第八節(jié) 完全平方公式

第八節(jié)完全平方公式目標導引-1.8完全平方公式1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力.2.會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算.3.了解(a+b)2=a2+2ab+b2的幾何背景.遷移發(fā)散遷移你能運用本節(jié)課知識解答下列幾個題目嗎？1.已知：a+b=-5,ab=-6,求a2+b2.點撥：同時存在a+b,ab,a2+b2的公式為完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，將題目中所給條件分別看作整體，代入公式即可.注意：Ⅰ.不要分別求出a和b，運算繁瑣.Ⅱ.若已知a+b（或a-b）,ab,a2+b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a2+b2=(a+b)2-2ab當a+b=-5,ab=-6時原式=(-5)2-2×(-6)=25+12=37.2.利用公式計算：992-1點撥：可分別用完全平方公式或平方差公式兩種方法得到相同的答案.解法一：利用完全平方公式992-1=(100-1)2-1=1002-2×100×1+1-1=10000-200=9800解法二：用平方差公式第十三課時●課題§1.8.1完全平方公式(一)●教學目標(一)教學知識點1.完全平方公式的推導及其應用.2.完全平方公式的幾何背景.(二)能力訓練要求1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力.2.重視學生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達能力.(三)情感與價值觀要求1.了解數(shù)學的歷史，激發(fā)學習數(shù)學興趣.2.鼓勵學生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.●教學重點1.完全平方公式的推導過程、結構特點、語言表述、幾何解釋.2.完全平方公式的應用.●教學難點1.完全平方公式的推導及其幾何解釋.2.完全平方公式結構特點及其應用.●教學方法自主探索法學生在教師的引導下自主探索完全平方公式的幾何解釋、代數(shù)運算角度的推理，揭示其結構特點，然后達到合理、熟練地應用.

●教具準備投影片四張第一張：試驗田的改造，記作(§1.8.1A)第二張：想一想，記作(§1.8.1B)第三張：例題，記作(§1.8.1C)第四張：補充練習，記作(§1.8.1D)●教學過程Ⅰ.創(chuàng)設問題情景，引入新課［師］去年，一位老農(nóng)在一次“科技下鄉(xiāng)”活動中得到啟示，將一塊邊長為a米的正方形農(nóng)田改成試驗田，種上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻，一年來，收益很大.今年，又一次“科技下鄉(xiāng)”活動，使老農(nóng)鐵了心，要走科技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗田，邊長增加b米，形成四塊試驗田，種植不同的新品種.同學們，誰來幫老農(nóng)實現(xiàn)這個愿望呢？(同學們開始動手在練習本上畫圖，尋求解決的途徑)［生］我能幫這位爺爺.［師］你能把你的結果展示給大家嗎？［生］可以.如圖1－25所示，這就是我改造后的試驗田，可以種植四種不同的新品種.圖1－25［師］你能用不同的方式表示試驗田的面積嗎？［生］改造后的試驗田變成了邊長為(a+b)的大正方形，因此，試驗田的總面積應為(a+b)2.［生］也可以把試驗田的總面積看成四部分的面積和即邊長為a的正方形面積，邊長為b的正方形的面積和兩塊長和寬分別為a和b的面積的和.所以試驗田的總面積也可表示為a2+2ab+b2.［師］很好！同學們用不同的形式表示了這塊試驗田的總面積，進行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生］可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同，但都表示同一塊試驗田的面積，因此它們應該相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2［師］我們這節(jié)課就來研究上面這個公式——完全平方公式.Ⅱ.講授新課1.推導完全平方公式［師］我們通過對比試驗田的總面積得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其實，據(jù)有關資料表明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認識了這個公式.我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個幾何解釋.能不能從代表運算的角度也能推導出這樣的公式呢？(出示投影片§1.8.1A)想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多項式乘法法則說明理由嗎？(2)(a－b)2等于什么？