R和r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓半徑，S為△ABC的面積，則(1)S＝12aha＝12bhb＝12(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12ac(3)S＝abc4R(4)S＝2R2sinAsinBsinC；(5)S＝12(a＋b＋c)·r(6)S＝pp基礎(chǔ)自測1.在△ABC中，若sinA>sinB，則A與B的大小關(guān)系為()A．A>BB．A<BC．A≤BD．A，B的大小關(guān)系不能確定2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分別所對的邊，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2D．2∶3∶13．在△ABC中，acosA＝bcosB，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，且b＝2，則外接圓的半徑R＝________．題型1與三角形外接圓半徑有關(guān)的問題例1已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ccosA＋acosC＝3a.(1)求ab(2)若a＝1，c＝6，求△ABC外接圓的面積．方法歸納解決與三角形外接圓有關(guān)的問題時，關(guān)鍵會應用擴充的正弦定理求出外接圓的半徑，然后再解決其它問題．跟蹤訓練1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝2，∠C＝π3(1)求△ABC外接圓的面積S；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面積．題型2判斷三角形形狀例2(1)在△ABC中，若bcosAcosC＋ccosAcosB＝0，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．鈍角三角形(2)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則△ABC的形狀為________(填“銳角三角形”“鈍角三角形”或“直角三角形”)．方法歸納結(jié)合三角形的性質(zhì)和正、余弦定理判斷三角形的形狀，是解三角形中的一類重要問題．解決這類問題時，一是要注意三角形的有關(guān)結(jié)論，如內(nèi)角和定值、勾股定理、余弦定理、正弦定理以及等腰三角形和正三角形的一些性質(zhì)；二是要注意三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論．跟蹤訓練2在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形題型3正、余弦定理的綜合應用例3△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，m＝(sinB，5sinA＋5sinC)與n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直．(1)求sinA的值；(2)若a＝22，求△ABC的面積S的最大值．方法歸納通過正弦定理或余弦定理進行邊角互化，綜合利用三角恒等變換等知識推出三角形的邊角關(guān)系求值．跟蹤訓練3在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足3(acosB＋bcosA)＝2csinB.(1)若cosA＝13，求sin(2A＋B(2)若a＋c＝6，b＝26，求△ABC的面積．課堂十分鐘1．在△ABC中，若b＝23，B＝30°，則a+csinA．43B．23C．4D．12．在△ABC中，若BC＝8，cos∠BAC＝13，則△ABCA．32B．62C．12D．243．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c＝2acosB.則△ABC的形狀一定為()A．銳角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．鈍角三角形4．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinC，a2＋c2－ac＝b2，則∠C＝________．5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a＝19，b＝5，c＝2.(1)求角A的大?。?2)求sinC的值．第2課時正弦定理(2)新知初探·課前預習要點一2R[基礎(chǔ)自測]1．解析：由正弦定理可知：asinA＝bsinB，由sinA>sinB?a>b?答案：A2．解析：由題A∶B∶C＝1∶2∶3且A＋B＋C＝π，∴A＝π6，B＝π3，C＝由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝12∶32∶1＝1∶答案：C3．解析：acosA＝bcosB，正弦定理可得2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B，2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝π2∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案：D4．解析：在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，可得2B＝A＋C因為A＋B＋C＝π，可得3B＝π，解得B＝π3又因為b＝2，由正弦定理可得2R＝bsinB＝2sinπ3＝4即外接圓的半徑R＝23答案：2題型探究·課堂解透例1解析：(1)因為ccosA＋acosC＝3a，由正弦定理得sinCcosA＋sinAcosC＝3sinA，即sin(A＋C)＝3sinA，所以sinB＝3sinA，由正弦定理得ab＝sinAsin(2)因為a＝1，c＝6，所以b＝3所以cosC＝a2+b2-所以sinC＝1-cos2由正弦定理得2R＝csinC＝653所以S＝πR2＝π330102跟蹤訓練1解析：(1)設△ABC外接圓的半徑為R，因為c＝2，∠C＝π32R＝2sinπ3＝433因此外接圓的面積為S＝π×2332(2)由sinB＝2sinA及正弦定理，可得b＝2a，由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2abcosC，從而4＝a2＋4a2－4a2×12＝3a2，a2＝4所以S△ABC＝12absinC＝12a×2a×32＝32a例2解析：(1)由題意變形，利用正弦定理化簡可得：cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝0，即cosAsin(B＋C)＝0，所以cosAsinA＝0，由0<A<π，所以cosA＝0，所以A＝π2(2)因為sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，結(jié)合正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶4，設a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，則c>b>a，所以C>B>A，結(jié)合余弦定理cosC＝a2+b2-c22ab＝2k2+3k答案：(1)C(2)鈍角三角形跟蹤訓練2解析：由正弦定理可得sinC<sinBcosA，即sin[π－(A＋B)]<sinBcosA，所以sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA<sinBcosA故sinAcosB<0因為A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB<0，即B為鈍角，則△ABC為鈍角三角形．答案：A例3解析：(1)∵m＝(sinB，5sinA＋5sinC)與n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sinBsinC＋5sin2C－5sin2A＝0，即sin2B＋sin2C－sin2A＝6sinBsin根據(jù)正弦定理得b2＋c2－a2＝6bc5由余弦定理得cosA＝b2+c∵A是△ABC的內(nèi)角，∴sinA＝1-cos2(2)由(1)知b2＋c2－a2＝6bc5，∴6bc5＝b2＋c2－a2≥2bc－a又∵a＝22，∴bc≤10.∵△ABC的面積S＝12bcsinA＝2bc∴△ABC的面積S的最大值為4.跟蹤訓練3解析：(1)因為3(acosB＋bcosA)＝2csinB，利用正弦定理得：3sin(A＋B)＝2sinCsinB，3sinC＝2sinCsinB，因為B，C∈0，π2，所以sinB＝32，所以因為cosA＝13，所以sinA＝2所以sin2A＝2sinAcosA＝2×223×cos2A＝2cos2A－1＝2×132－1＝－所以sin(2A＋B)＝sin2AcosB＋cos2AsinB＝429×(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，又因為a＋c＝6，b＝26，所以ac＝4所以三角形ABC的面積是S＝12acsinB＝12×4×32[課堂十分鐘]1．解析：在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝csinC＝bsin所以a＝43sinA，c＝43sinC，所以a+csinA+sinC答案：A2．解析：∠BAC∈(0，π)，sin∠BAC＝1-13所以外接圓的直徑2R＝BCsin∠BAC＝8答案：B3．解析：∵c＝2acosB，根據(jù)正弦定理可知sinC＝2sinAcosB，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝si