2023-2024學年安徽省安慶市五校聯(lián)盟高考數(shù)學一模試卷含解析

2023-2024學年安徽省安慶市五校聯(lián)盟高考數(shù)學一模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．2．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知集合則（）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等差數(shù)列公差（）A．2 B． C．3 D．45．若雙曲線：（）的一個焦點為，過點的直線與雙曲線交于、兩點，且的中點為，則的方程為（）A． B． C． D．6．設為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．以下關于的命題，正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．將函數(shù)圖象向左平移需個單位，可得到的圖象8．已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A． B． C． D．9．設，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數(shù)為()A．60 B．80 C．90 D．12010．若（），，則（）A．0或2 B．0 C．1或2 D．111．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．12．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的所有可能值之和為_______.14．曲線y＝e－5x＋2在點(0，3)處的切線方程為________．15．設為偶函數(shù)，且當時，；當時，．關于函數(shù)的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數(shù)m，使函數(shù)恰有5個不同的零點；②若，函數(shù)的零點不超過4個，則；③對，，函數(shù)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號是_______．16．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的標準方程為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點（1）求證：平面平面；（2）設為的中點，為上的動點（不與重合）求二面角的正切值的最小值18．（12分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大??；（2）求函數(shù)的值域．19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；（2）若射線與曲線C交于點A（不同于極點O），與直線l交于點B，求的最大值.20．（12分）如圖，己知圓和雙曲線，記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.（1）若，且恰為的左焦點，求的兩條漸近線的方程；（2）若，且，求實數(shù)的值；（3）若恰為的左焦點，求證：在軸上不存在這樣的點，使得.21．（12分）若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.2、B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.3、B【解析】

解對數(shù)不等式可得集合A，由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數(shù)不等式解法，屬于基礎題.4、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、D【解析】

求出直線的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合焦點的坐標，可得的方程組，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，直線的斜率為，可得直線的方程為，把直線的方程代入雙曲線，可得，設，則，由的中點為，可得，解答，又由，即，解得，所以雙曲線的標準方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程的求解，其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.6、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【點睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學生的推斷能力.7、D【解析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數(shù)先增后減，錯誤B選項，不是函數(shù)對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，其中化簡三角函數(shù)是解題的關鍵.8、B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據(jù)，求得②，由①②可得的最大值，檢驗的這個值滿足條件．【詳解】解：函數(shù)，，為的零點，為圖象的對稱軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調(diào)，，②．由①②可得的最大值為1．當時，由為圖象的對稱軸，可得，，故有，，滿足為的零點，同時也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B．【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．9、B【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.10、A【解析】

利用復數(shù)的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），，所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復數(shù)模的運算，屬于基礎題.11、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數(shù)，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點睛】本題考查堆積圖的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意；時，，可得，即有，解方程可得，4，結合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，，時，，，時，，當關于的不等式的解集為，，可得不成立，時，時，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個交點．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．14、.【解析】

先利用導數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因為y′＝－5e－5x，所以切線的斜率k＝－5e0＝－5，所以切線方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案為y＝－5x＋3.【點睛】(1)本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是15、①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解：當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數(shù)的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【點睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結合思想，屬于難題.16、【解析】

設雙曲線方程為，代入點，計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設雙曲線方程為：，代入點，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設雙曲線方程為是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）推導出，，從而平面，由面面垂直的判定定理即可得證．（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，設，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當余弦值取得最大時，正切值求得最小值；【詳解】（1）因為，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，則，設，則平面的一個法向量為設平面的一個法向量為則，即，令，如圖二面角的平面角為銳角，設二面角為，則，時取得最大值，最大值為，則最小值為【點睛】本題考查面面垂直的證明，利用空間向量法解決立體幾何問題，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得，進而得到；（2）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為，根據(jù)的范圍可確定的范圍，結合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.【詳解】（1），，由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）在銳角中，，．．，，，，函數(shù)的值域為．【點睛】本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用問題；涉及到共線向量的坐標表示、利用三角恒等變換公式化簡求值、正弦定理邊化角的應用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識.19、（1）：，直線：；（2）．【解析】

（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進行直角坐標方程與極坐標方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，∴曲線的極坐標方程是；由，化為直角坐標方程為．（2）設，則，，，當時，取得最大值為．【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，掌握公式可輕松自如進行極坐標方程與直角坐標方程的互化．20、（1）；（2）；（2）見解析．【解析】

（1）由圓的方程求出點坐標，得雙曲線的，再計算出后可得漸近線方程；（2）設，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后求得坐標，計算；（3）由已知得，設，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后整理，可解得，，求出，從而可得，由，可知滿足要求的點不存在．【詳解】（1）由題意圓方程為，令得，∴，即，∴，，∴漸近線方程為．（2）