你是怎樣想的.(同學們可先在自己的練習本上推導，教師巡視推導的情況，對較困難的學生以啟示)［生］用多項式乘法法則可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)［師］上面的幾何解釋和代數(shù)推導各有什么利弊？［生］幾何解釋完全平方公式給我們以非常直觀的認識，但幾何解釋(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了條件限制:a>0且b>0;代數(shù)推導完全平方公式雖然不直觀，但在推導的過程中，a,b可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，零，也可以是單項式,多項式.［師］同學們分析得很有道理.接下來，我們來完成第(2)問.［生］也可利用多項式乘法法則，則(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.［生］我是這樣想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意數(shù)或單項式、多項式.我們用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.［師］這位同學的想法很好.因為他很留心我們表述的每一句話的含義，你能繼續(xù)沿著這個思路做下去嗎？我們一塊試一下.［師生共析］(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2↓ ↓ ↓ ↓↓↓ (a+b)2=a2+2·a·b+b2=a2－2ab+b2.于是，我們得到又一個公式：(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)［師］你能用語言描述上述公式(1)、(2)嗎？［生］公式(1)用語言描述為：兩個數(shù)的和的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的和；公式(2)用語言描述為：兩個數(shù)的差的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的差.這兩個公式為完全平方公式.它們和平方差公式一樣可以使整式的運算簡便.2.應用、升華出示投影片(§1.8.1B)［例1］利用完全平方公式計算：(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn－a)2.分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步，準確代入公式；第三步化簡.解：(1)方法一：［例2］利用完全平方公式計算(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.分析：此題需靈活運用完全平方公式，(1)題可轉化為(2y－x)2或(x－2y)2,再運用平方差公式；(2)題需轉化為(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)題利用加法結合律變形為［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式計算；(4)題可利用完全平方公式，再合并同類項，也可逆用平方差公式進行計算.(5)題可先逆用冪的運算性質(zhì)變形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2=4y2－4xy+x2；方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)=4xy.方法二：(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.(5)(2x－3y)2(2x+3y)2=［(2x－3y)(2x+3y)］2=［4x2－9y2］2=16x4－72x2y2+81y4.Ⅲ.隨堂練習課本P34，1.計算：(1)(x－2y)2;(2)(2xy+x)2;(3)(n+1)2－n2.解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.Ⅳ.課后作業(yè)1.課本P36.習題1.13的第1、2、3題.2.閱讀“讀一讀”，并回答文章中提出的問題.Ⅴ.活動與探究甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭牛，而每頭牛的賣價恰為n元.全部賣完后兩人分錢方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此輪流，拿到最后剩下不足十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應該補給乙多少元錢？［過程］因牛n頭，每頭賣n元，故共賣得n2元.令a表示n的十位以前的數(shù)字，b表示n的個位數(shù)字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.因甲先取10元，而乙最后一次取錢時不足10元，所以n2中含有奇數(shù)個10元，以及最后剩下不足10元.