2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 5-4隨機(jī)事件的獨(dú)立性 學(xué)案

5.4隨機(jī)事件的獨(dú)立性最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義．2．結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率．1.會(huì)對(duì)事件的獨(dú)立性進(jìn)行判斷．(邏輯推理)2．利用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及概率公式，會(huì)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概念設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(A∩B)＝________成立，則稱事件A與事件B狀元隨筆(1)必然事件Ω和不可能事件?都與任何事件獨(dú)立．(2)事件A，B相互獨(dú)立，即事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生沒(méi)有影響，且事件B是否發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生也沒(méi)有影響．要點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率若事件A，B獨(dú)立，則P(A∩B)狀元隨筆(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與(2)注意相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．()(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．()(3)若兩個(gè)事件互斥，則這兩個(gè)事件相互獨(dú)立．()(4)“P(A∩B)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B2．一個(gè)不透明的口袋中有黑、白兩種顏色的球，這些球除顏色外完全相同，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是()A．相互獨(dú)立事件B．不相互獨(dú)立事件C．互斥事件D．對(duì)立事件3．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊一目標(biāo)，則他們都中靶的概率是()A．1425B．1225C．34．在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車(chē)在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車(chē)的概率為_(kāi)_______．題型1相互獨(dú)立事件的判斷例1(多選)下列各對(duì)事件中，為相互獨(dú)立事件的是()A．?dāng)S一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白、2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”方法歸納判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法(1)定量法：利用P(A∩B)＝P(A)P(B(2)定性法：直觀地判斷一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生是否有影響，若沒(méi)有影響就是相互獨(dú)立事件．跟蹤訓(xùn)練1已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，則下列結(jié)論正確的是()A．如果B?A，那么P(A∪B)＝0.2，P(ABB．如果A與B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABC．如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABD．如果A與B相互獨(dú)立，那么P(AB)＝0.4，P(AB題型2相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算例2根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為0.6，購(gòu)買(mǎi)甲、乙保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車(chē)主間相互獨(dú)立．(1)求一位車(chē)主同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)的概率；(2)求一位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率．方法歸納1．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩人組隊(duì)參加答題競(jìng)賽，每輪比賽由甲、乙各答一道題，已知甲每輪答對(duì)的概率為34，乙每輪答對(duì)的概率為2求：(1)甲，乙在兩輪比賽中分別答對(duì)1道題和2道題的概率；(2)該隊(duì)伍在兩輪比賽中答對(duì)3道題的概率．題型3相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用例3為普及抗疫知識(shí)、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識(shí)挑戰(zhàn)賽．每位選手挑戰(zhàn)時(shí)，主持人用電腦出題的方式，從題庫(kù)中隨機(jī)出3道題，編號(hào)為T(mén)1，T2，T3，電腦依次出題，選手按規(guī)則作答，挑戰(zhàn)規(guī)則如下：①選手每答對(duì)一道題目得5分，每答錯(cuò)一道題目扣3分；②選手若答對(duì)第Ti題，則繼續(xù)作答第Ti＋1題；選手若答錯(cuò)第Ti題，則失去第Ti＋1題的答題機(jī)會(huì)，從第Ti＋2題開(kāi)始繼續(xù)答題；直到3道題目出完，挑戰(zhàn)結(jié)束；③選手初始分為0分，若挑戰(zhàn)結(jié)束后，累計(jì)得分不低于7分，則選手挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失?。x手甲即將參與挑戰(zhàn)，已知選手甲答對(duì)題庫(kù)中任何一題的概率均為34(1)挑戰(zhàn)結(jié)束時(shí)，選手甲共答對(duì)2道題的概率P1；(2)挑戰(zhàn)結(jié)束時(shí)，選手甲恰好作答了2道題的概率P2；(3)選手甲闖關(guān)成功的概率P3.方法歸納求較為復(fù)雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；(2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．跟蹤訓(xùn)練3為普及抗疫知識(shí)、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識(shí)競(jìng)賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為35，3(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．易錯(cuò)辨析混淆互斥事件和獨(dú)立事件的概念例4甲投籃的命中率為0.8，乙投籃的命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？解析：記A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B為相互獨(dú)立事件，兩人恰好都命中2次的概率為P(AB)，則P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得錯(cuò)誤地把相互獨(dú)立事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，將“兩人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”與B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．