2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 2-1-1兩角和與差的余弦公式 學(xué)案

2.1.1兩角和與差的余弦公式教材要點(diǎn)要點(diǎn)兩角和與差的余弦公式名稱簡單符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝____________________α，β為任意角兩角和的余弦C(α＋β)cos(α＋β)＝____________________狀元隨筆公式的特點(diǎn)：公式左邊是差角的余弦，公式右邊的式子是含有同名弦函數(shù)之積的和式，可用口訣“余余，正正，號(hào)相反”記憶公式．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)對(duì)任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.()(2)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.()(3)對(duì)任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.()(4)存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cosα－cosβ.()2．cos105°＝()A．2-34B．2+3．cos45°·cos15°－sin45°·sin15°等于()A．12B．32C．34．已知cosα＝15，α∈0，π題型1給角求值例1求值：(1)cos165°；(2)cos75°cos15°＋sin75°sin195°；(3)cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα；(4)12cos15°＋3方法歸納利用兩角和與差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和差，正用公式直接求解．(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值．跟蹤訓(xùn)練1(1)cos(45°－α)cos(15°＋α)－sin(45°－α)·sin(15°＋α)＝()A．12B．－C．32D．－(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°＝________．題型2給值求值角度1直接法求值例2已知sinα＝45，α∈π2，π，cosβ＝－513，β是第三象限角，求cos(方法歸納(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一個(gè)弦值，求另一個(gè)弦值時(shí)，一定注意已知角的范圍．角度2拆角變換求值例3若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4+α＝13，cos方法歸納將未知角拆分成已知角的和差，即將未知角用已知角表示出來，使之能直接代入已知條件．常見的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α+β2＝(α－β2)－(α2－β)，α＋β＝(2α2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．跟蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，cosA＝35且cosB＝513，則cosA．－3365B．C．－6365D．(2)已知α，β∈0，π2，且sinα＝45，cos(α＋β)＝－題型3已知三角函數(shù)值求角例4已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2方法歸納(1)要求角需先求這個(gè)角的三角函數(shù)值，然后根據(jù)范圍得出角的值．(2)已知一個(gè)角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)時(shí)，要根據(jù)角的范圍確定其符號(hào)．跟蹤訓(xùn)練3已知α，β均為銳角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－易錯(cuò)辨析忽視角的取值范圍致誤例5已知α，β為銳角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314解析：因?yàn)棣翞殇J角，所以sinα＝437.因?yàn)棣?，β為銳角，所以0＜α＋又sin(α＋β)＝5314＜32，所以0＜α＋β＜π3或2π由cosα＝17＜12，得π3＜α＜π2，從而2π3＜α＋β＜π，于是cos(所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得只考慮α，β為銳角，得0＜α＋β＜π.忽視角的隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)了兩解．利用三角函數(shù)值求值時(shí)，不僅要注意有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合一些特殊角的三角函數(shù)值把角的范圍縮小到盡可能小的范圍內(nèi)，這樣可以避免多解的情況．課堂十分鐘1．cos80°cos35°＋sin80°sin35°的值是()A．22B．－22C．12．已知cosθ+π6＝513，0＜θ＜A．53+1226B．12-3．已知α是銳角，sinα＝23，則cosπ4．已知cosα＝55，cos(α＋β)＝－1010，且0＜β＜α＜π22．1.1兩角和與差的余弦公式新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°，＝12×2答案：C3．解析：原式＝cos(45°＋15°)＝cos60°＝12答案：A4．解析：因?yàn)閏osα＝15，α∈0所以sinα＝1-cos2α＝所以cosα-π3＝cosαcosπ3＝15×1答案：1+6題型探究·課堂解透例1解析：(1)cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°＝－22×3(2)cos75°cos15°＋sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.(3)cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos[(α＋45°)－α]＝cos45°＝22(4)12cos15°＋3＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)原式＝cos(45°－α＋15°＋α)＝cos60°＝12(2)原式＝cos63°cos33°＋sin63°sin33°＝cos(63°－33°)＝cos30°＝32答案：(1)A(2)3例2解析：由sinα＝45，α∈π2，π，得cos＝－1-4又由cosβ＝－513，β∈π，3π2＝－1--所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝-35·-513+例3解析：∵0<α<π2，－π2<∴π4<α＋π4<3π4，又∵cosπ4+α＝13，cos∴sinπ4+α＝223∴cosα+β＝cosπ4+αcosπ4＝1＝53跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴C＝π－A+B，又cosA＝35，cosB＝5∴sinA＝45，sinB＝12∴cosC＝cosπ-A+B＝－cosA+B＝－cosAcosB＋sinA＝-35·513+4(2)因?yàn)棣?，β?，所以0<α＋β<π，由cos(α＋β)＝－1665得sin(α＋β)＝6365又sinα＝45，所以cosα＝3所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×3答案：(1)B(2)見解析例4解析：∵0<β<π4<α<π∴π4<2α－β<π，－π4<α－2β∵cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝4∴sin(2α－β)＝5314，cos(α－2β∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝-1114又∵π4<α＋β<∴α＋β＝π3跟蹤訓(xùn)練3解析：∵α，β均為銳角，且sinα＝55，cosβ＝10∴cosα＝255，sinβ＝∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×又∵0<α<π2，0<β<π2，－π2<α－β而sinα<sinβ，∴α<β，即α－β<0，∴－π2<α－β<0，∴α－β＝－π[課堂十分鐘]1．解析：原式＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22答案：A2．解析：因?yàn)棣取?，π3，所以θ＋π所以sinθ+π6＝1所以cosθ＝cos[θ+＝cosθ+π6cosπ6＝513×3答案：A3．解析：因?yàn)棣潦卿J角，sin