但10×2a(5a+b)中含有偶數(shù)個10元，因此b2中必含有奇數(shù)個10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而這九個數(shù)中，只有16和36含有奇數(shù)個10，因此b2只可能是16或36，但這兩個數(shù)的個位數(shù)都是6，這就是說，乙最后所拿的是6元(即剩下不足10元).［結果］甲比乙多拿了4元，為了平均分配甲必須補給乙2元.●板書設計§1.8.1完全平方公式(一)一、幾何背景試驗田的總面積有兩種表示形式：①a2+2ab+b2②(a+b)2對比得：(a+b)2=a2+2ab+b2二、代數(shù)推導(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a－b)2=［a+(－b)］2=a2－2ab+b2三、例題講例例1.利用完全平方公式計算：(1)(2x－3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn－a)2四、隨堂練習(略)●備課資料一、楊輝楊輝，中國南宋時期杰出的數(shù)學家和數(shù)學教育家.在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多.他著名的數(shù)學書共五種二十一卷.著有《詳解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通變本末》三卷(1274年)、《田畝比類乘除算法》二卷(1275年)、《續(xù)古摘奇算法》二卷(1275年).楊輝的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發(fā)展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。他在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的“縱橫圖”及有關的構造方法，同時“垛積術”是楊輝繼沈括“隙積術”后，關于高階等差級數(shù)的研究.楊輝在“纂類”中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類.他非常重視數(shù)學教育的普及和發(fā)展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的“習算綱目”是中國數(shù)學教育史上的重要文獻.二、參考練習1.填空題(1)(－3x+4y)2=.(2)(－2a－b)2=.(3)x2－4xy+=(x－2y)2.(4)a2+b2=(a+b)2+.(5)a2++9b2=(a+3b)2.(6)(a－2b)2+(a+2b)2=.2.選擇題(1)下列計算正確的是()A.(m－1)2=m2－1B.(x+1)(x+1)=x2+x+1C.(x－y)2=x2－xy－y2D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4(2)如果x2+mx+4是一個完全平方式，那么m的值是()A.4 B.－4 C.±4 D.±8(3)將正方形的邊長由acm增加6cm,則正方形的面積增加了()A.36cm2 B.12acm2C.(36+12a)cm2 D.以上都不對3.用乘法公式計算(1)(x－y)2(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2(3)29×31×(302+1)(4)9992答案：1.(1)9x2－24xy+16y2(2)4a2+4ab+b2(3)4y2(4)－2ab(5)3ab(6)2a2+8b22.(1)D(2)C(3)C3.(1)x2－xy+y2(2)－8x2y2(3)809999(4)998001第十四課時●課題§1.8.2完全平方公式(二)●教學目標(一)教學知識點1.通過有趣的分糖情景，使學生進一步鞏固(a+b)2=a2+2ab+b2,同時幫助學生進一步理解(a+b)2與a2+b2的關系.2.運用完全平方公式進行一些有關數(shù)的簡便運算.3.進一步熟悉乘法公式的運用，體會公式中字母的廣泛含義，它可以是數(shù)，也可以是整式.(二)能力訓練要求1.在進一步鞏固完全平方公式同時，體會符號運算對解決問題的作用.2.進一步熟練乘法公式，提高最基本的運算技能，并且明白每一步的算理.(三)情感與價值觀要求1.鼓勵學生算法多樣化，提高學生合作交流意識和創(chuàng)新精神.2.從有趣的分糖游戲中，提高學習數(shù)學的興趣.●教學重點1.鞏固完全平方公式，區(qū)分(a+b)2與a2+b2的關系.2.熟悉乘法公式的運用，體會公式中字母a、b的廣泛含義.●教學難點1.區(qū)分(a+b)2與a2+b2的關系.2.熟練乘法公式的運用，體會公式中字母a、b的廣泛含義.●教學方法活動探究法.●教具準備投影片四張第一張：提出問題，記作(§1.8.2A)第二張：分糖游戲，記作(§1.8.2B)第三張：例2，記作(§1.8.2C)第四張：例3，記作(§1.8.2D)●教學過程Ⅰ.創(chuàng)設情景，引入新課［師］上節(jié)課我們推導出了完全平方公式，現(xiàn)在我們來看一個問題：出示投影片(§1.8.2A)一個正方形的邊長為a厘米，減少2厘米后，這個正方形的面積減少了多少厘米2？