首先理解清楚互斥事件與相互獨(dú)立事件的概念，并且區(qū)分計(jì)算概率的公式．A，B為互斥事件時(shí)，有概率公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B為獨(dú)立事件時(shí)，有概率公式為P(A∩B)＝P(A)P(課堂十分鐘1．(多選)下面結(jié)論正確的是()A．若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B是互為對(duì)立事件B．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，則事件A與BC．若事件A與B是互斥事件，則A與B也是互斥事件D．若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則A與B也是相互獨(dú)立事件2．甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參加演講活動(dòng)，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是()A．524B．512C．13．甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.884．甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為135．某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過(guò)了的號(hào)碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：(1)第3次撥號(hào)才接通電話；(2)撥號(hào)不超過(guò)3次而接通電話．5．4隨機(jī)事件的獨(dú)立性新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一P(A)P(B)要點(diǎn)二P(A)P(B)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：事件A1是否發(fā)生對(duì)事件A2發(fā)生的概率沒(méi)有影響，故A1與A2是相互獨(dú)立事件．答案：A3．解析：設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，根據(jù)題意知，P(A)＝810＝45，P(B)＝710，且A與B相互獨(dú)立，故他們都命中目標(biāo)的概率為P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝答案：A4．解析：設(shè)A1，A2，A3分別表示在A，B，C三處不停車(chē)，由題意可知，A1，A2，A3相互獨(dú)立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)分別為512，712，34答案：35題型探究·課堂解透例1解析：樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件M∩N＝{6}，∴P(M)＝36＝12，P(N)＝26＝13，P(M∩N)＝12×13＝16，即P(M∩N)＝P(M)P(N)，故事件M與答案：ABD跟蹤訓(xùn)練1解析：如果B?A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；如果A與B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B選項(xiàng)正確；如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.1，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；如果A與B相互獨(dú)立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.4，P(AB)＝P(A)·答案：BD例2解析：(1)記A表示事件“購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，B表示事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)”，則由題意得A與B，A與B，A與B，B與A都是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.記C表示事件“同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)”，則C＝A∩B，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A(2)記D表示事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，則D＝A∩B，所以P(D)＝P(A∩B)＝P(A)跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)A1，A2分別表示甲兩輪答對(duì)1道題，2道題的事件，B1，B2分別表示乙兩輪答對(duì)1道題，2道題的事件，依題意得：P(A1)＝2·34·14＝38，P(A2)＝3P(B1)＝2·23·13＝49，P(B2)＝2(2)設(shè)A＝“兩輪比賽隊(duì)伍答對(duì)3道題”，則A＝A1∩B2+A2∩B1，且A1∩B2與A2∩B1互斥，A1與B2，A2與B1分別相互獨(dú)立，所以P(A)＝P(A1∩B2)+P(A2∩B1)＝P(A1)P(B2)＋P例3解析：設(shè)Ai為選手答對(duì)Ti題，其中i＝1，2，3.(1)設(shè)挑戰(zhàn)結(jié)束后，選手甲共答對(duì)2道題為事件A，選手甲共答對(duì)2道即選手甲前2題答對(duì)且第3題答錯(cuò)，所以A＝A1∩A2∩A3，所以，由事件獨(dú)立性的定義得P1＝P(A)＝P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A(2)設(shè)挑戰(zhàn)結(jié)束時(shí)，選手甲恰好作答了2道題為事件B，選手甲恰好作答了2道題即選手甲第1題答錯(cuò)或第一題答對(duì)且第2題答錯(cuò)，所以B＝A1∪A1A2由概率的加法公式和事件獨(dú)立性的定義得P2＝P(B)＝P[A1∪(A1∩A2)]＝(3)設(shè)選手甲挑戰(zhàn)成功為事件C，若選手甲挑戰(zhàn)成功，則選手甲共作答了3道題，且選手甲只可能作答2題或3道題所以“選手甲闖關(guān)成功”是“選手甲恰好作答了2道題”的對(duì)立事件，所以C＝B.根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)得P3＝P(C)＝P(B)＝1－P(B)＝1－716＝9跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)A1＝“甲在第一輪比賽中勝出”，A2＝“甲在第二輪比賽中勝出”，B1＝“乙在第一輪比賽中勝出”，B2＝“乙在第二輪比賽中勝出”，則A1∩A2＝“甲贏得比賽”，P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2B1∩B2＝“乙贏得比賽”，P(B1∩B2)＝P(B1)P(B2因?yàn)?5>3(2)由(1)知，設(shè)C＝“甲贏得比賽”，D＝“乙贏得比賽”，則P(C)＝1－P(A1∩A2)＝1－2P(D)＝1－P(B1∩B2)＝1－3于是C∪DP(C∪D)＝1－P(C∩D)＝1－P(C)P(D)＝1－3[課堂十分鐘]1．解析：要使A，B為對(duì)立事件，除P(A)＋P(B)＝1還需滿足P(AB)＝0，也即A，B不能同時(shí)發(fā)生，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若A包含于B，則A與B不是互斥事件，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識(shí)可知，B，D選項(xiàng)正確．答案：BD2．解析：兩班各自派出代表是相互獨(dú)立事件，設(shè)事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事件A∩B為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(A∩B)＝P(A)P(B)＝936答案：C3．