［生］原來正方形的面積為a2平方厘米，邊長減少2厘米后的正方形的面積為(a－2)2平方厘米，所以這個正方形的面積減少了a2－(a－2)2平方厘米，因為a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面積減少了(4a－4)平方厘米.［師］很好！這節(jié)課我們繼續(xù)鞏固完全平方公式.Ⅱ.講授新課［師］下面我們來做一個“分糖游戲”.出示投影片(§1.8.2B)一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都拿出糖果招待他們.來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖，……(1)第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(2)第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(3)第三天有(a+b)個孩子一塊去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？(4)這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？［生］根據(jù)題意，可知第一天有a個男孩去了老人家，老人給每個孩子發(fā)a塊糖，所以一共發(fā)了a2塊糖.第二天有b個女孩去了老人家，老人給每個孩子發(fā)b塊糖，所以一共發(fā)了b2塊糖.第三天有(a+b)個孩子去了老人家，老人給每個孩子發(fā)(a+b)塊糖，所以一共發(fā)了(a+b)2塊糖.［生］前兩天他們得到的糖果總數(shù)是(a2+b2)塊，因為(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.由此可知這些孩子第三天得到的糖果數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)要多，多2ab塊糖果.［師］為什么會多出2ab塊糖果呢？同學們可分組討論多出2ab塊糖的原因.(老師可參與到學生的討論，撞擊他們思想的火花)［生］對于a個男孩來說，每個男孩第三天得到的糖果數(shù)是(a+b)塊，每個男孩比第一天多b塊，一共多了ab塊；同理可知這b個女孩第三天得到的糖果總數(shù)比第二天也多了ab塊.因此，這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天相比，共計多出了2ab塊.［師］不錯！而這個游戲又充分說明了(a+b)2與a2+b2的關系，即(a+b)2≠a2+b2.下面我們再來看一個例題，你會有更多的發(fā)現(xiàn).出示投影片(§1.8.2C)［例2］利用完全平方公式計算：(1)1022；(2)1972.如果直接計算1022，1972會很繁.根據(jù)題目的提示使我們想到1022可以寫成(100+2)2，1972可以寫成(200－3)2，這樣計算起來會簡單的多，我們不妨試一試.［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809［師］我們可以發(fā)現(xiàn)運用完全平方公式進行一些有關數(shù)的運算會很簡便，也更進一步體會到符號運算對解決問題的作用.下面我們再來看一個例題(出示投影片§1.8.2D)［例3］計算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).分析：(1)題可用完全平方公式計算，也可以逆用平方差公式計算；(2)題雖然每個因式含有三項，但可以利用加法的結合律整理成能用平方差公式計算的多項式相乘的形式；(3)題要注意運算順序，減號后面的積算出來一定先放在括號里，然后再去括號，就可以避免符號上面出錯.注意要為學生提供充分交流的機會.解：(1)方法一：(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2——運用完全平方公式=6x+9方法二：(x+3)2－x2=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式=(2x+3)×3=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=［(a+b)+3］［(a+b)－3］=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可將x+y=8,xy=12整體代入求值.解：x2+y2=(x+y)2－2xy把x+y=8,xy=12代入上式，原式=82－2×12=64－24=40Ⅲ.隨堂練習1.(課本P38)利用整式乘法公式計算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)解：(1)962=(100－4)2=10000－800+16=9216(2)(a－b－3)(a－b+3)=［(a－b)－3］［(a－b)+3］=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－92.試一試，計算：(a+b)3分析：利用轉化的思想和逆用同底數(shù)冪的乘法得(a+b)3=(a+b)2·(a+b),可以使運算簡便.解：(a+b)3=(a+b)2·(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b33.已知x+=2,求x2+的值.解：由x+=2,得(x+)2=4.x2+2+=4.所以x2+=4－2=2.Ⅳ.課時小結［師］一節(jié)課在緊張而又活潑的氣氛中度過了，你有何收獲和體會，不妨和大家共享.［生］在有趣的分糖情景中，不僅鞏固了完全平方公式，而且更進一步理解了(a+b)2與a2+b2的關系.［生］通過實例，我更進一步體會到完全平方公式中的字母a,b的含義是很廣泛的，它可以是數(shù)，也可以是整式.……Ⅴ.課后作業(yè)1.課本P38，習題1.14.2.課本P47，第5、6題.Ⅵ.活動與探究化簡×+［過程］當n=1時，9×9+19=102當n=2時，99×99+199=104當n=3時，999×999+1999=106……于是猜想：原式=102n［結果］原式=(10n－1)(10n－1)+(2×10n－1)=(10n－1)2+2×10n－1=102n－2×10n+1+2×10n－1=102n●板書設計§1.8.2完全平方公式(二)一、糖果游戲(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2的總數(shù)較多，多2ab.結果：(a+b)2≠a2+b2二、例題講解例2.利用完全平方公式計算(1)1022(2)1972例3.計算：(1)(x+3)2－x2(2)(a+b+3)(a+b－3)(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)●備課資料參考練習1.選擇題(1)下列等式成立的是()A.(a－b)2=a2－ab+b2B.(a+3b)2=a2+9b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(x+9)(x－9)=x2－9(2)(a+3b)2－(3a+b)2計算結果是()A.8(a－b)2B.8(a+b)2C.8b2－8a2D.8a2－8b2(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)運算的結果是()A.－25x4－16y4B.－25x4+40x2y2－16y4C.25x4－16y2D.25x4－40x2y2+16y4(4)運算結果為x4y2－2x2y+1的是()A.(x2y2－1)2B.(x2y+1)2C.(x2y－1)2D.(－x2y－1)22.填空題(1)(4a－b2)2=.(2)(－m－1)2=.(3)(m+n+1)(1－m－n)=.(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B,則A=,B=.(5)(a+2b)2－=(a－2b)2.3.用乘法公式計算：(1)9992;(2)20022－4004×2003+20032.4.已知,a+b=8,ab=24.求(a2+b2)的值.5.已知x+=4,求證x2+.6.已知：x2－2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.答案：1.(1)C(2)C(3)B(4)C2.(1)16a2－8ab2+b4(2)m2+m+1(3)1－m2－2mn－n2(4)－b2b4(5)8ab3.(1)998001(2)14.85.146.－2●方法點撥［例1］計算(1)(3a+2b)2(2)(mn-n2)2點撥：運用完全平方式的時候，要搞清楚公式中a，b在題目中分別代表什么，在展開的過程中要把它們當作整體來做，適當?shù)牡胤綉蚶ㄌ枺纾哼M行平方的時候.同時應注意公式中2ab的符號.解：(1)(3a+2b)2=(3a)2+2·(3a)·(2b)+(2b)2=9a2+12ab+4b2注意：（2）中n2的指數(shù)2與公式中b2的二次方所代表含義不同，所以在展開過程中不要漏掉“二次方”.［例2］計算(1)(-m-n)2(2)(-5a-2)(5a+2)點撥：（1）可直接用完全平方公式.由于-m與-n是同號，所以公式中的2ab取“+”.(2)中兩個二項式雖然不同，但若將第一個括號中的“-”提出，則剩下的兩個括號里的項完全相同，可利用完全平方公式進行計算.解：(1)(-m-n)2=(-m)2+2·(-m)(-n)+(-n)2=m2+2mn+n2(2)(-5a-2)(5a+2)=-(5a+2)(5a+2)=-(5a+2)2=-(25a2+20a+4)=-25a2-20a-4小結：由（2）可知，將兩個二項式相乘，兩個括號里的每一項都相反的話，可先作適當調(diào)整，再利用完全平方公式進行計算.［例3］計算（1）(x-2y)2-(x-y)(x+y)(2)(m-n)(m2-n2)(m+n)點撥：（1）可分別應用平方差公式與完全平方公式進行乘法運算，再化簡.(2)可先利用平方差公式將m-n與m+n相乘，再將所得結果m2-n2與中間括號里的m2-n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1)(x-2y)2-(x-y)(x+y)=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)=x2-4xy+4y2-x2+y2=-4xy+5y2(2)(m-n)(m2-n2)(m+n)=(m-n)(m+n)(m2-n2)=(m2-n2)(m2-n2)=(m2)2-2·m2·n2+(n2)2=m4-2m2n2+n4說明：這兩題在能用公式的地方盡量用公式，是因為應用公式可以簡化運算，若想不到，用多乘多也可.［例4］計算：(x+)2-(x-)2點撥：第一種方法是利用完全平方公式直接展開，第二種方法是可利用平方差公式逆運算：a2-b2=(a+b)(a-b)，將此題轉化為平方差公式進行計算.解法一：(x+)2-(x-)2=(x2+xy+)-(x2-xy+)=x2+xy+-x2+xy-=2xy［例5］計算：(a-2b+1)(a+2b-1)點撥：此題“三項式乘三項式”，且這兩個括號中的三項只有符號不同.先找出兩個括號中完全相同的項放在一起，再把互為相反數(shù)的項放在一起，構成(a+b)(a-b)的形式，利用平方差公式進行簡化運算.關鍵：此題最重要一步就是由①到②的過程轉化，要保證代數(shù)式在形式發(fā)生變化的同時，大小不變?。劾?］利用公式計算：1962點撥：196接近整數(shù)200，故196=200-4，則此題可化為(200-4)2，利用完全平方公式計算.解：1962 ①=(200-4)2 ②=2002-2×200×4+42=40000-1600+16=38416說明：Ⅰ.可轉化為完全平方的形式的數(shù)必須較接近一個整數(shù)才較易進行計算.Ⅱ.在由①到②的過程中，必須保證數(shù)的大小沒有改變.［例7］某正方形邊長acm，若把這個正方形的邊長減小3cm，則面積減少了多少？點撥：先分別表示出新舊正方形的邊長，再根據(jù)“正方形面積=邊長×邊長”，表示出兩個正方形的面積，用“大-小”即可得出所求.計算的關鍵在完全平方式的展開.解：原正方形面積：a2現(xiàn)正方形面積：(a-3)2面積減少了a2-(a-3)2=a2-(a2-6a+9)=a2-a2+6a-9=(6a-9)(cm2)答：面積減少了（6a-9）cm2.●作業(yè)指導課本課后習題講解隨堂練習1.(1)x2-2xy+4y2(2)4x2y2+x2y+x2(3)2n+1習題1.131.(1)4x2+20xy+25y2(2)m2-m+(3)4t2+4t+1(4)x2+xy+y2(5)49a2b2+28ab+4(6)c2d2-cd+2.解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4)=πr2-πr2+4πr-4π=(4πr-4π)(cm2)答：這個圓的面積減少了(4πr-4π)cm23.末尾兩位數(shù)是25,設個位是5的兩位數(shù)為10a+5,則(10a+5)2=100a2+100a+25=100(a2+a)+25由此可知后兩位是25試一試1.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc隨堂練習1.(1)962=(100-4)2=9216(2)(a-b-3)(a-b+3)=［(a-b)-3］［(a-b)+3］=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9習題1.141.(1)4x2+4xy+y2-1(2)2x-1(3)4ab(4)9y2-8xy2.解：6(a+5)2-6×52=6(a2+10a+25)-150=6a2+60a+150-150=(6a2+60a)(cm3)答：體積增加了(6a2+60a)cm3.3.(1)3969(2)996004試一試(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3八、完全平方公式班級：姓名：作業(yè)導航完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2一、填空題1.(2x－3y)2=_____,(a+b)2=_____.2.9x2+_____+25y2=(_____)2；_____+10xy+1=(_____+1)2.3.用完全平方公式計算1972=()2=_____=_____.4.x2－2x+_____=(_____)2；m2+4mn+_____=()2.5.(a+b)2=(a－b)2+_____,(x+)2=x2+_____.6.若4x2+mx+49是一個完全平方式，則m=_____.7.若(x－m)2=x2+x+a,則m=_____,a=_____.8.(x+)2=x2++_____.9.若(3x+4)2=9x2－kx+16,則k=_____.二、選擇題10.①x2+(－5)2=(x+5)(x－5)②(x－y)2=x2－y2③(－a－b)2=(a+b)2④(3a－b)(b－3a)=－9a2+6ab－b2上面的式子中錯誤的有()A.4個 B.3個C.2個 D.1個11.下列多項式乘法，能用完全平方公式計算的是()A.(－3x－2)(－3x+2) B.(－a－b)2C.(－3x－2)(－2+3x) D.(3x+2)(3x－2)12.下列各式正確的是()A.(a+b)2=a2+b2B.(x+6)(x－6)=x2－6C.(x－y)2=(y－x)2D.(x+2)2=x2+2x+413.下列等式錯誤的是()A.(2x+5y)2=4x2+20xy